Täisarvud: üldine esitus.

Negatiivsed arvud on miinusmärgiga (−) arvud, näiteks −1, −2, −3. Loeb nagu: miinus üks, miinus kaks, miinus kolm.

Rakenduse näide negatiivsed arvud on termomeeter, mis näitab keha, õhu, pinnase või vee temperatuuri. Talvel, kui väljas on väga külm, võib temperatuur olla negatiivne (või, nagu inimesed ütlevad, "miinus").

Näiteks –10 kraadi külma:

Tavalisi arve, mida me varem vaatasime, näiteks 1, 2, 3, nimetatakse positiivseteks. Positiivsed numbrid on plussmärgiga (+) numbrid.

Positiivsete arvude kirjutamisel + märki üles ei kirjutata, mistõttu näeme meile tuttavaid numbreid 1, 2, 3. Kuid tuleb meeles pidada, et need positiivsed numbrid näevad välja sellised: +1, +2 , +3.

Tunni sisu

See on sirgjoon, millel asuvad kõik numbrid: nii negatiivsed kui ka positiivsed. Järgnevalt:

Siin näidatud arvud on vahemikus −5 kuni 5. Tegelikult on koordinaatjoon lõpmatu. Joonisel on sellest vaid väike fragment.

Koordinaadijoonel olevad numbrid on tähistatud punktidena. Pildil paksus kirjas must täpp on lähtepunkt. Pöördloendus algab nullist. Algpunktist vasakul on märgitud negatiivsed arvud, ja paremal on positiivsed.

Koordinaadijoon jätkub mõlemal pool lõputult. Lõpmatust sümboliseerib matemaatikas sümbol ∞. Negatiivne suund on tähistatud sümboliga −∞ ja positiivne suund sümboliga +∞. Siis võime öelda, et kõik arvud miinuslõpmatusest plusslõpmatuseni asuvad koordinaatjoonel:

Igal koordinaatjoone punktil on oma nimi ja koordinaat. Nimi on mis tahes ladina täht. Koordineerida on arv, mis näitab punkti asukohta sellel sirgel. Lihtsamalt öeldes on koordinaat just see arv, mille tahame koordinaadireale märkida.

Näiteks punkt A(2) on järgmine "punkt A koordinaadiga 2" ja tähistatakse koordinaatide real järgmiselt:

Siin A on punkti nimi, 2 on punkti koordinaat A.

Näide 2. Punkt B(4) on sõnastatud järgmiselt "punkt B koordinaadiga 4"

Siin B on punkti nimi, 4 on punkti koordinaat B.

Näide 3. Punkt M(−3) on järgmine "punkt M koordinaadiga miinus kolm" ja tähistatakse koordinaatide real järgmiselt:

Siin M on punkti nimi, −3 on punkti M koordinaat .

Punkte saab tähistada mis tahes tähtedega. Kuid üldiselt aktsepteeritakse neid tähistada suurte ladina tähtedega. Veelgi enam, aruande algus, mida muidu nimetatakse päritolu tähendab tavaliselt suurt Ladina täht O

On lihtne märgata, et negatiivsed arvud asuvad algpunkti suhtes vasakul ja positiivsed paremal.

On väljendeid nagu "mida vasakule, seda vähem" Ja "mida paremale, seda rohkem". Tõenäoliselt arvasite juba, millest me räägime. Iga sammuga vasakule väheneb arv allapoole. Ja iga sammuga paremale number suureneb. Paremale osutav nool näitab positiivset võrdlussuunda.

Negatiivsete ja positiivsete arvude võrdlemine

1. reegel. Iga negatiivne arv on väiksem kui mis tahes positiivne arv.

Võrdleme näiteks kahte arvu: −5 ja 3. Miinus viis vähem kui kolm, hoolimata sellest, et viis torkab silma eelkõige kolmest suurema arvuna.

