Методом замены плоскостей проекций определить кратчайшее расстояние. Способы преобразования комплексного чертежа

Изменение взаимного положения проецируемой фигуры и плоскостей проекций методом перемены плоскостей проекций, достигается путем замены плоскостей П 1 и П 2 новыми плоскостями П 4 (рисунок 7.1). Новые плоскости выбираются перпендикулярно старым. Некоторые преобразования проекций требуют двойной замены плоскостей проекций (рисунок 7.2). Последовательный переход от одной системы плоскостей проекций к другой необходимо осуществлять, выполняя следующее правило: расстояние от новой проекции точки до новой оси должно равняться расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси.

Задача 1: Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положений (рисунок 7.1).

Из свойства параллельного проецирования известно, что отрезок проецируется на плоскость в натуральную величину, если он параллелен этой плоскости.

Выберем новую плоскость проекций П 4 , параллельно отрезку АВ и перпендикулярно плоскости П 1 . Введением новой плоскости, переходим из системы плоскостей П 1 П 2 в систему П 1 П 4 , причем в новой системе плоскостей проекция отрезка А 4 В 4 будет натуральной величиной отрезка АВ .

Задача 2: Определить расстояние от точки А до прямой общего положения, заданной отрезком АВ (рисунок 7.2).

Рисунок 7.2. Определение расстояния от точки до прямой общего положения методом замены плоскостей проекций

Способ вращения

а) Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций.

Плоскости носитель траекторий перемещения точек параллельных плоскости проекций. Траектория - дуга окружности, центр которой находится на оси перпендикулярной плоскости проекций. Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения АВ (рисунок 7.3), выберем ось вращения перпендикулярную горизонтальной плоскости проекций и проходящую через В 1 .

Повернем отрезок так, чтобы он стал параллелен фронтальной плоскости проекций (горизонтальная проекция отрезка параллельна оси x ). При этом точка А 1 переместиться в А * 1 , а точка В не изменит своего положения. Положение точки А * 2 находится на пересечении фронтальной проекции траектории перемещения точки А (прямая линия параллельная оси x) и линии связи проведенной из А * 1 . Полученная проекция В 2 А * 2 определяет действительные размеры самого отрезка.

б) Способ вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекций

Рассмотрим этот способ на примере определения угла между пересекающимися прямыми (рисунок 7.4).

Рассмотрим две проекции пересекающихся прямых а и в , которые пересекаются в точке К . Для того, чтобы определить натуральную величину угла между этими прямыми необходимо произвести преобразование ортогональных проекций так, чтобы прямые стали параллельны плоскости проекций.

Воспользуемся способом вращения вокруг линии уровня - горизонтали. Проведем произвольно фронтальную проекцию горизонтали h 2 параллельно оси О х , которая пересекает прямые в точках А 2 и В 2 . Определив проекции А 1 и В 1 , построим горизонтальную проекцию горизонтали h 1. Траектория движения всех точек при вращении вокруг горизонтали - окружность, которая проецируется на плоскость П 1 в виде прямой линии перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали.

Таким образом, траектория движения точки К 1 определена прямой К 1 О 1 , точка О - центр окружности - траектории движения точки К . Чтобы найти радиус этой окружности найдем методом треугольника натуральную величину отрезка КО . Продолжим прямую К 1 О 1 так чтобы |КО |=|О 1 К * 1 | . Точка К * 1 соответствует точке К , когда прямые а и в лежат в плоскости параллельной П 1 и проведенной через горизонталь - ось вращения. С учетом этого через точку К * 1 и точки А 1 и В 1 проведем прямые, которые лежат теперь в плоскости параллельной П 1 , а следовательно и угол j - натуральная величина угла между прямыми а и в .

в) Способ плоскопараллельного перемещения

Изменение взаимного положения проецируемого объекта и плоскостей проекций методом плоскопараллельного перемещения осуществляется путем изменения положения геометрического объекта так, чтобы траектория движения её точек находилась в параллельных плоскостях. Плоскости носители траекторий перемещения точек параллельны какой-либо плоскости проекций (рисунок 7.5). Траектория произвольная линия. При параллельном переносе геометрического объекта относительно плоскостей проекций, проекция фигуры хотя и меняет свое положение, но остается конгруэнтной проекции фигуры в ее исходном положении.

