Predavanje: Prizma, njene osnove, bočna rebra, visina, bočna površina; ravna prizma; ispravna prizma

Prizma

Ako ste kod nas naučili ravne figure iz prethodnih pitanja, onda ste potpuno spremni za proučavanje trodimenzionalnih figura. Prvo čvrsto tijelo koje ćemo naučiti bit će prizma.

Prizma je volumetrijsko tijelo koje ima veliki broj lica.

Ova figura ima dva poligona u osnovama, koji se nalaze u paralelnim ravnima, a sve bočne strane imaju oblik paralelograma.

Slika 1. Sl. 2

Dakle, hajde da shvatimo od čega se sastoji prizma. Da biste to učinili, obratite pažnju na sl. 1

Kao što je ranije spomenuto, prizma ima dvije baze koje su paralelne jedna s drugom - to su petouglovi ABCEF i GMNJK. Štaviše, ovi poligoni su međusobno jednaki.

Sva ostala lica prizme nazivaju se bočnim stranama - sastoje se od paralelograma. Na primjer BMNC, AGKF, FKJE, itd.

Ukupna površina svih bočnih strana naziva se bočna površina.

Svaki par susednih lica ima zajedničku stranu. Takve zajednička strana zvano rebro. Na primjer MV, SE, AB, itd.

Ako su gornja i donja osnova prizme spojene okomicom, onda će se to zvati visinom prizme. Na slici je visina označena kao prava linija OO 1.

Postoje dvije glavne vrste prizme: kosa i ravna.

Ako bočne ivice prizme nisu okomite na osnovice, tada se takva prizma naziva skloni.

Ako su svi rubovi prizme okomiti na osnovice, tada se takva prizma naziva ravno.

Ako osnovice prizme sadrže pravilne poligone (one sa jednakim stranicama), tada se takva prizma naziva ispravan.

Ako osnove prizme nisu paralelne jedna s drugom, tada će se takva prizma zvati skraćeno.

To možete vidjeti na slici 2

Formule za pronalaženje zapremine i površine prizme

Postoje tri osnovne formule za pronalaženje volumena. Međusobno se razlikuju po primjeni:

Slične formule za pronalaženje površine prizme:

Definicija 1. Prizmatična površina
Teorema 1. O paralelnim presjecima prizmatične površine
Definicija 2. Okomit presjek prizmatične površine
Definicija 3. Prizma
Definicija 4. Visina prizme
Definicija 5. Desna prizma
Teorema 2. Bočna površina prizme

paralelepiped:
Definicija 6. Paralelepiped
Teorema 3. O presjeku dijagonala paralelepipeda
Definicija 7. Desni paralelepiped
Definicija 8. Pravougaoni paralelepiped
Definicija 9. Mjerenja paralelepipeda
Definicija 10. Kocka
Definicija 11. Romboedar
Teorema 4. O dijagonalama pravougaoni paralelepiped
Teorema 5. Zapremina prizme
Teorema 6. Volumen ravne prizme
Teorema 7. Volumen pravokutnog paralelepipeda

Prizma je poliedar čije dvije strane (baze) leže u paralelnim ravnima, a ivice koje ne leže u tim plohama paralelne su jedna s drugom.
Lica koja nisu baza se nazivaju bočno.
Stranice bočnih strana i baze nazivaju se prizma rebra, krajevi ivica se nazivaju vrhovima prizme. Bočna rebra ivice koje ne pripadaju bazama nazivaju se. Spoj bočnih strana se naziva bočna površina prizme, a unija svih lica se zove punu površinu prizme. Visina prizme naziva se okomica spuštena iz tačke gornje osnove na ravan donje osnove ili dužina ove okomice. Prava prizma naziva se prizma čije su bočne ivice okomite na ravni baza. Tačno naziva se ravna prizma (slika 3), u čijoj osnovi leži pravilan poligon.

Oznake:
l - bočno rebro;
P - perimetar baze;
S o - površina osnove;
H - visina;
P^ - perimetar okomitog presjeka;
S b - bočna površina;
V - zapremina;
S p - površina puna površina prizme.

