Prvi nivo

Derivat funkcije. Sveobuhvatni vodič (2019)

Zamislimo ravan put koji prolazi kroz brdsko područje. Odnosno, ide gore-dolje, ali ne skreće desno ili lijevo. Ako je os usmjerena vodoravno duž ceste i okomito, tada će linija ceste biti vrlo slična grafu neke kontinuirane funkcije:

Os je određeni nivo nulte nadmorske visine u životu koristimo nivo mora kao nju.

Kako se krećemo naprijed takvim putem, tako se krećemo gore ili dolje. Također možemo reći: kada se promijeni argument (kretanje duž apscisne ose), mijenja se vrijednost funkcije (kretanje duž ose ordinate). Sada razmislimo o tome kako odrediti "strminu" našeg puta? Kakva bi ovo mogla biti vrijednost? Vrlo je jednostavno: koliko će se visina promijeniti pri kretanju naprijed na određenu udaljenost. Uostalom, dalje različitim oblastima puteva, krećući se naprijed (duž x-ose) za jedan kilometar, mi ćemo se uzdizati ili spuštati različite količine metara u odnosu na nivo mora (duž ordinatne ose).

Označimo napredak (čitaj "delta x").

Grčko slovo (delta) se obično koristi kao prefiks u matematici, što znači "promjena". To jest, ovo je promjena količine, - promjena; šta je onda? Tako je, promjena veličine.

Važno: izraz je jedna cjelina, jedna varijabla. Nikada ne odvajajte “delta” od “x” ili bilo koje drugo slovo! To je, na primjer, .

Dakle, krenuli smo naprijed, horizontalno, mimo. Ako uporedimo liniju puta sa grafom funkcije, kako onda označavamo uspon? Svakako, . Odnosno, kako idemo naprijed, dižemo se više.

Vrijednost je lako izračunati: ako smo na početku bili na visini, a nakon kretanja našli smo se na visini, onda. Ako je krajnja tačka niža od početne, bit će negativna - to znači da se ne penjemo, već se spuštamo.

Vratimo se na "strminu": ovo je vrijednost koja pokazuje koliko (strmo) raste visina kada se kreće naprijed za jednu jedinicu udaljenosti:

Pretpostavimo da se na nekom dijelu puta, pri kretanju naprijed za kilometar, put uzdiže za kilometar. Tada je nagib na ovom mjestu jednak. A ako se put, dok se kreće naprijed za m, spusti za km? Tada je nagib jednak.

Pogledajmo sada vrh brda. Ako uzmete početak dionice pola kilometra prije vrha, a kraj pola kilometra nakon njega, možete vidjeti da je visina gotovo ista.

Odnosno, prema našoj logici, ispada da je nagib ovdje gotovo jednak nuli, što očito nije tačno. Na udaljenosti od nekoliko kilometara mnogo toga se može promijeniti. Potrebno je razmotriti manje površine radi adekvatnije i preciznije procjene strmine. Na primjer, ako izmjerite promjenu visine dok se krećete jedan metar, rezultat će biti mnogo precizniji. Ali ni ta preciznost nam možda neće biti dovoljna – uostalom, ako postoji stub na sredini puta, možemo ga jednostavno proći. Koju udaljenost onda da izaberemo? Centimetar? Milimetar? Manje je bolje!

IN pravi zivot Mjerenje udaljenosti do najbližeg milimetra je više nego dovoljno. Ali matematičari uvijek teže savršenstvu. Stoga je koncept izmišljen infinitezimal, to jest, apsolutna vrijednost je manja od bilo kojeg broja koji možemo imenovati. Na primjer, kažete: trilionti dio! Koliko manje? I podijelite ovaj broj sa - i bit će još manje. I tako dalje. Ako želimo da zapišemo da je veličina beskonačno mala, pišemo ovako: (čitamo „x teži nuli“). Veoma je važno razumjeti da ovaj broj nije jednak nuli! Ali vrlo blizu tome. To znači da možete podijeliti s tim.

Koncept suprotan infinitezimalnom je beskonačno velik (). Vjerovatno ste već naišli na to kada ste radili na nejednačinama: ovaj broj je modulo veći od bilo kojeg broja kojeg možete zamisliti. Ako ste smislili najveći mogući brojevi, samo ga pomnožite sa dva i dobijete još više. A beskonačnost je čak i veća od onoga što se dešava. U stvari, beskonačno veliko i beskonačno malo su inverzne jedno drugom, to jest at, i obrnuto: at.

Sada se vratimo na naš put. Idealno izračunati nagib je nagib izračunat za beskonačno mali segment puta, odnosno:

Napominjem da će s beskonačno malim pomakom promjena visine također biti beskonačno mala. Ali da vas podsjetim da infinitezimalno ne znači jednako nuli. Ako podijelite beskonačno male brojeve jedni s drugima, možete dobiti potpuno običan broj, na primjer, . To jest, jedna mala vrijednost može biti tačno puta veća od druge.

čemu sve ovo? Put, strmina... Ne idemo na auto rally, ali predajemo matematiku. A u matematici je sve potpuno isto, samo se drugačije zove.

Koncept derivata

Derivat funkcije je omjer prirasta funkcije i inkrementa argumenta za beskonačno mali prirast argumenta.

Postepeno u matematici nazivaju promjenom. Poziva se stepen do kojeg se argument () mijenja dok se kreće duž ose povećanje argumenta i označava se koliko se funkcija (visina) promijenila pri kretanju naprijed duž ose za rastojanje povećanje funkcije i određen je.