Свойства плоскопараллельного перемещения:

1) При всяком перемещении точек в плоскости параллельной плоскости П 1 , её фронтальная проекция перемещается по прямой линии, параллельной оси х .

2) В случае произвольного перемещения точки в плоскости параллельной П 2 , её горизонтальная проекция перемещается по прямой параллельной оси х .

Контрольные вопросы

1 С какой целью выполняют преобразования комплексного чертежа?

2 Назовите способы преобразования комплексного чертежа.

3 Какие основные задачи решаются путем преобразования чертежа?

4 В чем сущность преобразования ортогональных проекций?

5 В чем сущность преобразования проекций способом замены плоскостей проекций?

6 Назовите задачи, для решения которых достаточно заменить только одну плоскость проекций.

7 Какие задачи можно решать путем замены двух плоскостей проекции?

8 Каким образом можно определить натуральную величину отрезка прямой общего положения? Задайте прямую общего положения (произвольно) определите ее натуральную величину способом замены плоскостей проекций..

9 Как определить расстояние от точки до прямой?

10 В чем сущность преобразования чертежа способом вращения?

11 Какие линии используются в качестве осей вращения?

12 Как изменяется фронтальная проекция предмета при вращении его вокруг фронтально проецирующей прямой?

13 В чем сущность способа плоскопараллельного переноса?

14 В чем сущность способа плоскопараллельного переноса?

Метрические задачи

Метрические задачи, задачи связанные с определением истинных (натуральных) величин расстояний, углов и плоских фигур на комплексном чертеже.
Существует три группы метрических задач:
Группа задач 1	включающая в себя определение расстояний от точки до точки; от точки до прямой; от точки до плоскости; от точки до поверхности; от прямой до другой прямой; от прямой до плоскости; от плоскости до плоскости. Причем расстояние от прямой до плоскости и между плоскостями измеряется в тех случаях, когда они параллельны.
Группа задач 2	включающая определение углов между пересекающимися или скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями (имеется в виду определение величины двухгранного угла).
Группа задач 2, 3	связанная с определением истинной величины плоской фигуры и части поверхности (развертки).

Приведенные задачи могут быть решены с применением различных способов преобразования чертежа.

В основе решения метрических задач лежит свойство прямоугольного проецирования, заключающееся в том, что любая геометрическая фигура на плоскость проекций проецируется в натуральную величину, если она лежит в плоскости, параллельной этой плоскости проекций. Решение задач значительно упрощается, если хотя бы одна из геометрических фигур, участвующих в задачах, занимает частное положение. Если одна из геометрических фигур не занимает частного положения, необходимо выполнить определенные построения, позволяющие провести одну из них в это положение.

Определение расстояний между геометрическими моделями пространства. Определение длины отрезка прямой позволяет решить задачу определения расстояния от точки до точки, так как это расстояние и определяется отрезком прямой. Расстояние от точки до прямой измеряется отрезком перпендикуляра, проведенного из точки к прямой. Отрезок этого перпендикуляра изображается в натуральную величину на плоскости в том случае, если он проведен к проецирующей прямой. Значит, нужно преобразовать чертеж данной прямой, сделав ее в новой системе плоскостей проекций проецирующей. На рисунке 7.6 определено расстояние от точки М до прямой АВ:

1) П 2 _|_П 1 -> П 1 _|_П 4 , П 4 ||АВ, П 1 /П 4 ||A 1 B 1 ;

2) П 1 П 4 -> П 4 _|_П 5 , П 5 _|_AB, П 4 /П 5 _|_A 4 B 4 ;

3) M 5 K 5 - истинное расстояние от точки М до прямой AB;

Так как перпендикуляр к проецирующей плоскости есть линия уровня, то удобно иметь на чертеже «вырожденную» проекцию данной плоскости, т. е. преобразовать чертеж.

На рисунке 7.7 построены проекции перпендикуляра МК, отрезок которого определяет расстояние от точки М до плоскости Q(ABC):

1) П 1 ,П 2 ->П 1 _|_П 4 , П 4 _|_Q, П 1 /П 4 _|_ h(A, 1)~ 0;

2) М 4 K 4 _|_Q 4 - истинная величина расстояний от точки М до плоскости Q;

3) M 1 K 1 _|_K 4 K l или || П 1 / П 4 ;

4) K 2 построена с помощью высоты точки К, измеренной на плоскости П 4 .