V=SH S p = S b + 2S o S b = P ^ l

Definicija 1 . Prizmatična površina je lik formiran od dijelova nekoliko ravnina paralelnih jednoj pravoj liniji, ograničen onim pravim linijama duž kojih se ove ravni uzastopno seku*; ove prave su međusobno paralelne i nazivaju se ivice prizmatične površine.
*Pretpostavlja se da se svake dvije uzastopne ravni sijeku i da posljednja ravan siječe prvu

Teorema 1 . Presjeci prizmatične površine ravninama koje su paralelne jedna s drugom (ali ne paralelne s njenim rubovima) su jednaki poligoni.
Neka su ABCDE i A"B"C"D"E" preseci prizmatične površi sa dve paralelne ravni. Da bismo bili sigurni da su ova dva poligona jednaka, dovoljno je pokazati da su trouglovi ABC i A"B"C" jednaki i imaju isti smjer rotacije i da isto vrijedi za trouglove ABD i A"B"D", ABE i A"B"E". Ali odgovarajuće stranice ovih trouglova su paralelne (na primer, AC je paralelan sa AC) kao linija preseka određene ravni sa dve paralelne ravni; proizilazi da su ove stranice jednake (na primjer, AC je jednako A"C"), kao suprotne strane paralelograma, te da su uglovi formirani od ovih stranica jednaki i imaju isti smjer.

Definicija 2 . Okomit presjek prizmatične površine je presjek ove površine ravninom koja je okomita na njene rubove. Na osnovu prethodne teoreme, svi okomiti presjeci iste prizmatične površine bit će jednaki poligoni.

Definicija 3 . Prizma je poliedar omeđen prizmatičnom površinom i dvije ravni paralelne jedna s drugom (ali ne paralelne s rubovima prizmatične površine)
Lica koja leže u ovim poslednjim ravnima nazivaju se baze prizme; lica koja pripadaju prizmatičnoj površini - bočne strane; ivice prizmatične površine - bočna rebra prizme. Na osnovu prethodne teoreme, baza prizme je jednaki poligoni. Sve bočne strane prizme - paralelograma; sva bočna rebra su međusobno jednaka.
Očigledno, ako su date osnovica prizme ABCDE i jedna od ivica AA" po veličini i smjeru, tada je moguće konstruirati prizmu crtanjem ivica BB", CC", ... jednakih i paralelnih rubu AA" .

Definicija 4 . Visina prizme je rastojanje između ravnina njenih osnova (HH").

Definicija 5 . Prizma se naziva ravna ako su njene osnove okomite površine prizme. U ovom slučaju, visina prizme je, naravno, njena bočno rebro; bočne ivice će biti pravougaonici.
Prizme se mogu klasificirati prema broju bočnih strana jednakom broju stranica poligona koji mu služi kao osnova. Dakle, prizme mogu biti trouglaste, četverouglaste, peterokutne itd.

Teorema 2 . Površina bočne površine prizme jednaka je umnošku bočne ivice i perimetra okomitog presjeka.
Neka je ABCDEA"B"C"D"E" data prizma i abcde njen okomit presjek, tako da su segmenti ab, bc, .. okomiti na njene bočne ivice. Lice ABA"B" je paralelogram; njegova površina jednak je proizvodu baze AA" na visinu koja se poklapa sa ab; površina lica VSV "S" jednaka je umnošku osnove VV" na visinu bc itd. Prema tome, bočna površina (tj. zbir površina bočnih strana) jednaka je proizvodu bočne ivice, drugim riječima, ukupna dužina segmenti AA", BB", .., za iznos ab+bc+cd+de+ea.

Osnova prizme može biti bilo koji poligon - trokut, četverokut itd. Obje baze su apsolutno identične, pa su prema tome, s kojima su uglovi paralelnih ivica međusobno povezani, uvijek paralelni. U osnovi pravilne prizme leži pravilan mnogougao, odnosno onaj u kojem su sve strane jednake. U pravoj prizmi, rebra između bočnih strana su okomita na osnovu. U ovom slučaju osnova ravne prizme može sadržavati mnogokut s bilo kojim brojem uglova. Prizma čija je osnova paralelogram naziva se paralelepiped. Pravougaonik - poseban slučaj paralelogram. Ako ova figura leži u osnovi, a bočne strane se nalaze pod pravim kutom u odnosu na bazu, paralelepiped se naziva pravokutnim. Drugo ime za ovo geometrijsko tijelo je pravougaono.