Dakle, derivacija funkcije je omjer kada. Izvod označavamo istim slovom kao i funkcija, samo sa prostim brojem u gornjem desnom uglu: ili jednostavno. Dakle, napišimo formulu derivacije koristeći ove oznake:

Kao iu analogiji sa cestom, i ovdje kada se funkcija povećava, derivacija je pozitivna, a kada se smanjuje negativna.

Može li izvod biti jednak nuli? Svakako. Na primjer, ako vozimo po ravnom horizontalnom putu, strmina je nula. I istina je, visina se uopšte ne menja. Tako je i sa izvodom: izvod konstantne funkcije (konstante) jednak je nuli:

budući da je prirast takve funkcije jednak nuli za bilo koju.

Sjetimo se primjera na vrhu brda. Ispostavilo se da je moguće poredati krajeve segmenta različite strane odozgo, tako da visina na krajevima bude ista, odnosno da je segment paralelan sa osi:

Ali veliki segmenti su znak netačnog mjerenja. Naš segment ćemo podići paralelno sa sobom, a zatim će se njegova dužina smanjiti.

Na kraju, kada smo beskonačno blizu vrha, dužina segmenta će postati beskonačno mala. Ali u isto vrijeme, ostao je paralelan s osom, odnosno visinska razlika na njegovim krajevima jednaka je nuli (ne teži, već je jednaka). Dakle, derivat

Ovo se može shvatiti ovako: kada stojimo na samom vrhu, mali pomak ulijevo ili udesno neznatno mijenja našu visinu.

Postoji i čisto algebarsko objašnjenje: lijevo od vrha funkcija raste, a desno opada. Kao što smo ranije saznali, kada se funkcija povećava, izvod je pozitivan, a kada se smanjuje negativan. Ali mijenja se glatko, bez skokova (pošto put nigdje naglo ne mijenja nagib). Stoga mora postojati između negativnih i pozitivnih vrijednosti. To će biti tamo gdje se funkcija niti povećava niti smanjuje - u točki vrha.

Isto vrijedi i za korito (područje gdje se funkcija s lijeve strane smanjuje, a na desnoj povećava):

Još malo o inkrementima.

Dakle, mijenjamo argument u veličinu. Mi mijenjamo od koje vrijednosti? Šta je to (argument) sada postalo? Možemo izabrati bilo koju tačku, a sada ćemo plesati iz nje.

Razmotrite tačku sa koordinatama. Vrijednost funkcije u njemu je jednaka. Zatim radimo isti inkrement: povećavamo koordinatu za. Šta je sada argument? Vrlo jednostavno: . Koja je sada vrijednost funkcije? Gdje ide argument, ide i funkcija: . Šta je sa povećanjem funkcije? Ništa novo: ovo je još uvijek iznos za koji se funkcija promijenila:

Vježbajte pronalaženje inkremenata:

1. Pronađite prirast funkcije u tački kada je prirast argumenta jednak.
2. Isto vrijedi i za funkciju u jednoj tački.

rješenja:

U različitim točkama s istim prirastom argumenta, inkrement funkcije će biti različit. To znači da je derivacija u svakoj tački drugačija (o tome smo razgovarali na samom početku - strmina puta je različita u različitim tačkama). Stoga, kada pišemo derivat, moramo naznačiti u kojoj točki:

Funkcija napajanja.

Funkcija snage je funkcija u kojoj je argument u određenoj mjeri (logičan, zar ne?).

Štaviše - u bilo kojoj mjeri: .

Najjednostavniji slučaj je kada je eksponent:

Nađimo njen derivat u jednoj tački. Prisjetimo se definicije derivata:

Dakle, argument se mijenja od do. Koliki je prirast funkcije?

Prirast je ovo. Ali funkcija u bilo kojoj tački jednaka je svom argumentu. Zbog toga:

Izvod je jednak:

Derivat od je jednak:

b) Sada razmotrite kvadratna funkcija (): .

A sada da se prisjetimo toga. To znači da se vrijednost prirasta može zanemariti, jer je beskonačno mala, a samim tim i beznačajna na pozadini drugog pojma:

Dakle, došli smo do još jednog pravila:

c) Nastavljamo logički niz: .

Ovaj izraz se može pojednostaviti na različite načine: otvoriti prvu zagradu koristeći formulu za skraćeno množenje kocke zbira, ili faktorizirati cijeli izraz koristeći formulu razlike kocki. Pokušajte to učiniti sami koristeći bilo koju od predloženih metoda.

Dakle, dobio sam sledeće:

I opet da se prisjetimo toga. To znači da možemo zanemariti sve pojmove koji sadrže:

Dobijamo: .

d) Slična pravila se mogu dobiti za velike snage:

e) Ispada da se ovo pravilo može generalizirati za funkciju stepena s proizvoljnim eksponentom, čak ni cijelim brojem:

(2)

Pravilo se može formulirati riječima: "stepen se iznosi naprijed kao koeficijent, a zatim se smanjuje za ."

Ovo pravilo ćemo dokazati kasnije (skoro na samom kraju). Pogledajmo sada nekoliko primjera. Pronađite izvod funkcija:

1. (na dva načina: formulom i korištenjem definicije derivacije - izračunavanjem prirasta funkcije);

1. . Vjerovali ili ne, ovo je funkcija snage. Ako imate pitanja poput „Kako je ovo? Gdje je diploma?”, zapamtite temu “”!
   Da, da, korijen je također stepen, samo razlomak: .
   To znači da je naš kvadratni korijen samo potencija s eksponentom:
   .
   Izvod tražimo koristeći nedavno naučenu formulu:

   Ako u ovom trenutku ponovo postane nejasno, ponovite temu “”!!! (oko stepena sa negativnim eksponentom)

2. . Sada eksponent:

   A sada kroz definiciju (jeste li već zaboravili?):
   ;
   .
   Sada, kao i obično, zanemarujemo pojam koji sadrži:
   .