Расстояние между параллельными прямыми измеряется отрезком перпендикуляра между ними.

Рисунок 7.8

Построения проекций перпендикуляра МК в исходной системе плоскостей проекций аналогичны рассмотренным ранее.

Для определения расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо одну из прямых сделать проецирующей в новой системе плоскостей проекций.

Расстояние от прямой до плоскости, параллельной прямой, измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на плоскость. Значит, достаточно плоскость общего положения преобразовать в положение проецирующей плоскости, взять на прямой точку, и решение задачи будет сведено к определению расстояния от точки до плоскости.

Расстояние между параллельными плоскостями измеряется отрезком перпендикуляра между ними, который легко строится, если плоскости займут проецирующее положение в новой системе плоскостей проекции, т. е. опять используется третья исходная задача преобразования чертежа.

Определение натуральных величин плоских фигур. Определение истинной величины плоской фигуры можно осуществить путем преобразования чертежа способом замены плоскостей проекций. На рисунке 7.9, а дан комплексный чертеж прямоугольника ABCD. Ни одна из проекций прямоугольника не занимает частного положения. Задачу решаем последовательным решением третьей и четвертой основных задач. Заменив плоскость П 2 на П 4 , приводим прямоугольник в частное положение, т. е. в виде проецирующей по отношению к П 4 - Выполнив вторую замену, то есть замену П 4 на П 5 , определяем истинную величину прямоугольника ABC.

Задачу определения истинной величины прямоугольника можно также решить способом вращения вокруг линии уровня плоскости этой фигуры до совмещения с соответствующей плоскостью уровня (рисунок 7.9, б).

Рисунок 7.9

Контрольные вопросы

1 Какие задачи называются метрическими?

2 Какие группы задач выделяются в метрических задачах?

3 Как на комплексном чертеже определить расстояние между двумя точками пространства; от точки до прямой; от точки до плоскости?

4 Как определить кратчайшее расстояние между двумя параллельными прямыми; скрещивающимися прямыми; от прямой до плоскости?

5 Какие построения необходимо выполнить на чертеже, чтобы определить натуральную величину угла между двумя пересекающимися прямыми общего положения?

6 Как по чертежу определить истинную величину угла между плоскостями общего положения, если ребро образованного ими двугранного угла не задано?

7 Какие вы знаете способы построения истинной величины фигуры сечения поверхности плоскостью общего положения?

Сущность способа заключается в том, что на чертеже вводится новая плоскость проекций таким образом, что предмет по отношению к ней занимает частное положение.

Рассмотрим применение этого способа к решению четырех основных задач на преобразование.

П е р в а я з а д а ч а: прямая общего
положения преобразуется в прямую уровня (рис. 5.1).

Чтобы преобразовать прямую AB общего положения в прямую уровня, необходимо ввести новую плоскость проекций параллельно АВ, т. е. на чертеже провести новую координатную ось параллельно А 1 В 1 или А 2 В 2 . В рассматриваемом случае координатная ось П 1 проведена параллельно А 1 В 1 , таким образом введена новая фронтальная плоскость проекций. Для построения проекции отрезка на этой плоскости нужно из А 1 и В 1 провести линии связи, перпендикулярные координатной осиП 1 /П 4 .

Так как высота прямой в пространстве не изменилась, то от оси П 1 /П 4 на соответствующих линиях связи откладываем высоту точек А и В, получаем А 4 и В 4 . Проекции прямой А 1 В 1 и А 4 В 4 дают положение прямой АВ, параллельное новой фронтальной плос-
кости проекций. Проекция А 4 В 4 – натуральная величина отрезка АВ. Угол между натуральной величиной прямой и горизонтальной проекцией – это угол наклона АВ к горизонтальной плоскости проекций П 1 . Если есть необходимость определить угол наклона прямой АВ к фронтальной плоскости проекций, тогда координатную ось П 2 /П 5 необходимо провести параллельно А 2 В 2 и на линиях связи от этой оси отложить А у и В у.