Kako ona izgleda

Okružene pravougaone prizme savremeni čovek prilično malo. Ovo je, na primjer, običan karton za cipele, kompjuterske komponente itd. Pogledaj okolo. Čak iu sobi vjerovatno ćete vidjeti mnogo pravokutnih prizmi. To uključuje kućište za računar, policu za knjige, frižider, ormar i mnoge druge predmete. Oblik je izuzetno popularan uglavnom zato što vam omogućava da maksimalno iskoristite svoj prostor, bilo da ukrašavate svoj interijer ili pakujete stvari u karton prije nego što se preselite.

Svojstva pravougaone prizme

Pravokutna prizma ima niz specifičnih svojstava. Kao to može poslužiti bilo koji par lica, jer se sva susjedna lica nalaze pod istim uglom jedna prema drugoj, a taj ugao je 90°. Volumen i površinu pravokutne prizme lakše je izračunati od bilo koje druge. Uzmite bilo koji predmet koji ima oblik pravokutne prizme. Izmjerite njegovu dužinu, širinu i visinu. Da biste pronašli volumen, samo pomnožite ove mjere. Odnosno, formula izgleda ovako: V=a*b*h, gdje je V volumen, a i b su stranice baze, h je visina koja se poklapa sa bočnom ivicom ovog geometrijskog tijela. Osnovna površina se izračunava pomoću formule S1=a*b. Za bočnu površinu, prvo morate izračunati obim baze koristeći formulu P=2(a+b), a zatim ga pomnožiti sa visinom. Rezultirajuća formula je S2=P*h=2(a+b)*h. Da biste izračunali ukupnu površinu pravokutne prizme, dodajte dva puta površinu osnove i površinu bočne površine. Rezultirajuća formula je S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

Definicija.

Ovo je šesterokut čije su osnove dva jednaka kvadrata, a bočne strane su jednaki pravokutnici

Bočno rebro- je zajednička strana dvije susjedne bočne strane

Visina prizme- ovo je segment okomit na osnove prizme

Dijagonala prizme- segment koji povezuje dva vrha baza koje ne pripadaju istom licu

Dijagonalna ravnina- ravan koja prolazi kroz dijagonalu prizme i njene bočne ivice

Dijagonalni presjek- granice preseka prizme i dijagonalne ravni. Dijagonalni poprečni presjek pravilne četverougaone prizme je pravougaonik

Okomit presjek (ortogonalni presjek)- ovo je presek prizme i ravni povučene okomito na njene bočne ivice

Elementi pravilne četvorougaone prizme

Na slici su prikazane dvije pravilne četverokutne prizme, koje su označene odgovarajućim slovima:

• Osnove ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 su jednake i paralelne jedna drugoj
• Bočne strane AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C i CC 1 D 1 D, od kojih je svaka pravougaonik
• Bočna površina- zbir površina svih bočnih strana prizme
• Ukupna površina - zbir površina svih baza i bočnih strana (zbir površina bočne površine i baza)
• Bočna rebra AA 1, BB 1, CC 1 i DD 1.
• Dijagonala B 1 D
• Dijagonala baze BD
• Dijagonalni presjek BB 1 D 1 D
• Okomit presjek A 2 B 2 C 2 D 2.

Svojstva pravilne četvorougaone prizme

• Osnove su dva jednaka kvadrata
• Osnove su paralelne jedna s drugom
• Bočne strane su pravokutnici
• Bočne ivice su međusobno jednake
• Bočne strane su okomite na baze
• Bočna rebra su međusobno paralelna i jednaka
• Okomit presjek okomit na sva bočna rebra i paralelan s osnovama
• Uglovi okomitog presjeka - ravni
• Dijagonalni poprečni presjek pravilne četverougaone prizme je pravougaonik
• Okomito (ortogonalni presjek) paralelno sa bazama

Formule za pravilnu četvorougaonu prizmu

Uputstva za rješavanje problema

Prilikom rješavanja problema na temu " pravilna četvorougaona prizma" znači da:

Ispravna prizma- prizma u čijoj osnovi leži pravilan poligon, a bočne ivice su okomite na ravni baze. To jest, pravilna četvorougaona prizma sadrži u svojoj osnovi kvadrat. (vidi svojstva pravilne četvorougaone prizme iznad) Bilješka. Ovo je dio lekcije sa problemima geometrije (stereometrija presjeka - prizma). Evo problema koje je teško riješiti. Ako trebate riješiti problem geometrije koji nije ovdje, pišite o tome na forumu. Za označavanje akcije vađenja kvadratnog korijena u rješavanju problema koristi se simbol√ .