3. . Kombinacija prethodnih slučajeva: .

Trigonometrijske funkcije.

Ovdje ćemo koristiti jednu činjenicu iz više matematike:

Sa izrazom.

Dokaz ćete naučiti na prvoj godini instituta (a da biste tamo stigli, potrebno je dobro položiti Jedinstveni državni ispit). Sada ću to samo grafički prikazati:

Vidimo da kada funkcija ne postoji - tačka na grafu je izrezana. Ali što je bliža vrijednosti, to je funkcija bliža.

Osim toga, ovo pravilo možete provjeriti pomoću kalkulatora. Da, da, ne stidite se, uzmite kalkulator, još nismo na Jedinstvenom državnom ispitu.

Dakle, pokušajmo: ;

Ne zaboravite da prebacite svoj kalkulator u način rada radijana!

itd. Vidimo da što je manji, to je bliža vrijednost omjera.

a) Razmotrite funkciju. Kao i obično, pronađimo njegov prirast:

Pretvorimo razliku sinusa u proizvod. Da bismo to učinili, koristimo formulu (zapamtite temu “”): .

Sada derivat:

Napravimo zamjenu: . Tada je za infinitezimalno također infinitezimalno: . Izraz za ima oblik:

A sada se toga sećamo sa izrazom. I takođe, šta ako se beskonačno mala količina može zanemariti u zbiru (to jest, at).

Dakle, dobijamo sledeće pravilo: derivacija sinusa je jednaka kosinsu:

Ovo su osnovne (“tabelarne”) izvedenice. Evo ih na jednoj listi:

Kasnije ćemo im dodati još nekoliko, ali ovo su najvažnije, jer se najčešće koriste.

vježba:

1. Pronađite derivaciju funkcije u tački;
2. Pronađite izvod funkcije.

rješenja:

1. Prvo, pronađimo derivat u opšti pogled, a zatim zamijenite njegovu vrijednost:
   ;
   .
2. Ovdje imamo nešto slično funkciji snage. Pokušajmo je dovesti do toga
   normalan pogled:
   .
   Odlično, sada možete koristiti formulu:
   .
   .
3. . Eeeeeee.....Šta je ovo????

Dobro, u pravu ste, još ne znamo kako pronaći takve derivate. Ovdje imamo kombinaciju nekoliko vrsta funkcija. Da biste radili s njima, morate naučiti još nekoliko pravila:

Eksponent i prirodni logaritam.

U matematici postoji funkcija čiji je izvod za bilo koju vrijednost u isto vrijeme jednak vrijednosti same funkcije. Zove se “eksponent” i eksponencijalna je funkcija

Osnova ove funkcije - konstanta - je beskonačan decimalni razlomak, odnosno iracionalni broj (kao što je). Zove se "Eulerov broj", zbog čega je označen slovom.

Dakle, pravilo:

Vrlo lako za pamćenje.

Pa, da ne idemo daleko, odmah razmotrimo inverznu funkciju. Koja je funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji? logaritam:

U našem slučaju, osnova je broj:

Takav logaritam (tj. logaritam s bazom) naziva se „prirodnim“, a za njega koristimo posebnu notaciju: umjesto toga pišemo.

Čemu je to jednako? Naravno, .

Izvod prirodnog logaritma je također vrlo jednostavan:

primjeri:

1. Pronađite izvod funkcije.
2. Što je derivacija funkcije?

odgovori: Eksponencijalni i prirodni logaritam su jedinstveno jednostavne funkcije iz perspektive derivata. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će drugačiji izvod, koji ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferencijacije.

Pravila diferencijacije

Pravila čega? Opet novi mandat, opet?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja derivata.

To je sve. Kako drugačije možete nazvati ovaj proces jednom riječju? Nije derivacija... Matematičari diferencijal nazivaju istim prirastom funkcije u. Ovaj izraz dolazi od latinskog differentia - razlika. Evo.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila, koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Također će nam trebati formule za njihove priraštaje:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta se izvlači iz predznaka derivacije.

Ako - neki konstantni broj (konstanta), onda.

Očigledno, ovo pravilo radi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka bude, ili jednostavnije.

Primjeri.

Pronađite derivate funkcija:

1. u jednom trenutku;
2. u jednom trenutku;
3. u jednom trenutku;
4. u tački.

rješenja:

1. (izvod je isti u svim tačkama, pošto je linearna funkcija, sjećate se?);

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uđimo nova funkcija i pronađite njegov prirast:

Derivat:

primjeri:

1. Naći izvode funkcija i;
2. Pronađite izvod funkcije u tački.

rješenja:

Derivat eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenata (jeste li već zaboravili šta je to?).

Dakle, gdje je neki broj.

Već znamo derivaciju funkcije, pa pokušajmo svesti našu funkciju na novu bazu:

Za ovo ćemo koristiti jednostavno pravilo: . onda:

Pa, upalilo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

Desilo se?

Evo, uvjerite se sami:

Ispostavilo se da je formula vrlo slična izvedenici eksponenta: onakva kakva je bila, ostala je ista, pojavio se samo faktor, koji je samo broj, ali ne i varijabla.

primjeri:
Pronađite izvode funkcija:

odgovori:

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se više zapisati u jednostavnom obliku. Stoga ga ostavljamo u ovom obliku u odgovoru.