Угол между натуральной величиной и фронтальной проекцией и есть угол (β) наклона прямой АВ к П 2 .

Часто для определения натуральной величины отрезка и углов наклона прямой к плоскостям проекций пользуются способом прямоугольного треугольника, который является следствием из решения первой задачи на преобразование (рис. 5.2).

Натуральная величина отрезка есть гипотенуза прямоугольного треугольника, один катет которого – сама проекция отрезка, другой катет по величине является разностью координат концов отрезка, взятой на другой плоскости проекций.

В т о р а я з а д а ч а: прямая уровня преобразуется в прямую проецирующую (рис. 5.3).

Для решения этой задачи необходимо новую плоскость проекций провести перпендикулярно натуральной величине прямой А 1 В 1 . Проекции А 1 В 1 и А 4 В 4 дают положение прямой АВ, перпендикулярное новой фронтальной плоскости проекций П 4 .

Т р е т ь я и ч е т в е р т а я з а д а ч и: плоскость общего положения преобразуется в плоскость проецирующую, и плоскость проецирующая – в плоскость уровня.

Решение этих двух задач приведено на рис. 5.4. Пусть дана плоскость общего положения – задана треугольником АВС. Чтобы преобразовать ее в проецирующую, нужно ввести новую плоскость проекций перпендикулярно треугольнику АВС, но на комплексном чертеже это возможно в том случае, если провести плоскость проекций перпендикулярно линиям уровня или следам плоскости.

С этой целью проведем в плоскости треугольника АВС горизонталь. Перпендикулярно h 1 проведем координатную ось (П 1 /П 2). Прямая уровня h преобразовалась в прямую проецирующую h(h 1 h 4). Из проекции вершин треугольника А 1 ,В 1 ,С 1 проведем линии связи и от (П 1 /П 4) отложим соответствующие координаты А 2 ,В 2 ,С 2 . Проекция треугольника А 4 ,В 4 ,С 4 представляет собой прямую линию.

Таким образом, плоскость общего положения преобразована в плоскость проецирующую. Угол между проекцией треугольника А 4 В 4 С 4 и координатной осью является углом наклона плоскости к П 1 .

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА

Лекция 4

Решение ряда задач в начертательной геометрии значительно упрощается, когда геометрические фигуры занимают частное положение относительно плоскостей проекций. Задачи на определение взаимного положения фигур и метрические задачи (определение натуральных величин плоскостей, отрезков и т.д.). Для этого существуют различные способы преобразования комплексного чертежа. Каждый из них основан на одном из следующих принципов:

1. на изменении положения плоскостей проекций относительно неподвижных геометрических фигур;

2. на изменении положения заданных геометрических фигур относительно неподвижных плоскостей проекций;

Рассмотрим некоторые из них.

Сущность способа состоит в том, что заданные геометрические фигуры неподвижны в заданной системе плоскостей проекций (П 1 , П 2 ). Последовательно вводятся новые плоскости проекций (П 4 , П 5 ), относительно которых геометрические фигуры займут частное положение. Новая плоскость проекций выбирается с таким расчетом, чтобы она была перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций.

Большинство задач решается с применением одного или двух последовательных преобразований исходной системы плоскостей проекций. Одновременно можно заменять только одну плоскость проекций П 1 (или П 2 ), другая плоскость П 2 (или П 1 ) должна оставаться неизменной.
На рисунке 1 представлено наглядное изображение метода замены плоскостей проекций. Фронтальная плоскость П 2 заменяется на новую фронтальную плоскость П 4 . Новые проекции точки А (А 1 А 4 ), при этом, как видно из рисунка, высота точки А осталась прежней.

Необходимо запомнить правило построения новых проекций точек при методе замены:

1. линии связи всегда перпендикулярны новым осям проекций;
2. расстояние от новой оси проекций до новой проекции точки всегда берется с той плоскости, которую заменяют.

Рисунок 1.Наглядное изображение метода замены плоскостей проекций.

Рисунок 2.Изображение метода замены плоскостей проекций на эпюре.

Большинство задач в начертательной геометрии решаются на базе четырех задач:

1. Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня;
2. Преобразовать прямую общего положения в проецирующую прямую;
3. Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую плоскость;
4. Преобразовать плоскость общего положения в плоскость уровня .