Zadatak.

U pravilnoj četvorougaonoj prizmi, površina osnove je 144 cm 2, a visina 14 cm Nađite dijagonalu prizme i ukupnu površinu.

Rješenje.
Pravilan četvorougao je kvadrat.
Prema tome, strana baze će biti jednaka

√144 = 12 cm.
Odakle će biti jednaka dijagonala osnove pravilne pravokutne prizme
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Dijagonala pravilne prizme formira se sa dijagonalom osnove i visinom prizme pravougaonog trougla. Prema tome, prema Pitagorinoj teoremi, dijagonala date pravilne četverougaone prizme bit će jednaka:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odgovori: 22 cm

Zadatak

Odredi ukupnu površinu pravilne četvorougaone prizme ako je njena dijagonala 5 cm, a dijagonala bočne strane 4 cm.

Rješenje.
Pošto je osnova pravilne četvorougaone prizme kvadrat, nalazimo stranu baze (označenu kao a) koristeći Pitagorinu teoremu:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Visina bočne strane (označena kao h) će tada biti jednaka:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3.5

Ukupna površina bit će jednaka zbroju bočne površine i dvostrukoj površini baze

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odgovor: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Prizma. Paralelepiped

Prizma je poliedar čija su dva lica jednaka n-uglova (baze) , koji leže u paralelnim ravnima, a preostalih n lica su paralelogrami (bočne strane) . Lateralno rebro Strana prizme koja ne pripada osnovi naziva se stranica prizme.

Zove se prizma čije su bočne ivice okomite na ravni baza ravno prizma (slika 1). Ako bočne ivice nisu okomite na ravni baza, tada se prizma naziva skloni . Tačno Prizma je prava prizma čije su osnove pravilni poligoni.

Visina prizma je rastojanje između ravni baza. Dijagonala Prizma je segment koji povezuje dva vrha koji ne pripadaju istom licu. Dijagonalni presjek naziva se presjek prizme ravninom koja prolazi kroz dvije bočne ivice koje ne pripadaju istoj površini. Okomiti presjek naziva se presjek prizme ravninom okomitom na bočni rub prizme.

Bočna površina prizme je zbir površina svih bočnih strana. Ukupna površina naziva se zbir površina svih površina prizme (tj. zbir površina bočnih strana i površina baza).

Za proizvoljnu prizmu sljedeće formule su tačne::

Gdje l– dužina bočnog rebra;

H- visina;

P

Q

S strana

S puna

S baza– površina baza;

V– zapremina prizme.

Za ravnu prizmu ispravne su sljedeće formule:

Gdje str– perimetar baze;

l– dužina bočnog rebra;

H- visina.

paralelepiped naziva se prizma čija je osnova paralelogram. Paralelepiped čije su bočne ivice okomite na osnovice naziva se direktno (Sl. 2). Ako bočne ivice nisu okomite na baze, onda se naziva paralelepiped skloni . Zove se pravi paralelepiped čija je osnova pravougaonik pravougaona. Zove se pravougaoni paralelepiped sa svim ivicama jednakim kocka

Lica paralelepipeda koja nemaju zajedničke vrhove nazivaju se suprotno . Zovu se dužine ivica koje izlaze iz jednog vrha mjerenja paralelepiped. Pošto je paralelepiped prizma, njegovi glavni elementi su definisani na isti način kao što su definisani za prizme.

Teoreme.

1. Dijagonale paralelepipeda seku se u jednoj tački i dijele je popola.

2. U pravougaonom paralelepipedu kvadrat dužine dijagonale jednak je zbiru kvadrata njegove tri dimenzije:

3. Sve četiri dijagonale pravougaonog paralelepipeda jednake su jedna drugoj.

Za proizvoljni paralelepiped važe sljedeće formule:

Gdje l– dužina bočnog rebra;

H- visina;

P– perimetar okomitog presjeka;

Q– okomita površina poprečnog presjeka;

S strana– bočna površina;

S puna– ukupna površina;

S baza– površina baza;

V– zapremina prizme.