Derivat logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate derivaciju prirodnog logaritma:

Stoga, da biste pronašli proizvoljan logaritam s različitom bazom, na primjer:

Ovaj logaritam moramo svesti na bazu. Kako se mijenja baza logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Tek sada ćemo umjesto toga napisati:

Imenilac je jednostavno konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod se dobija vrlo jednostavno:

Derivati ​​eksponencijalnih i logaritamskih funkcija gotovo se nikada ne nalaze na Jedinstvenom državnom ispitu, ali neće biti suvišno znati ih.

Derivat kompleksne funkcije.

Šta se desilo " složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teško razumljive (mada ako vam je logaritam težak, pročitajte temu “Logaritmi” i bit će vam dobro), ali sa matematičke tačke gledišta, riječ “složeno” ne znači “teško”.

Zamislite malu pokretnu traku: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Na primjer, prvi umota čokoladicu u omot, a drugi je veže trakom. Rezultat je kompozitni predmet: čokoladica omotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, morate učiniti obrnutim koracima obrnutim redoslijedom.

Napravimo sličan matematički cevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim kvadrirati rezultirajući broj. Dakle, dat nam je broj (čokolada), ja nađem njegov kosinus (omot), a onda kvadriraš ono što sam dobio (zaveži ga vrpcom). Šta se desilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njenu vrijednost, izvršimo prvu akciju direktno s promjenljivom, a zatim drugu akciju s onim što je rezultat prve.

Lako možemo napraviti iste korake obrnutim redoslijedom: prvo ga kvadriraš, a ja onda tražim kosinus rezultirajućeg broja: . Lako je pretpostaviti da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna karakteristika složene funkcije: kada se redoslijed radnji promijeni, funkcija se mijenja.

Drugim riječima, složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za prvi primjer, .

Drugi primjer: (ista stvar). .

Akcija koju radimo posljednja će biti pozvana "vanjska" funkcija, a radnja izvedena prva - prema tome "interne" funkcije(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da objasnim gradivo jednostavnim jezikom).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutrašnja:

odgovori: Razdvajanje unutrašnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji

1. Koju akciju ćemo prvo izvesti? Prvo izračunajmo sinus, pa ga tek onda kockiraj. To znači da je to interna funkcija, ali vanjska.
   A originalna funkcija je njihov sastav: .
2. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
3. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
4. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
5. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .

Mijenjamo varijable i dobijamo funkciju.

Pa, sada ćemo izvaditi našu čokoladicu i potražiti derivat. Procedura je uvijek obrnuta: prvo tražimo izvod vanjske funkcije, a zatim rezultat množimo s izvodom unutrašnje funkcije. U odnosu na originalni primjer, to izgleda ovako:

Drugi primjer:

Dakle, hajde da konačno formulišemo zvanično pravilo:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

Čini se jednostavno, zar ne?

Provjerimo na primjerima:

rješenja:

1) Interni: ;

Vanjski: ;

2) Interni: ;

(Samo nemojte pokušavati da ga isečete do sada! Ništa ne izlazi ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interni: ;

Vanjski: ;

Odmah je jasno da se radi o kompleksnoj funkciji na tri nivoa: na kraju krajeva, ovo je već složena funkcija sama po sebi, a iz nje izvlačimo i korijen, odnosno izvodimo treću radnju (čokoladu stavljamo u omot i sa trakom u aktovci). Ali nema razloga za strah: i dalje ćemo „raspakovati“ ovu funkciju istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo razlikujemo korijen, zatim kosinus, pa tek onda izraz u zagradama. A onda sve to pomnožimo.

U takvim slučajevima je zgodno numerisati radnje. Odnosno, zamislimo šta znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvršiti radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:

Što se radnja izvrši kasnije, to će odgovarajuća funkcija biti „spoljašnja“. Redoslijed radnji je isti kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 nivoa. Hajde da odredimo redosled akcije.

1. Radikalni izraz. .

2. Root. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Stavljajući sve zajedno:

DERIVAT. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Derivat funkcije- omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta za beskonačno mali prirast argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila diferencijacije:

Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije:

Derivat sume:

Derivat proizvoda:

Derivat količnika:

Derivat kompleksne funkcije:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

1. Definiramo “internu” funkciju i nalazimo njen izvod.
2. Definiramo “vanjsku” funkciju i nalazimo njen izvod.
3. Množimo rezultate prve i druge tačke.

Zdravo! Udarimo na predstojeći Jedinstveni državni ispit kvalitetnom sistematskom pripremom i upornošću u brušenju granita nauke!!! INNa kraju posta je takmičarski zadatak, budi prvi! U jednom od članaka u ovoj sekciji, ti i ja, u kojem je dat graf funkcije i postavljena su razna pitanja u vezi s ekstremima, intervalima povećanja (spadanja) i dr.

U ovom članku ćemo razmotriti probleme uključene u Jedinstveni državni ispit iz matematike, u kojem je dat graf derivacije funkcije i postavljena sljedeća pitanja:

1. U kojoj tački datog segmenta funkcija poprima najveću (ili najmanju) vrijednost.

2. Pronađite broj maksimalnih (ili minimalnih) tačaka funkcije koje pripadaju datom segmentu.

3. Odrediti broj točaka ekstrema funkcije koje pripadaju datom segmentu.

4. Odrediti tačku ekstrema funkcije koja pripada datom segmentu.

5. Pronađite intervale rastuće (ili opadajuće) funkcije i u odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale.

6. Pronađite intervale povećanja (ili smanjenja) funkcije. U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od ovih intervala.