See on tingitud asjaolust, et −5 on negatiivne arv ja 3 on positiivne. Koordinaadireal on näha, kus asuvad arvud −5 ja 3

On näha, et −5 asub vasakul ja 3 paremal. Ja me ütlesime seda "mida vasakule, seda vähem" . Ja reegel ütleb, et iga negatiivne arv on väiksem kui iga positiivne arv. Sellest järeldub

−5 < 3

"Miinus viis on vähem kui kolm"

2. reegel. Kahest negatiivsest arvust on koordinaatjoonel vasakul asuv väiksem.

Võrdleme näiteks numbreid −4 ja −1. Miinus neli vähem, kui miinus üks.

See on jällegi tingitud asjaolust, et koordinaatjoonel −4 asub vasakul kui −1

On näha, et −4 asub vasakul ja −1 paremal. Ja me ütlesime seda "mida vasakule, seda vähem" . Ja reegel ütleb, et kahest negatiivsest arvust on koordinaatjoonel vasakul asuv väiksem. Sellest järeldub

Miinus neli on väiksem kui miinus üks

3. reegel. Null on suurem kui mis tahes negatiivne arv.

Võrdleme näiteks 0 ja −3. Null rohkem kui miinus kolm. See on tingitud asjaolust, et koordinaatjoonel 0 asub rohkem paremal kui −3

On näha, et 0 asub paremal ja −3 vasakul. Ja me ütlesime seda "mida paremale, seda rohkem" . Ja reegel ütleb, et null on suurem kui mis tahes negatiivne arv. Sellest järeldub

Null on suurem kui miinus kolm

4. reegel. Null on väiksem kui mis tahes positiivne arv.

Võrdleme näiteks 0 ja 4. Null vähem, kui 4. See on põhimõtteliselt selge ja tõsi. Kuid me proovime seda oma silmaga näha, taas kord koordinaatjoonel:

On näha, et koordinaatide sirgel asub 0 vasakul ja 4 paremal. Ja me ütlesime seda "mida vasakule, seda vähem" . Ja reegel ütleb, et null on väiksem kui mis tahes positiivne arv. Sellest järeldub

Null on väiksem kui neli

Kas teile tund meeldis?
Liituge meiega uus grupp VKontakte ja hakkate uute õppetundide kohta teatisi saama

Täisarvud

Naturaalarvude määratlus on positiivsed täisarvud. Naturaalarve kasutatakse objektide loendamiseks ja paljudel muudel eesmärkidel. Need on numbrid:

See on loomulik arvude jada.
Kas null on naturaalarv? Ei, null ei ole naturaalarv.
Kui palju naturaalarvud on olemas? Naturaalarve on lõpmatu arv.
Mis on väikseim naturaalarv? Üks on väikseim naturaalarv.
Mis on suurim naturaalarv? Seda on võimatu täpsustada, sest naturaalarve on lõpmatult palju.

Naturaalarvude summa on naturaalarv. Niisiis, naturaalarvude a ja b liitmine:

Naturaalarvude korrutis on naturaalarv. Niisiis, naturaalarvude a ja b korrutis:

c on alati naturaalarv.

Naturaalarvude erinevus Naturaalarvu pole alati olemas. Kui minuend on suurem kui alamosa, siis on naturaalarvude erinevus naturaalarv, vastasel juhul mitte.

Naturaalarvude jagatis ei ole alati naturaalarv. Kui naturaalarvude a ja b korral

kus c on naturaalarv, tähendab see, et a jagub b-ga. Selles näites on a dividend, b jagaja, c jagatis.

Naturaalarvu jagaja on naturaalarv, millega esimene arv jagub tervikuga.

Iga naturaalarv jagub ühe ja iseendaga.

Algnaturaalarvud jaguvad ainult ühega ja iseendaga. Siin peame silmas täielikult jagatud. Näide, numbrid 2; 3; 5; 7 jagub ainult ühe ja iseendaga. Need on lihtsad naturaalarvud.

Ühte ei peeta algarvuks.

Arve, mis on suuremad kui üks ja mis ei ole algarvud, nimetatakse liitarvudeks. Liitarvude näited:

Ühte ei peeta liitarvuks.

Naturaalarvude hulk on üks, algarvud ja liitnumbrid.