Za pravi paralelepiped sljedeće formule su tačne:

Gdje str– perimetar baze;

l– dužina bočnog rebra;

H– visina desnog paralelepipeda.

Za pravougaoni paralelepiped sljedeće formule su tačne:

(3)

Gdje str– perimetar baze;

H- visina;

d– dijagonala;

a,b,c– mjerenja paralelepipeda.

Sljedeće formule su tačne za kocku:

Gdje a– dužina rebra;

d- dijagonala kocke.

Primjer 1. Dijagonala pravougaonog paralelepipeda je 33 dm, a njegove dimenzije su u omjeru 2:6:9. Nađi dimenzije paralelepipeda.

Rješenje. Za pronalaženje dimenzija paralelepipeda koristimo formulu (3), tj. činjenicom da je kvadrat hipotenuze kvadra jednak zbiru kvadrata njegovih dimenzija. Označimo sa k faktor proporcionalnosti. Tada će dimenzije paralelepipeda biti jednake 2 k, 6k i 9 k. Napišimo formulu (3) za podatke problema:

Rješavanje ove jednadžbe za k, dobijamo:

To znači da su dimenzije paralelepipeda 6 dm, 18 dm i 27 dm.

odgovor: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Primjer 2. Pronađite volumen nagnutog trouglasta prizma, čija je osnova jednakostranični trokut sa stranicom od 8 cm, ako je bočna ivica jednaka stranici osnove i nagnuta pod uglom od 60º prema osnovici.

Rješenje . Napravimo crtež (slika 3).

Da biste pronašli zapreminu nagnute prizme, morate znati površinu njene osnove i visinu. Površina osnove ove prizme je površina jednakostraničnog trokuta sa stranicom od 8 cm.

Visina prizme je rastojanje između njenih osnova. Sa vrha A 1 gornje osnove, spustite okomicu na ravan donje baze A 1 D. Njegova dužina će biti visina prizme. Uzmite u obzir D A 1 AD: budući da je ovo ugao nagiba bočne ivice A 1 A na osnovnu ravan, A 1 A= 8 cm Iz ovog trougla nalazimo A 1 D:

Sada izračunavamo zapreminu koristeći formulu (1):

odgovor: 192 cm 3.

Primjer 3. Bočna ivica pravilne šesterokutne prizme je 14 cm Površina najvećeg dijagonalnog presjeka je 168 cm 2. Pronađite ukupnu površinu prizme.

Rješenje. Napravimo crtež (slika 4)

Najveći dijagonalni presjek je pravougaonik AA. 1 DD 1 od dijagonale AD pravilan heksagon ABCDEF je najveći. Da bi se izračunala bočna površina prizme, potrebno je znati stranu osnove i dužinu bočne ivice.

Poznavajući površinu dijagonalnog presjeka (pravokutnika), nalazimo dijagonalu baze.

Od tada

Od tada AB= 6 cm.

Tada je obim baze:

Nađimo površinu bočne površine prizme:

Površina pravilnog šestougla sa stranicom 6 cm je:

Pronađite ukupnu površinu prizme:

odgovor:

Primjer 4. Osnova pravog paralelepipeda je romb. Dijagonalne površine poprečnog presjeka su 300 cm2 i 875 cm2. Pronađite površinu bočne površine paralelepipeda.

Rješenje. Napravimo crtež (slika 5).

Označimo stranu romba sa A, dijagonale romba d 1 i d 2, visina paralelepipeda h. Da biste pronašli površinu bočne površine desnog paralelepipeda, potrebno je pomnožiti obim baze sa visinom: (formula (2)). Perimetar baze p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, jer A B C D- romb N = AA 1 = h. To. Treba pronaći A I h.

Razmotrimo dijagonalne presjeke. aa 1 SS 1 – pravougaonik čija je jedna strana dijagonala romba AC = d 1, drugi – bočni rub aa 1 = h, Onda

Slično i za sekciju BB 1 DD 1 dobijamo:

Koristeći svojstvo paralelograma da je zbir kvadrata dijagonala jednak zbiru kvadrata svih njegovih stranica, dobijamo jednakost. Dobijamo sljedeće.