7. Odrediti broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna ili se poklapa s pravom oblika y = kx + b.

8. Naći apscisu tačke u kojoj je tangenta na graf funkcije paralelna sa osom apscise ili se poklapa s njom.

Mogu postojati i druga pitanja, ali neće vam stvarati poteškoće ako razumijete i (linkovi su dati do članaka koji pružaju informacije potrebne za rješenje, preporučujem da ih ponovite).

Osnovne informacije (ukratko):

1. Izvod u rastućim intervalima ima pozitivan predznak.

Ako derivacija u određenoj tački iz određenog intervala ima pozitivnu vrijednost, tada se graf funkcije na tom intervalu povećava.

2. U opadajućim intervalima, izvod ima negativan predznak.

Ako derivacija u određenoj tački iz određenog intervala ima negativno značenje, tada se graf funkcije smanjuje na ovom intervalu.

3. Derivat u tački x jednak je nagibu tangente povučene na graf funkcije u istoj tački.

4. U tačkama ekstrema (maksimum-minimum) funkcije derivacija je jednaka nuli. Tangenta na graf funkcije u ovoj tački je paralelna sa x osom.

Ovo se mora jasno shvatiti i zapamtiti!!!

Izvedeni graf "zbunjuje" mnoge ljude. Neki ljudi ga nehotice pomiješaju sa grafikom same funkcije. Stoga, u takvim zgradama, gdje vidite da je dat graf, odmah usmjerite pažnju u uvjetu na ono što je dato: graf funkcije ili graf derivacije funkcije?

Ako je to graf derivacije funkcije, onda ga tretirajte kao "odraz" same funkcije, što vam jednostavno daje informacije o toj funkciji.

Razmotrite zadatak:

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–2;21).

Odgovorićemo na sledeća pitanja:

1. U kojoj tački na segmentu je funkcija f(X) prihvata najveća vrijednost.

Na datom intervalu derivacija funkcije je negativna, što znači da funkcija na ovom intervalu opada (smanjuje se od lijeve granice intervala na desno). Tako se najveća vrijednost funkcije postiže na lijevoj ivici segmenta, odnosno u tački 7.

Odgovor: 7

2. U kojoj tački na segmentu je funkcija f(X)

Iz ovog izvedenog grafa možemo reći sljedeće. Na datom intervalu derivacija funkcije je pozitivna, što znači da se funkcija na tom intervalu povećava (rast od lijeve granice intervala prema desnoj). dakle, najmanju vrijednost funkcija se postiže na lijevoj granici segmenta, odnosno u tački x = 3.

Odgovor: 3

3. Pronađite broj maksimalnih tačaka funkcije f(X)

Maksimalne tačke odgovaraju tačkama gde se predznak derivacije menja iz pozitivnog u negativan. Razmotrimo gdje se znak mijenja na ovaj način.

Na segmentu (3;6) izvod je pozitivan, na segmentu (6;16) negativan.

Na segmentu (16;18) izvod je pozitivan, na segmentu (18;20) negativan.

Dakle, na datom segmentu funkcija ima dvije maksimalne tačke x = 6 i x = 18.

Odgovor: 2

4. Odrediti broj minimalnih tačaka funkcije f(X), koji pripada segmentu.

Minimum bodova odgovara tačkama u kojima se predznak derivacije mijenja iz negativnog u pozitivan. Naš izvod je negativan na intervalu (0;3), a pozitivan na intervalu (3;4).

Dakle, na segmentu funkcija ima samo jednu minimalnu tačku x = 3.

*Budite oprezni pri zapisivanju odgovora - bilježi se broj bodova, a ne vrijednost x takva greška može nastati zbog nepažnje.

Odgovor: 1

5. Odrediti broj točaka ekstrema funkcije f(X), koji pripada segmentu.

Zabilježite šta trebate pronaći količina ekstremne tačke (ovo su i maksimalne i minimalne tačke).

Ekstremne tačke odgovaraju tačkama u kojima se menja predznak derivacije (iz pozitivnog u negativan ili obrnuto). U grafu datom u uslovu, to su nule funkcije. Izvod nestaje u tačkama 3, 6, 16, 18.

Dakle, funkcija ima 4 ekstremne tačke na segmentu.

Odgovor: 4

6. Naći intervale rastuće funkcije f(X)

Intervali povećanja ove funkcije f(X) odgovaraju intervalima na kojima je njegova derivacija pozitivna, odnosno intervalima (3;6) i (16;18). Imajte na umu da granice intervala nisu uključene u njega (okrugle zagrade - granice nisu uključene u interval, uglaste zagrade - uključene). Ovi intervali sadrže čitave tačke 4, 5, 17. Njihov zbir je: 4 + 5 + 17 = 26

Odgovor: 26

7. Naći intervale opadajuće funkcije f(X) u datom intervalu. U svom odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale.

Smanjenje intervala funkcije f(X) odgovaraju intervalima na kojima je derivacija funkcije negativna. U ovom zadatku to su intervali (–2;3), (6;16), (18:21).

Ovi intervali sadrže sljedeće cjelobrojne tačke: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Njihov zbir je:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Odgovor: 140

*Obratite pažnju na uslov: da li su granice uključene u interval ili ne. Ako su granice uključene, tada se u intervalima koji se razmatraju u procesu rješavanja ove granice također moraju uzeti u obzir.

8. Naći intervale rastuće funkcije f(X)

Intervali rastuće funkcije f(X) odgovaraju intervalima na kojima je derivacija funkcije pozitivna. Već smo ih naznačili: (3;6) i (16:18). Najveći od njih je interval (3;6), njegova dužina je 3.