Naturaalarvude kogumit tähistatakse ladina tähega N.

Naturaalarvude liitmise ja korrutamise omadused:

liitmise kommutatiivne omadus

liitmise assotsiatiivne omadus

(a + b) + c = a + (b + c);

korrutamise kommutatiivne omadus

korrutamise assotsiatiivne omadus

(ab)c = a(bc);

korrutamise jaotusomadus

A (b + c) = ab + ac;

Täisarvud

Täisarvud on naturaalarvud, null ja naturaalarvude vastandid.

Naturaalarvude vastand on negatiivsed täisarvud, näiteks:

1; -2; -3; -4;...

Täisarvude komplekti tähistatakse ladina tähega Z.

Ratsionaalarvud

Ratsionaalarvud on täisarvud ja murrud.

Iga ratsionaalarvu saab esitada perioodilise murruna. Näited:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Näidetest on selge, et iga täisarv on perioodiline murd, mille periood on null.

Mis tahes ratsionaalarvu saab esitada murdarvuna m/n, kus m on täisarv arv, n loomulik number. Kujutagem ette eelmise näite arvu 3,(6) sellise murdena.

Artikli sisu

Arvu mõiste matemaatikas võib viidata erineva iseloomuga objektidele: loendamisel kasutatavatele naturaalarvudele (positiivsed täisarvud 1, 2, 3 jne), arvudele, mis on võimalikud tulemused(idealiseeritud) dimensioonid (need on arvud nagu 2/3 – neid nimetatakse reaalarvudeks), negatiivsed arvud, imaginaararvud (ütleme, k) ja muud abstraktsemad arvuklassid, mida kasutatakse matemaatika kõrgemates harudes (näiteks hüperkompleks ja piiriülene arv). numbrid). Numbrit tuleb eristada selle sümbolist või tähistust, mis seda tähistab. Vaatleme erinevate arvuklasside vahelisi loogilisi seoseid.

Selliseid mõistatusi on lihtne lahendada, kui arvestada, et erinevatel numbriklassidel on täiesti erinev tähendus; kuigi neil on piisavalt ühist, et neid kõiki saab numbriteks nimetada, ei tasu arvata, et nad kõik vastavad samadele reeglitele.

Positiivsed täisarvud.

Kuigi me kõik õpime positiivseid täisarve (1, 2, 3 jne) sisse varases lapsepõlves, kui definitsioonide peale mõeldagi ei tule, siis sellegipoolest saab selliseid numbreid defineerida kõigi formaalse loogika reeglite järgi. Arvu 1 range määratlus võtaks kümneid lehekülgi ja selline valem nagu 1 + 1 = 2, kui see oleks üksikasjalikult ilma lühenditeta kirja pandud, ulatuks mitme kilomeetri pikkuseks. Iga matemaatiline teooria on aga sunnitud alustama teatud määratlemata mõistetest ja neid puudutavatest aksioomidest või postulaatidest. Kuna positiivsed täisarvud on hästi teada ja neid on raske millegi lihtsama abil defineerida, siis võtame neid esialgsete määratlemata mõistetena ja eeldame, et nende arvude põhiomadused on teada.

Negatiivsed täisarvud ja null.

