Pythagorase teoreemi tõestused selle nimega. Erinevad viisid Pythagorase teoreemi tõestamiseks

Pythagorase teoreem: jalgadel paiknevate ruutude pindalade summa ( a Ja b), võrdne hüpotenuusile ehitatud ruudu pindalaga ( c).

Geomeetriline koostis:

Teoreem oli algselt sõnastatud järgmiselt:

Algebraline formuleering:

See tähendab, et tähistab kolmnurga hüpotenuusi pikkust c, ja jalgade pikkused läbi a Ja b :

a 2 + b 2 = c 2

Teoreemi mõlemad sõnastused on samaväärsed, kuid teine ​​sõnastus on elementaarsem, see ei nõua pindala mõistet. See tähendab, et teist väidet saab kontrollida pindala kohta midagi teadmata ja ainult külgede pikkusi mõõtmata täisnurkne kolmnurk.

Pythagorase vastupidine teoreem:

Tõestus

Peal Sel hetkel Selle teoreemi tõestust on teaduskirjanduses registreeritud 367. Tõenäoliselt on Pythagorase teoreem ainus teoreem, millel on nii muljetavaldav hulk tõestusi. Sellist mitmekesisust saab seletada ainult teoreemi fundamentaalse tähtsusega geomeetria jaoks.

Mõistagi võib neid kõiki jagada vähesteks klassideks. Tuntuimad neist: tõestused pindalameetodil, aksiomaatilised ja eksootilised tõestused (näiteks diferentsiaalvõrrandite abil).

Läbi sarnaste kolmnurkade

Järgmine algebralise formuleeringu tõestus on otse aksioomidest koostatud tõestustest lihtsaim. Eelkõige ei kasuta see figuuri pindala mõistet.

Lase ABC on täisnurkne kolmnurk täisnurgaga C. Joonistame kõrguse C ja tähistage selle alust H. Kolmnurk ACH sarnane kolmnurgaga ABC kahes nurgas. Samamoodi kolmnurk CBH sarnased ABC. Noodi sisseviimisega

saame

Mis on samaväärne

Selle kokku liites saame

Tõestused pindalameetodil

Vaatamata näilisele lihtsusele pole alltoodud tõendid sugugi nii lihtsad. Kõik nad kasutavad pindala omadusi, mille tõestamine on keerulisem kui Pythagorase teoreemi enda tõestamine.

Tõestus võrdväärse komplemendi kaudu

1. Järjestame neli võrdset täisnurkset kolmnurka, nagu on näidatud joonisel 1.
2. Nelinurk külgedega c on ruut, kuna kahe teravnurga summa on 90° ja sirge nurga summa on 180°.
3. Kogu joonise pindala on ühelt poolt võrdne ruudu pindalaga, mille külg on (a + b), ja teiselt poolt nelja kolmnurga ja kahe sisemise kolmnurga pindalade summaga. ruudud.

Q.E.D.

Tõestused samaväärsuse kaudu

Elegantne tõestus permutatsiooni abil

Ühe sellise tõestuse näide on toodud parempoolsel joonisel, kus hüpotenuusile ehitatud ruut on ümber paigutatud kaheks jalgadele ehitatud ruuduks.

Eukleidese tõestus

Joonis Eukleidese tõestuseks

Illustratsioon Eukleidese tõestuseks

Eukleidese tõestuse idee on järgmine: proovime tõestada, et pool hüpotenuusile ehitatud ruudu pindalast võrdub jalgadele ehitatud ruutude poolte pindalade summaga ja seejärel suur ja kaks väikest ruutu on võrdsed.

Vaatame vasakpoolset joonist. Sellele konstrueerisime täisnurkse kolmnurga külgedele ruudud ja joonistasime hüpotenuusiga AB risti oleva täisnurga C tipust kiiri s, see lõikab hüpotenuusile ehitatud ruudu ABIK kaheks ristkülikuks - BHJI ja HAKJ, vastavalt. Selgub, et nende ristkülikute pindalad on täpselt võrdsed vastavatele jalgadele ehitatud ruutude pindaladega.

Proovime tõestada, et ruudu DECA pindala on võrdne ristküliku AHJK pindalaga. Selleks kasutame abivaatlust: kolmnurga pindala, mille kõrgus ja alus on sama. antud ristkülik võrdub poolega antud ristküliku pindalast. See tuleneb sellest, et kolmnurga pindala on pool aluse ja kõrguse korrutisest. Sellest tähelepanekust järeldub, et kolmnurga ACK pindala on võrdne kolmnurga AHK pindalaga (joonisel pole näidatud), mis omakorda võrdub poolega ristküliku AHJK pindalast.