Задача №1

Рассмотрим решение задачи №1 . Дана прямая АВ – общего положения, преобразуем ее в прямую уровня (рис.3). Для этого вводим новую фронтальную плоскость проекций П 4 , ось Х 1,4 проводим параллельно А 1 В 1 АВ – А 4 В 4. В новой системе плоскостей проекций прямая АВ – фронталь.

Рисунок 3.

Преобразование прямой общего положения в прямую уровня (фронталь)

Задача №2

Дана прямая АВ – общего положения, преобразуем ее в проецирующую прямую (рис.4). Для решения этой задачи необходимо выполнить последовательно два преобразования:

1. Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня, то есть решить сначала задачу №1;
2. Преобразовать прямую уровня в проецирующую прямую.

Вычертить условие задачи №1, самостоятельно решить ее, затем приступить к выполнению второго преобразования. Вводим новую горизонтальную плоскость проекций П 5 Х 4 , 5 перпендикулярно проекции А 4 В 4 и строим новую проекцию прямой А 5 В 5. В системе плоскостей П 4 ,П 5 , прямая АВ является горизонтально проецирующей прямой.

На базе задач №1 и №2 решаются следующие задачи:

1. определение расстояния от точки до прямой;

2. определение расстояния между параллельными и скрещивающимися прямыми;

3. определение натуральной величины прямой;

4. определение величины двугранного угла.

Рисунок 4.

Преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую.

Задача №3.

Дана плоскость АВС – общего положения, преобразуем ее в проецирующую плоскость (рис.5). Для решения этой задачи необходимо в плоскости провести линию уровня, если такая отсутствует. Новую ось проекций проводим перпендикулярно лини уровня. В треугольнике АВС проводим горизонталь h. Ось проекций Х 14 проводим перпендикулярно h 1 , новую проекцию плоскости А 4 В 4 С 4 , строим по правилам, разобранным в предыдущих задачах.

В системе плоскостей проекций П 1 ,П 4, плоскость треугольника является фронтально-проецирующей плоскостью.

Рисунок 5.

Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость.

Задача №4.

Рисунок 6.

Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня.

Дана плоскость АВС – общего положения, преобразуем ее в плоскость уровня (рис.6). Для решения этой задачи необходимо выполнить последовательно два преобразования:

1. Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую плоскость, то есть решить сначала задачу №3;
2. Преобразовать проецирующую плоскость в плоскость уровня.

Вычертить условие задачи №3, самостоятельно решить ее, затем приступить к выполнению второго преобразования. Вводим новую горизонтальную плоскость проекций П 5 , для этого проводим новую ось проекций Х 4 , 5 параллельно проекции А 4 В 4 С 4 и строим новую проекцию треугольника А 5 В 5 С 5. В системе плоскостей П 4 ,П 5 , треугольник АВС является горизонтальной плоскостью уровня.

На базе задач №3 и №4 решаются следующие задачи:

1. определение расстояния от точки до плоскости;

2. определение расстояния между параллельными плоскостями;

3. определение натуральных (истинных) величин геометрических фигур;

определение углов наклона плоскости к плоскостям проекций

Метод плоскопараллельного перемещения

Все вышерассмотренные задачи можно решить используя метод плоско-параллельного перемещения, при котором плоскости проекций остаются на месте, а проекция фигуры перемещается (рис.7).

Рисунок 7. Определение натуральной величины отрезка методом плоско-параллельного перемещения.

Дана прямая АВ – общего положения, преобразуем ее в прямую уровня (рис.7). Для этого перемещаем проекцию А 1 В 1 параллельно оси Х . Строим новую проекцию прямой АВ – А 2 ` В 2 ` , которая будетявляться- натуральной величиной отрезка. Этот метод используется для определения натуральных величин ребер многогранников при построении развертки.

Метод вращения

Частным случаем плоско-параллельного перемещения является метод вращения вокруг проецирующих прямых и прямых уровня.

Л Е К Ц И Я 10

СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

1. Сушность способа замены плоскостей

2. Применение способа замены плоскостей к отрезку прямой

3. Применение способа замены плоскостей к плоской фигуре

1. Сушность способа замены плоскостей

Этот способ заключается в том, что заданную систему плос­костей проек­ций заменяют новой системой так, что предмет (прямая или плоскость), не изменяя своего положения в про­странстве, оказывается в частном положении относительно новой системы плоскостей проекций. Плоскости проекций обра­зуют новую ортогональную систему.