Negatiivsed arvud on tänapäeval tavalised: neid kasutatakse näiteks alla nulli temperatuuride tähistamiseks. Seetõttu tundub üllatav, et veel mõni sajand tagasi puudus negatiivsete arvude konkreetne tõlgendus ja arvutuste käigus tekkivaid negatiivseid numbreid nimetati "imaginaarseteks". Kuigi negatiivsete arvude intuitiivne tõlgendamine on iseenesest kasulik, tuleb selliste “reeglite” mõistmisel nagu (–4)ґ(–3) = +12 määratleda negatiivsed arvud positiivsete arvudena. Selleks peame konstrueerima matemaatiliste objektide komplekti, mis käituvad aritmeetikas ja algebras täpselt nii, nagu võiks eeldada negatiivsete arvude käitumist. Üks viis sellise hulga koostamiseks on arvestada positiivsete arvude järjestatud paaridega ( a,b). "Järjestus" tähendab, et näiteks paar (2,3) erineb paarist (3,2). Selliseid järjestatud paare võib pidada uueks numbriklassiks. Nüüd peame ütlema, millal kaks sellist uut arvu on võrdsed ja mida nende liitmine ja korrutamine tähendavad. Meie määratluste valikul on soov, et paar ( a,b) toimis erinevusena ( a – b), mis on seni kindlaks tehtud ainult siis, kui a rohkem b. Kuna algebras ( a–b) + (c–d) = (a+c) – (b+d), jõuame vajaduseni määratleda uute numbrite lisamine järgmiselt ( a,b) + (c,d) = (a+c, b+d); sest ( a – b)ґ(c – d) = ac + bd – (bc + reklaam), defineerime korrutamise väärtusega ( a,b)ґ(c,d) = (ac + bd, bc + reklaam); ja kuna ( a–b) = (c–d), Kui a + d = b + c, defineerime uute arvude võrdsuse seosega ( a,b) = (c,d), Kui a + d = b + c. Seega

Kasutades paaride võrdsuse definitsioone, saame kirjutada paaride summa ja korrutise lihtsamal kujul:

Kõik paarid ( a,a) on võrdsed (paaride võrdsuse definitsiooni järgi) ja toimivad nii, nagu eeldame nulli toimimist. Näiteks (2,3) + (1,1) = (3,4) = (2,3); (2,3)ґ(1,1) = (2 + 3, 2 + 3) = (5,5) = (1,1). Paarid ( a,a) saame tähistada sümboliga 0 (mida me pole seni kasutanud).

Paarid ( a,b), Kus b rohkem a, käituvad nagu negatiivsed arvud ja me saame tähistada paari ( a,b) sümbol – ( b – a). Näiteks -4 on (1,5) ja -3 on (1,4); (–4)ґ(–3) = (21,9) või (13,1). Tahaksin tähistada viimast arvu kui 12, kuid see ei ole ilmselgelt sama, mis positiivne täisarv 12, kuna see tähistab positiivsete täisarvude paari, mitte üht positiivset täisarvu. Tuleb rõhutada, et kuna paarid ( a,b), Kus b vähem a, toimivad positiivsete täisarvudena ( a – b), kirjutame numbreid nagu ( a – b). Samal ajal peame unustama positiivsed täisarvud, millega alustasime, ja edaspidi kasutama ainult meie uusi numbreid, mida me nimetame täisarvud. Asjaolu, et kavatseme mõne uue numbri puhul kasutada vanu nimesid, ei tohiks meid eksitada arvama, et uued numbrid on tegelikult teist tüüpi objektid.

Murrud.

Intuitiivselt mõtleme murdosa 2/3 tulemusele, kui jagame 1 kolmeks võrdseks osaks ja võtame neist kaks. Matemaatik püüab aga võimalikult vähe toetuda intuitsioonile ja defineerida ratsionaalseid arve lihtsamate objektide – täisarvude – kaudu. Seda saab teha, käsitledes 2/3 järjestatud (2,3) täisarvude paarina. Definitsiooni täiendamiseks on vaja sõnastada murdude võrdsuse, samuti liitmise ja korrutamise reeglid. Loomulikult peavad need reeglid olema samaväärsed aritmeetikareeglitega ja loomulikult erinema nende järjestatud paaride reeglitest, mille oleme määratlenud täisarvudena. Need on reeglid:

On lihtne näha, et paarid ( a,1) toimivad täisarvudena a; Jätkates oma mõttekäiku samamoodi nagu negatiivsete arvude puhul, tähistame 2-ga murdosa (2,1) või (4,2) või mis tahes muud murdosa, mis võrdub (2,1). Unustagem nüüd täisarvud ja salvestagem need ainult teatud murdude kirjutamise vahendina.

Ratsionaal- ja irratsionaalarvud.