Odgovor: 3

9. Naći intervale opadajuće funkcije f(X). U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od njih.

Smanjenje intervala funkcije f(X) odgovaraju intervalima na kojima je derivacija funkcije negativna. Već smo ih naznačili to su intervali (–2;3), (6;16), (18;21), njihove dužine su 5, 10, 3.

Dužina najvećeg je 10.

Odgovor: 10

10. Pronađite broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije f(X) paralelno ili poklapa se sa pravom linijom y = 2x + 3.

Vrijednost derivacije u tački tangente jednaka je nagibu tangente. Kako je tangenta paralelna pravoj liniji y = 2x + 3 ili se poklapa sa njom, njihovi ugaoni koeficijenti su jednaki 2. To znači da je potrebno pronaći broj tačaka u kojima je y′(x 0) = 2. Geometrijski, ovo odgovara broju tačaka preseka grafika derivacije sa pravom linijom y = 2. Na ovom intervalu postoje 4 takve tačke.

Odgovor: 4

11. Pronađite točku ekstrema funkcije f(X), koji pripada segmentu.

Ekstremna tačka funkcije je tačka u kojoj je njen izvod jednak nuli, a u blizini te tačke derivacija menja predznak (iz pozitivnog u negativan ili obrnuto). Na segmentu, grafik derivacije siječe x-osu, derivacija mijenja predznak iz negativnog u pozitivan. Prema tome, tačka x = 3 je tačka ekstrema.

Odgovor: 3

12. Naći apscisu tačaka u kojima su tangente na graf y = f (x) paralelne sa osom apscise ili se poklapaju s njom. U svom odgovoru navedite najveći od njih.

Tangenta na graf y = f (x) može biti paralelna sa apscisnom osom ili se poklapati s njom, samo u tačkama gde je derivacija jednaka nuli (to mogu biti tačke ekstrema ili stacionarne tačke u čijoj blizini se izvodi izvod). ne mijenja svoj predznak). Ovaj grafikon pokazuje da je izvod nula u tačkama 3, 6, 16,18. Najveći je 18.

Svoje razmišljanje možete konstruirati na sljedeći način:

Vrijednost derivacije u tački tangente jednaka je nagibu tangente. Pošto je tangenta paralelna ili se poklapa sa x-osom, njen nagib je 0 (zaista, tangenta ugla od nula stepeni je nula). Stoga tražimo tačku u kojoj je nagib jednak nuli, pa je stoga i derivacija jednaka nuli. Izvod je jednak nuli u tački u kojoj njen graf seče x-osu, a to su tačke 3, 6, 16,18.

Odgovor: 18

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–8;4). U kojoj tački segmenta [–7;–3] je funkcija f(X) uzima najmanju vrijednost.

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–7;14). Pronađite broj maksimalnih tačaka funkcije f(X), koji pripada segmentu [–6;9].

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–18;6). Pronađite broj minimalnih tačaka funkcije f(X), koji pripada segmentu [–13;1].

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–11; –11). Odrediti broj točaka ekstrema funkcije f(X), koji pripada segmentu [–10; -10].

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–7;4). Naći intervale rastuće funkcije f(X). U svom odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale.

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–5;7). Naći intervale opadajuće funkcije f(X). U svom odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale.

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–11;3). Naći intervale rastuće funkcije f(X). U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od njih.

F Slika prikazuje grafikon

Uslovi problema su isti (koje smo razmatrali). Pronađite zbir tri broja:

1. Zbir kvadrata ekstrema funkcije f (x).

2. Razlika između kvadrata zbira maksimalnih tačaka i zbira minimalnih tačaka funkcije f (x).

3. Broj tangenti na f (x) paralelnih pravoj liniji y = –3x + 5.

Onaj koji prvi da tačan odgovor će dobiti stimulativnu nagradu od 150 rubalja. Napišite svoje odgovore u komentarima. Ako je ovo vaš prvi komentar na blogu, neće se pojaviti odmah, već malo kasnije (ne brinite, bilježi se vrijeme kada je komentar napisan).

Sretno ti!

Srdačan pozdrav, Alexander Krutitsikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.

Proučavanje funkcije koristeći njen derivat. U ovom članku ćemo analizirati neke zadatke vezane za proučavanje grafa funkcije. U takvim zadacima daje se graf funkcije y = f (x) i postavljaju pitanja vezana za određivanje broja tačaka u kojima je derivacija funkcije pozitivna (ili negativna), kao i druga. Klasificirani su kao zadaci o primjeni derivata u proučavanju funkcija.

Rješavanje ovakvih problema, kao i problema vezanih za istraživanje općenito, moguće je samo uz potpuno razumijevanje svojstava izvoda za proučavanje grafova funkcija i izvoda. Stoga vam toplo preporučujem da proučite relevantnu teoriju. Možete učiti i gledati (ali sadrži kratak sažetak).

U budućim člancima ćemo također razmotriti probleme gdje je prikazan graf derivata, nemojte ga propustiti! Dakle, zadaci:

Na slici je prikazan grafik funkcije y = f (x), definisane na intervalu (−6; 8). definirati:

1. Broj cjelobrojnih tačaka u kojima je derivacija funkcije negativna;

2. Broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna pravoj liniji y = 2;

1. Derivat funkcije je negativan na intervalima na kojima funkcija opada, odnosno na intervalima (−6; –3), (0; 4.2), (6.9; 8). Oni sadrže cjelobrojne točke −5, −4, 1, 2, 3, 4 i 7. Dobijamo 7 bodova.