В зависимости от условий задачи приходится заменять либо одну из заданных плоскостей проекций, либо обе, если заменой одной плоскости проекций не удается получить необходимого расположения проецируемого предмета относительно плоско­сти проекций.

Возьмем в системе плоскостей проекций Н и V произвольную точку А и построим ее прямоугольные проекции а и а" (рис. 60). Заменим фронтальную плоскость V новой плос­костью V 1 , перпендикулярной плоскости Н, т. е. от системы плоскостей color:black"> перейдем к системе с новой осью jx 1 . Спроеци-

ровав точку А на плоскость V 1 получим новую проекцию а1". Горизонтальная проекция а точки А принадлежит обеим систе­мам плоскостей проекций. Из построений видно, что a 1 " aXi = Aa = a " ax = zA , т. е. при замене плоскости V плоскостью V 1 , пер­пендикулярной плоскости Н, координата проецируемой точки остается без изменения.

Для получения чертежа совмещаем все три плоскости – Н, V к V 1 – в одну плоскость (рис. 60). В новой системе проекции a и a " находятся на линии проекционной связи, пер­пендикулярной к новой оси x 1 . При этом расстояние aXi a 1 " = axa "= zA .

Заменив горизонтальную плоскость проекций Н новой плос­костью H 1 , перпендикулярной плоскости V, от системы плоскостей проекций font-size:14.0pt;color:black"> переходят к новой системе (рис. 61).

Построив проекции точки А в обеих системах, замечаем, что координата у остается неизменной. На чертеже отрезок oXla 1 = axa = yA , что и позволяет строить новую проекцию а1 заданной точки А на перпендикуляре, проведенном из а" к но­вой оси о x 1 .

Последовательная замена двух плоскостей проекций показа­на на рис. 62. Сначала плоскость V заменена плоскостью V 1 перпендикулярной плоскости H , и построена новая проекция а1 точки А. Затем плоскость Н заменена плоскостью Н1 перпен­дикулярной плоскости V 1 , и построена новая проекция а1. Та­ким образом совершен последовательный переход от системы плоскостей проекций к системе, а затем к системе.

position:relative; z-index:-10">

В системе плоскостей проекциями точки А будут а{ и а1", после­довательное построение которых определяется неизменностью координаты z в системе плоскостей и координаты y 1 в системе плоскостей

Решение задач данным методом рассмотрим на двух при­мерах.

2. Применение способа замены плоскостей

к отрезку прямой

Пример 1. Определить длину отрезка АВ прямой по его проекциям ab и а"Ь" (рис. 63).

Задача решается путем замены одной из заданных плоско­стей проекций новой плоскостью проекций, параллельной отрез­ку АВ. На новую плоскость отрезок проецируется в истинную величину.

При замене плоскости V плоскостью V 1 , параллельной отрез­ку АВ, новую ось ох1 проводят параллельно горизонтальной про­екции ab (рис.63 а). Опустив из точек а и b перпендикуляры на ось ох1 и отложив на них aXla 1 "= axa " и bXib 1 " = bxb ", получа­ют новую проекцию а1" b "1, равную отрезку АВ, а также угол ан, равный углу наклона прямой к плоскости Н.

На рис. 63 б дано решение той же задачи путем замены плоскости Н плоскостью Н1, параллельной отрезку АВ. В этом случае ось ох1 располагаем параллельно фронтальной проек­ции a " b " и аналогично предыдущему получаем проекцию а1 b 1 равному заданному отрезку, и угол α v , раный углу наклона прямой к плоскости V .

3. Применение способа замены плоскостей

к плоской фигуре

Пример 2. Определить величину и форму треугольника АВС по его проекциям abc и а" b "с" (рис. 64).

Треугольник прое­циру­ет­ся без искажения на па­рал­лельную ему плос­кость про­екций. В общем случае од­ной заменой плос­костей проек­ций этого добиться невоз­можно, поэто­му после­дова­тель­но заменяют две плос­кости проек­ций.