Murdu nimetatakse tavaliselt ka ratsionaalarvudeks, kuna neid saab esitada kujul suhted(alates lat. suhe– kahe täisarvu suhe. Aga kui meil on vaja arvu, mille ruut on 2, siis me ei saa ratsionaalsete arvudega hakkama, sest pole olemas ratsionaalset arvu, mille ruut oleks võrdne 2-ga. Sama asi selgub, kui tunnete huvi ringi ümbermõõdu ja läbimõõdu suhet väljendava arvu vastu. Seega, kui tahame saada kõigi positiivsete arvude ruutjuured, peame ratsionaalarvude klassi laiendama. Uusi numbreid, mida nimetatakse irratsionaalseteks (st mitte ratsionaalseteks), saab defineerida erinevaid viise. Tellitud paarid selleks ei sobi; Üks lihtsamaid viise on defineerida irratsionaalarvud lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdudena.

Reaalarvud.

Ratsionaal- ja irratsionaalarvusid nimetatakse ühiselt reaal- või reaalarvudeks. Geomeetriliselt saab neid kujutada punktidena sirgjoonel, kus täisarvude vahedesse ilmuvad murrud ja murdude vahedesse irratsionaalarvud, nagu on näidatud joonisel fig. 1. Võib näidata, et reaalarvude süsteemil on omadus, mida nimetatakse "täielikkuseks", mis tähendab, et igale joone punktile vastab reaalarv.

Kompleksarvud.

Kuna positiivsete ja negatiivsete reaalarvude ruudud on positiivsed, ei ole reaalarvu real punkti, mis vastaks arvule, mille ruut on -1. Aga kui me prooviksime otsustada ruutvõrrandid tüüp x 2 + 1 = 0, siis oleks vaja käituda nii, nagu oleks mingi arv i, mille ruut oleks -1. Kuid kuna sellist numbrit pole, ei jää meil muud üle, kui kasutada “imaginaarset” või “imaginaarset” numbrit. Vastavalt sellele "number" i ja selle kombinatsioonid tavaliste numbritega (nt 2 + 3 i) hakati nimetama imaginaarseks. Kaasaegsed matemaatikud eelistavad nimetada selliseid numbreid "keerulisteks", sest nagu näeme, on need sama "päris" kui need, mida oleme varem kohanud. Pikka aega matemaatikud kasutasid imaginaarseid arve vabalt ja said kasulikke tulemusi, kuigi nad ei saanud täielikult aru, mida nad teevad. Ja kuni 19. sajandi alguseni. Kellelegi ei tulnud pähe kujuteldavaid numbreid nende selgesõnalise definitsiooni abil “elustada”. Selleks tuleb konstrueerida teatud hulk matemaatilisi objekte, mis algebra seisukohalt käituksid nagu avaldised a+bi, kui me sellega nõustume i 2 = –1. Selliseid objekte saab määratleda järgmiselt. Vaatleme uuteks arvudeks järjestatud reaalarvude paare, mille liitmine ja korrutamine määratakse valemitega:

Nimetagem selliseid järjestatud paare kompleksarvudeks. Teatud tüüpi paarid ( a,0), mille teine ​​liige on võrdne nulliga, käituvad nagu reaalarvud, seega nõustume neid tähistama samamoodi: näiteks 2 tähendab (2,0). Teisest küljest on kompleksarv (0, b) omab korrutamise definitsiooni järgi omadust (0, b)ґ(0,b) = (0 – b 2 , 0 + 0) = (–b 2 ,0) = –b 2. Näiteks (0,1)ґ(0,1) puhul leiame korrutise (-1,0); seega (0,1) 2 = (–1,0). Oleme juba kokku leppinud kompleksarvu (-1,0) kirjutamises -1, nii et kui arv (0,1) on tähistatud sümboliga i, siis saame kompleksarvu i, selline, et i 2 = –1. Lisaks saab kompleksarvu (2,3) nüüd kirjutada kujul 2 + 3 i.