2. Direktno y= 2 paralelno sa osomOhy= 2 samo u tačkama ekstrema (u tačkama gde graf menja svoje ponašanje od povećanja do opadanja ili obrnuto). Postoje četiri takve tačke: –3; 0; 4.2; 6.9

Odlučite sami:

Odrediti broj cjelobrojnih točaka u kojima je derivacija funkcije pozitivna.

Na slici je prikazan grafik funkcije y = f (x), definisane na intervalu (−5; 5). definirati:

2. Broj cjelobrojnih tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna pravoj liniji y = 3;

3. Broj tačaka u kojima je izvod nula;

1. Iz svojstava derivacije funkcije poznato je da je ona pozitivna na intervalima na kojima funkcija raste, odnosno na intervalima (1.4; 2.5) i (4.4; 5). Sadrže samo jednu ceobrojnu tačku x = 2.

2. Direktno y= 3 paralelno sa osomOh. Tangenta će biti paralelna pravojy= 3 samo u tačkama ekstrema (u tačkama gde graf menja svoje ponašanje od povećanja do opadanja ili obrnuto).

Postoje četiri takve tačke: –4,3; 1.4; 2.5; 4.4

3. Derivat je jednak nuli u četiri tačke (u tačkama ekstrema), već smo ih naznačili.

Odlučite sami:

Odrediti broj cjelobrojnih točaka u kojima je derivacija funkcije f(x) negativna.

Na slici je prikazan grafik funkcije y = f (x), definirane na intervalu (−2; 12). Pronađite:

1. Broj cjelobrojnih tačaka u kojima je derivacija funkcije pozitivna;

2. Broj cjelobrojnih tačaka u kojima je derivacija funkcije negativna;

3. Broj cjelobrojnih tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna pravoj liniji y = 2;

4. Broj tačaka u kojima je izvod nula.

1. Iz svojstava derivacije funkcije poznato je da je ona pozitivna na intervalima na kojima funkcija raste, odnosno na intervalima (–2; 1), (2; 4), (7; 9) i ( 10; Sadrže cjelobrojne točke: –1, 0, 3, 8. Ukupno ih ima četiri.

2. Derivat funkcije je negativan na intervalima na kojima funkcija opada, odnosno na intervalima (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12). Sadrže cijele tačke 5 i 6. Dobijamo 2 boda.

3. Direktno y= 2 paralelno sa osomOh. Tangenta će biti paralelna pravojy= 2 samo u tačkama ekstrema (u tačkama gde graf menja svoje ponašanje od povećanja do opadanja ili obrnuto). Postoji sedam takvih tačaka: 1; 2; 4; 7; 9; 10; jedanaest.

4. Derivat je jednak nuli u sedam tačaka (u tačkama ekstrema), već smo ih naznačili.

Derivat funkcije je jedna od teških tema školski program. Neće svaki diplomac odgovoriti na pitanje šta je derivat.

Ovaj članak na jednostavan i jasan način objašnjava što je derivat i zašto je potreban.. Nećemo sada težiti matematičkoj strogosti u prezentaciji. Najvažnije je razumjeti značenje.

Prisjetimo se definicije:

Izvod je stopa promjene funkcije.

Na slici su prikazani grafikoni tri funkcije. Šta mislite koji od njih raste brže?

Odgovor je očigledan - treći. Ima najveću stopu promjene, odnosno najveći derivat.

Evo još jednog primjera.

Kostya, Grisha i Matvey dobili su posao u isto vrijeme. Pogledajmo kako su im se prihodi promijenili tokom godine:

Grafikon prikazuje sve odjednom, zar ne? Kostijin prihod se više nego udvostručio za šest mjeseci. I Grišin prihod se također povećao, ali samo malo. I Matveyev prihod pao je na nulu. Početni uslovi su isti, ali brzina promjene funkcije, tj derivat, - drugačije. Što se tiče Matveya, njegov derivat prihoda je općenito negativan.

Intuitivno, lako procjenjujemo brzinu promjene funkcije. Ali kako da ovo uradimo?

Ono što zapravo gledamo je koliko strmo graf funkcije ide nagore (ili naniže). Drugim riječima, koliko brzo se mijenja y kako se mijenja x? Očigledno, ista funkcija u različitim tačkama može imati drugačije značenje derivat – to jest, može se mijenjati brže ili sporije.

Derivat funkcije je označen .

Pokazat ćemo vam kako ga pronaći pomoću grafikona.

Nacrtan je graf neke funkcije. Uzmimo tačku sa apscisom na njoj. Nacrtajmo tangentu na graf funkcije u ovoj tački. Želimo procijeniti koliko strmo grafik funkcije ide gore. Pogodna vrijednost za ovo je tangenta tangentnog ugla.

Derivat funkcije u nekoj tački jednak je tangenti tangentnog ugla nacrtanog na graf funkcije u ovoj tački.

Imajte na umu da kao ugao nagiba tangente uzimamo ugao između tangente i pozitivnog smera ose.

Ponekad učenici pitaju šta je tangenta na graf funkcije. Ovo je prava linija koja ima jednu zajedničku tačku sa grafikom u ovom odeljku, kao što je prikazano na našoj slici. Izgleda kao tangenta na kružnicu.

Hajde da ga nađemo. Sjećamo se da je tangenta oštrog ugla u pravougaonog trougla jednak omjeru suprotne i susjedne strane. Iz trougla:

Izvod smo pronašli koristeći graf, a da nismo ni znali formulu funkcije. Takvi problemi se često nalaze na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike pod brojem.