Сначала заменяют плос-кость V плоскостью V 1 пер-пен­ди­ку­­лярной плоскости треу­гольника. Для этого в плоскости тре­уголь­ни­ка проводят горизонталь AD и пер­пендикулярно к ней рас­пола­га­ют плоскость V 1 . На чертеже построение сводится к прове­де­нию оси х1, перпендикулярной горизонтальной проек­ции ad горизонтали. Горизонталь AD проецируется на плос­кость V 1 в точку a 1 " ≡ d 1 , а треугольник - в отрезок b 1 c 1 .

Затем заменяют плоскость Н плоскостью Н1 параллельной плоскости треугольника ABC . Ось ох2 будет параллельна проек­ции b 1 "а1"с1", а проекция b 1 а1с1 отобразит истинную величину треугольника.

Изменение взаимного положения изучаемого объекта и плоскостей проекций достигается путем замены одной из плоскостей П 1 или П 2 новой плоскостями П 4 (рис. 148). Новая плоскость всегда выбирается перпендикулярно оставшейся плоскости проекций.

Для решения некоторых задач может потребоваться двойная замены плоскостей проекций (рис. 149). Последовательный переход от одной системы плоскостей проекций к другой необходимо осуществлять, выполняя следующее правило: расстояние от новой проекции точки до новой оси должно равняться расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси.

Задача 1 : Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положений (рис. 148). Из свойства параллельного проецирования известно, что отрезок проецируется на плоскость в натуральную величину, если он параллелен этой плоскости.

Выберем новую плоскость проекций П 4 , параллельно отрезку АВ и перпендикулярно плоскости П 1 . Введением новой плоскости, переходим из системы плоскостей П 1 П 2 в систему П 1 П 4 , причем в новой системе плоскостей проекция отрезка А 4 В 4 будет натуральной величиной отрезка АВ .

Задача 2 : Определить расстояние от точки А до прямой общего положения, заданной отрезком ВС (рис._149).

Понятие многогранника.

Многогранники – замкнутые пространственные фигуры, ограниченные плоскими многоугольниками. Вершины и стороны многогранников являются вершинами и ребрами многогранников. Они образуют пространственную сетку. Если вершины и ребра многогранника находятся по одну сторону плоскости любой из его граней, то многогранник называют выпуклым, все его грани – выпуклые.

Из всего многообразия многогранников наибольший практический интерес представляют призмы, пирамиды, правильные многогранники и их разновидности.

Многогранник, две грани которого n-угольники в параллельных плоскостях, а остальные n-граней - параллелограммы, называется n-угольной призмой. Многогранники являются основаниями призмы, а параллелограммы – боковыми гранями призмы.

Многогранник, у которого одна из граней – произвольный многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину, называются пирамидой. Грань–многоугольник называют основанием призмы, а треугольники – боковыми гранями пирамиды. Общая вершина треугольников называется особой вершиной пирамиды (обычно, просто вершиной).

Если пирамиду отсечь плоскостью параллельной основанию, то получим усеченную пирамиду.

Многогранник называется метрически правильным, если все его грани являются правильными многоугольниками. К ним относятся куб, тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.

Под изображением многогранников на чертеже будем понимать изображение ограничивающей его многогранной поверхности, т.е. изображение совокупности составляющих ее многогранников. Графически простую многогранную поверхность удобно задавать проекциями ее сетки.

Построение проекций:

Построение проекций многогранников

Построение проекции многогранника на некоторой плоскости сводится к построению проекций точек. Например, проецируя пирамиду SABC на пл.я 2 (рис. 256, слева), мы строим проекции вершин S, А, В и С и, как следствие, проекции основания ABC, граней SAB, SBC, SAC, ребер SA, SB и др.

Также, проецируя трехгранный угол ") с вершиной S (рис. 256, справа), мы, помимо вершины S, берем на ребрах угла по одной точке (К, М, N) и проецируем их

на пл. я 2 ; в результате получаем проекции ребер и граней (плоских углов) трехгранного угла и В целом самый угол.

На рис. 257 изображены многогранное тело ACBB 1 D... (т. е. часть пространства, ограниченного со всех сторон плоскими фигурами - многоугольниками) и его проекция на пл. я 1 - фигура A"C"F }