Oluline erinevus selle kompleksarvude lähenemise ja traditsioonilise lähenemise vahel on see, et in sel juhul number i ei sisalda midagi salapärast ega väljamõeldud: see on midagi, mis on hästi määratletud juba olemasolevate arvude abil, kuigi see ei lange loomulikult kokku ühegi neist. Samuti ei ole reaalarv 2 keeruline, kuigi kompleksarvu tähistamiseks kasutame sümbolit 2. Kuna imaginaarsetes numbrites pole tegelikult midagi “kujutletavat”, pole üllatav, et neid kasutatakse laialdaselt reaalsetes olukordades, näiteks elektrotehnikas (kus tähe asemel i kasutatakse tavaliselt tähte j, kuna elektrotehnikas i– praeguse hetkeväärtuse sümbol).

Kompleksarvude algebra sarnaneb paljuski reaalarvude algebraga, kuigi on olulisi erinevusi. Näiteks kompleksarvude reegel ei kehti: , seega while .

Kompleksarvude liitmine võimaldab lihtsat geomeetrilist tõlgendamist. Näiteks arvude 2 + 3 summa i ja 3 – i seal on number 5 + 2 i, mis vastab kolme tipuga rööpküliku neljandale tipule punktides 0, 2 + 3 i ja 3 – i.

Tasapinna punkti saab määrata mitte ainult ristkülikukujuliste koordinaatide abil ( x,y), aga ka selle polaarkoordinaate ( r,q), täpsustades kauguse punktist lähtepunktini ja nurga. Seega kompleksarv x + iy saab kirjutada ka polaarkoordinaatides (joon. 2, b). Raadiuse vektori pikkus r võrdne kaugusega alguspunktist kompleksarvule vastava punktini; suurusjärk r nimetatakse kompleksarvu mooduliks ja määratakse valemiga. Tihti on moodul kirjutatud kujul . Nurk q nimetatakse kompleksarvu "nurgaks", "argumendiks" või "faasiks". Sellisel arvul on lõpmatult palju nurki, mis erinevad 360° kordadega; Näiteks, i on nurgaga 90°, 450°, -270°, ј Kuna sama punkti ristkoordinaadid ja polaarkoordinaadid on omavahel seotud seostega x = r cos q, y = r patt q, võrdsus on tõsi x + iy = r(cos q + i patt q).

Kui z = x + iy, siis number x–iy nimetatakse komplekskonjugaadiks z ja tähistatakse n z = re iq. Kompleksarvu logaritm re iq, on definitsiooni järgi võrdne ln-ga r + iq, kus ln tähendab aluse logaritmi e, A q võtab kõik vastu võimalikud väärtused, mõõdetuna radiaanides. Seega on kompleksarvul lõpmatult palju logaritme. Näiteks ln (–2) = ln 2 + ip+ 2 mis tahes täisarv lk. IN üldine vaade kraadi saab nüüd määrata seose abil a b = e b ln a. Näiteks, i –2i = e-2 ln i. Alates arvu argumendi väärtustest i võrdne lk/2 (90°, väljendatud radiaanides) pluss täisarvu kordne, seejärel arv i –2i asja e lk, e 3 lk, e -lk jne, mis kõik kehtivad.

Hüperkompleksarvud.

Kompleksarvud leiutati selleks, et oleks võimalik lahendada kõiki ruutvõrrandeid reaalkoefitsientidega. Võib näidata, et tegelikult kompleksarvud võimaldavad meil teha palju enamat: nende kasutuselevõtuga muutuvad mis tahes astme algebralised võrrandid lahendatavaks, isegi keerukate kordajatega. Järelikult, kui meid huvitaks ainult algebraliste võrrandite lahendused, siis poleks vaja uusi arve kasutusele võtta. Muudel eesmärkidel on aga vaja numbreid, mis on üles ehitatud mõnevõrra sarnaselt keerukatele, kuid suurema komponentide arvuga. Mõnikord nimetatakse selliseid numbreid hüperkompleksiks. Nende näideteks on kvaternioonid ja maatriksid.

Mida täisarv tähendab?

Niisiis, vaatame, milliseid numbreid nimetatakse täisarvudeks.