Postoji još jedan važan odnos. Podsjetimo da je ravna linija data jednadžbom

Količina u ovoj jednačini se zove nagib prave linije. Jednaka je tangenti ugla nagiba prave linije prema osi.

.

Shvatili smo to

Prisjetimo se ove formule. Izražava geometrijsko značenje izvedenice.

Derivat funkcije u tački jednak je nagibu tangente povučene na graf funkcije u toj tački.

Drugim riječima, derivacija je jednaka tangentu tangentnog ugla.

Već smo rekli da ista funkcija može imati različite izvode u različitim tačkama. Pogledajmo kako je derivacija povezana s ponašanjem funkcije.

Nacrtajmo graf neke funkcije. Neka se ova funkcija povećava u nekim područjima, a smanjuje u drugim, i sa različitim brzinama. I neka ova funkcija ima maksimum i minimum bodova.

U jednom trenutku funkcija se povećava. Tangenta na graf nacrtan u tački formira oštar ugao; sa pozitivnim smjerom ose. To znači da je izvod u tački pozitivan.

U trenutku kada se naša funkcija smanjuje. Tangenta u ovoj tački formira tupi ugao; sa pozitivnim smjerom ose. Pošto je tangenta tupog ugla negativna, derivacija u tački je negativna.

Evo šta se dešava:

Ako je funkcija rastuća, njen izvod je pozitivan.

Ako se smanjuje, njegov izvod je negativan.

Šta će se dogoditi na maksimalnim i minimalnim tačkama? Vidimo da je u tačkama (maksimalna tačka) i (tačka minimuma) tangenta horizontalna. Prema tome, tangenta tangente u ovim tačkama je nula, a derivacija je takođe nula.

Point - maksimalni poen. U ovom trenutku povećanje funkcije zamjenjuje se smanjenjem. Posljedično, predznak derivacije se mijenja u tački sa “plus” na “minus”.

U tački - minimalnoj tački - derivacija je također nula, ali se njen predznak mijenja iz "minus" u "plus".

Zaključak: pomoću derivacije možemo saznati sve što nas zanima o ponašanju funkcije.

Ako je izvod pozitivan, tada se funkcija povećava.

Ako je izvod negativan, funkcija se smanjuje.

U tački maksimuma, izvod je nula i mijenja predznak iz “plus” u “minus”.

U minimalnoj tački, derivacija je također nula i mijenja predznak sa “minus” na “plus”.

Zapišimo ove zaključke u obliku tabele:

	povećava	maksimalni poen	smanjuje se	minimalna tačka	povećava
+	0	-	0	+

Hajde da napravimo dva mala pojašnjenja. Jedan od njih će vam trebati prilikom rješavanja problema. Drugi - na prvoj godini, sa ozbiljnijim proučavanjem funkcija i derivata.

Moguće je da je derivacija funkcije u nekoj tački jednaka nuli, ali funkcija nema ni maksimum ni minimum u ovoj tački. Ovo je tzv :

U tački je tangenta na graf horizontalna, a izvod je nula. Međutim, prije točke funkcija se povećala - a nakon točke nastavlja rasti. Predznak derivacije se ne mijenja - ostaje pozitivan kakav je bio.

Takođe se dešava da u tački maksimuma ili minimuma izvod ne postoji. Na grafikonu to odgovara oštrom prekidu, kada je nemoguće nacrtati tangentu u datoj tački.

Kako pronaći izvod ako funkcija nije data grafom, već formulom? U ovom slučaju se primjenjuje

Prvi izvod Ako je izvod funkcije pozitivan (negativan) u određenom intervalu, tada funkcija u ovom intervalu monotono raste (monotono opada). Ako je derivacija funkcije pozitivna (negativna) u određenom intervalu, tada funkcija monotono raste (monotono opada) u tom intervalu. Dalje

Definicija Kriva se naziva konveksna u tački ako se u nekom susjedstvu ove tačke nalazi ispod svoje tangente u tački. Kriva se naziva konkavna u tački ako se u nekom susjedstvu ove tačke nalazi iznad svoje tangente u tački.

Znak konkavnosti i konveksnosti Ako je drugi izvod funkcije u datom intervalu pozitivan, onda je kriva u ovom intervalu konkavna, a ako je negativna, konveksna je u tom intervalu. Ako je drugi izvod funkcije u datom intervalu pozitivan, tada je kriva u tom intervalu konkavna, a ako je negativna, konveksna je u tom intervalu. Definicija

Plan za proučavanje funkcije i konstruisanje njenog grafa 1. Naći područje definicije funkcije i odrediti tačke diskontinuiteta, ako ih ima 1. Naći područje definicije funkcije i odrediti tačke diskontinuiteta, ako ih ima; utvrditi da li je funkcija parna ili neparna; provjeriti njenu periodičnost 2. Utvrditi da li je funkcija parna ili neparna; provjeriti njenu periodičnost 3. Odrediti točke presjeka grafika funkcije sa koordinatnim osa 3. Odrediti točke presjeka grafika funkcije sa koordinatnim osa 4. Naći kritične tačke 1. vrste 4. Naći kritične tačke 1. vrste 5. Odrediti intervale monotonosti i ekstrema funkcije 5. Odrediti intervale monotonosti i ekstrema funkcije 6. Odrediti intervale konveksnosti i konkavnosti i pronaći tačke pregiba 6. Odrediti intervale konveksnosti i konkavnosti i pronađite prevojne tačke 7. Koristeći rezultate istraživanja, povežite dobijene tačke sa glatkom krivom 7. Koristeći rezultate istraživanja povežite dobijene tačke sa glatkom krivom Izlaz