Seega tähistatakse täisarvudega järgmisi numbreid: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$ jne.

Naturaalarvude hulk on täisarvude hulga alamhulk, s.o. Iga naturaalarv on täisarv, kuid mitte iga täisarv pole naturaalarv.

Positiivsed täisarvud ja negatiivsed täisarvud

2. definitsioon

pluss.

Arvud $3, 78, 569, 10450 $ on positiivsed täisarvud.

3. määratlus

on märgiga täisarvud miinus.

Arvud $−3, −78, −569, -10450$ on negatiivsed täisarvud.

Märkus 1

Arv null ei ole positiivne ega negatiivne täisarv.

Positiivsed täisarvud on nullist suuremad täisarvud.

Negatiivsed täisarvud on nullist väiksemad täisarvud.

Looduslike täisarvude hulk on kõigi positiivsete täisarvude hulk ja kõigi vastandlike naturaalarvude hulk on kõigi negatiivsete täisarvude hulk.

Mittepositiivsed ja mittenegatiivsed täisarvud

Nimetatakse kõik positiivsed täisarvud ja null mittenegatiivsed täisarvud.

Mittepositiivsed täisarvud on kõik negatiivsed täisarvud ja arv $0$.

Märkus 2

Seega mittenegatiivne täisarv on täisarvud, mis on suuremad kui null või võrdsed nulliga, ja mittepositiivne täisarv– täisarvud, mis on väiksemad kui null või võrdsed nulliga.

Näiteks mittepositiivsed täisarvud: $−32, −123, 0, −5$ ja mittenegatiivsed täisarvud: $54, 123, 0, 856 342.$

Koguste muutuste kirjeldamine täisarvude abil

Täisarve kasutatakse objektide arvu muutuste kirjeldamiseks.

Vaatame näiteid.

Näide 1

Laske poel müüa teatud arv tooteid. Kui poodi saab 520 dollarit kaupu, suureneb kaupade arv poes ja number 520 dollarit näitab arvu muutust positiivne pool. Kui pood müüb 50 $ tooteartikleid, väheneb tooteartiklite arv poes ja number 50 $ väljendab arvu muutust negatiivne pool. Kui pood kaupa ei too ega müü, siis jääb kaupade arv muutumatuks (ehk võib rääkida arvu nullmuutusest).

Ülaltoodud näites kirjeldatakse kaupade arvu muutust vastavalt täisarvudega $520$, $−50$ ja $0$. Täisarvu $520 $ positiivne väärtus näitab arvu muutust positiivses suunas. Negatiivne tähendus täisarv $−50$ näitab arvu muutust negatiivses suunas. Täisarv $0$ näitab, et arv on muutumatu.

Täisarve on mugav kasutada, kuna... arvu suurenemise või kahanemise kohta pole vaja selgesõnaliselt näidata - täisarvu märk näitab muutuse suunda ja väärtus näitab kvantitatiivset muutust.

Täisarvude abil saate väljendada mitte ainult koguse muutust, vaid ka mis tahes koguse muutust.

Vaatleme näidet toote maksumuse muutumisest.

Näide 2

Väärtuse suurenemine näiteks $20$ rubla võrra väljendatakse positiivse täisarvuga $20$. Hinna langust näiteks $5$ rubla võrra kirjeldatakse negatiivse täisarvuga $−5$. Kui väärtus ei muutu, määratakse selline muutus täisarvuga $0$.

Vaatleme eraldi negatiivsete täisarvude tähendust võlasummana.

Näide 3

Näiteks on inimesel 5000 dollarit rubla. Seejärel saate positiivse täisarvuga $5000 $ näidata tema rublade arvu. Inimene peab maksma üüri summas 7000 rubla, kuid sel juhul tal sellist raha pole sarnane olukord kirjeldatakse negatiivse täisarvuga $−7000$. Sel juhul on inimesel -7000 dollarit rubla, kus “–” tähistab võlga ja number 7000 dollarit võla suurust.

Negatiivsed arvud asuvad nullist vasakul. Nende jaoks, nagu ka positiivsete arvude puhul, on defineeritud järjestusseos, mis võimaldab võrrelda üht täisarvu teisega.

Iga naturaalarvu kohta n on üks ja ainult üks negatiivne arv, tähistatud -n, mis täiendab n nulli: n + (− n) = 0 . Helistatakse mõlemale numbrile vastupidineüksteisele. Täisarvu lahutamine a võrdub selle lisamisega selle vastandiga: -a.

Negatiivsete arvude omadused

Negatiivsed arvud järgivad peaaegu samu reegleid nagu naturaalarvud, kuid neil on mõned eripärad.

Ajalooline sketš

Kirjandus

• Vygodsky M. Ya. Algmatemaatika käsiraamat. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
• Glazer G.I. Matemaatika ajalugu koolis. - M.: Haridus, 1964. - 376 lk.

Lingid

Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.

• Negatiivsed pinnavormid
• Negatiivne ja positiivne null

Vaadake, mis on "negatiivsed numbrid" teistes sõnaraamatutes:

Negatiivsed arvud- nullist väiksemad reaalarvud, näiteks 2; 0,5; π jne. Vaata numbrit... Suur Nõukogude entsüklopeedia

Positiivsed ja negatiivsed numbrid- (väärtused). Järjestikuste liitmiste või lahutamiste tulemus ei sõltu nende toimingute sooritamise järjekorrast. Nt. 10 5 + 2 = 10 +2 5. Siin ei ole ümber paigutatud mitte ainult numbrid 2 ja 5, vaid ka nende numbrite ees olevad märgid. Kokkulepitud...... entsüklopeediline sõnaraamat F. Brockhaus ja I.A. Efron

numbrid on negatiivsed- Raamatupidamises olevad numbrid, mis on kirjutatud punase pliiatsi või punase tindiga. Teemad: raamatupidamine... Tehniline tõlkija juhend

NEGATIIVSED NUMBRID- raamatupidamises punase pliiatsi või punase tindiga kirjutatud numbrid... Suurepärane raamatupidamissõnastik

Täisarvud- Täisarvude hulk on defineeritud kui naturaalarvude hulga sulgemine liitmise (+) ja lahutamise () aritmeetiliste operatsioonide suhtes. Seega on kahe täisarvu summa, vahe ja korrutis jällegi täisarvud. See koosneb... ... Wikipediast

Täisarvud- loendamisel loomulikult tekkivad arvud (nii loenduse kui ka arvutuse mõttes). Naturaalarvude määramiseks kasutatakse kahte lähenemisviisi: objektide loetlemine (nummerdamine) (esimene, teine, ... ... Wikipedia);

EULERI NUMBRID- koefitsiendid E n laienduses E. arvude korduvvalem on kujul (sümboolses tähistuses (E + 1)n + (E 1)n=0, E0 =1. Sel juhul E 2n+1= 0, E4n on positiivsed , E4n+2 negatiivsed täisarvud kõigi n=0, 1, .; Matemaatiline entsüklopeedia

Negatiivne arv- Negatiivne arv on negatiivsete arvude hulga element, mis (koos nulliga) ilmnes matemaatikas naturaalarvude hulga laiendamisel. Laienduse eesmärk on võimaldada lahutamistoimingu sooritamist mis tahes arvuga. Selle tulemusena... ... Wikipedia

Aritmeetika ajalugu- Aritmeetika. Pinturicchio maal. Korter Borgia. 1492 1495. Rooma, Vatikani paleed ... Vikipeedia

Aritmeetika- Hans Sebald Beham. Aritmeetika. 16. sajandi aritmeetika (vanakreeka ἀ ... Wikipedia

Raamatud

• Matemaatika. 5. klass. Õpetlik raamat ja töötuba. 2 osas. Osa 2. Positiivsed ja negatiivsed arvud,. Õpperaamat ja töötuba 5. klassile on osa 5.-6. klasside matemaatika õppematerjalidest, mille on välja töötanud E. G. Gelfmani ja M. A. Kholodnaja juhitud autorite kollektiiv...