Tõestame nüüd, et kolmnurga ACK pindala on samuti võrdne poolega DECA ruudu pindalast. Ainus asi, mida selleks teha tuleb, on tõestada kolmnurkade ACK ja BDA võrdsust (kuna kolmnurga BDA pindala on ülaltoodud omaduse järgi võrdne poole ruudu pindalaga). Võrdsus on ilmne, kolmnurgad on mõlemal küljel võrdsed ja nendevaheline nurk. Nimelt - AB=AK,AD=AC - nurkade CAK ja BAD võrdsust on lihtne tõestada liikumismeetodiga: pöörame kolmnurka CAK 90° vastupäeva, siis on ilmne, et kahe kolmnurga vastavad küljed küsimus langeb kokku (tänu asjaolule, et nurga ruudu tipus on 90°).

Ruudu BCFG ja ristküliku BHJI pindalade võrdsuse põhjendus on täiesti sarnane.

Seega tõestasime, et hüpotenuusile ehitatud ruudu pindala koosneb jalgadele ehitatud ruutude pindaladest. Selle tõestuse idee on veelgi illustreeritud ülaltoodud animatsiooniga.

Leonardo da Vinci tõend

Leonardo da Vinci tõend

Tõestuse põhielemendid on sümmeetria ja liikumine.

Vaatleme joonist, nagu sümmeetriast näha, segmendiks CI lõikab ruutu ABHJ kaheks identseks osaks (kuna kolmnurgad ABC Ja JHI ehituselt võrdne). Kasutades 90 kraadi vastupäeva pööramist, näeme varjutatud kujundite võrdsust CAJI Ja GDAB . Nüüd on selge, et meie poolt varjutatud joonise pindala on võrdne jalgadele ehitatud ruutude poolte pindala ja algse kolmnurga pindala summaga. Teisest küljest võrdub see poole hüpotenuusile ehitatud ruudu pindalaga, millele lisandub algse kolmnurga pindala. Tõestuse viimane samm jääb lugeja teha.

Tõestus lõpmatu väikese meetodiga

Järgnev diferentsiaalvõrrandeid kasutav tõestus on sageli omistatud kuulsale inglise matemaatikule Hardyle, kes elas 20. sajandi esimesel poolel.

Vaadates joonisel näidatud joonist ja jälgides külje muutust a, saame kirjutada järgmise seose lõpmatute külgmiste juurdekasvude jaoks Koos Ja a(kasutades kolmnurga sarnasust):

Tõestus lõpmatu väikese meetodiga

Kasutades muutujate eraldamise meetodit, leiame

Rohkem üldine väljendus hüpotenuusi muutmiseks mõlema jala juurdekasvu korral

Integreerimine antud võrrand ja kasutades algtingimusi, saame

c 2 = a 2 + b 2 + konstant.

Nii jõuame soovitud vastuseni

c 2 = a 2 + b 2 .

Nagu on lihtne näha, ilmneb lõplikus valemis ruutsõltuvus kolmnurga külgede ja juurdekasvu vahelise lineaarse proportsionaalsuse tõttu, samas kui summa on seotud erinevate jalgade juurdekasvu sõltumatute panustega.

Lihtsama tõestuse saab, kui eeldame, et üks jalg ei suurene (in sel juhul jalg b). Seejärel saame integratsioonikonstandi jaoks

Variatsioonid ja üldistused

• Kui ruutude asemel ehitame külgedele muid sarnaseid kujundeid, siis on Pythagorase teoreemi järgmine üldistus tõene: Täisnurkses kolmnurgas on külgedele ehitatud sarnaste kujundite pindalade summa võrdne hüpotenuusile ehitatud kujundi pindalaga. Eriti:
  • Jalgadele ehitatud korrapäraste kolmnurkade pindalade summa on võrdne hüpotenuusile ehitatud korrapärase kolmnurga pindalaga.
  • Jalgadele ehitatud poolringide pindalade summa (nagu läbimõõdul) on võrdne hüpotenuusile ehitatud poolringi pindalaga. Seda näidet kasutatakse kahe ringikaarega piiratud ja Hippokratese lunuladeks nimetatud kujundite omaduste tõestamiseks.

Lugu

Chu-pei 500–200 eKr. Vasakul on kiri: kõrguse ja aluse pikkuste ruutude summa on hüpotenuusi pikkuse ruut.

Vana-Hiina raamat Chu-pei räägib sellest Pythagorase kolmnurk külgedega 3, 4 ja 5: samas raamatus on välja pakutud joonis, mis langeb kokku ühe Bashara hinduistliku geomeetria joonisega.

Cantor (suurim saksa matemaatikaajaloolane) usub, et võrdsus 3² + 4² = 5² oli egiptlastele teada juba umbes 2300 eKr. e., kuningas Amenemhat I ajal (Berliini muuseumi papüüruse 6619 järgi). Cantori sõnul ehitasid harpedonapdid ehk "köietõmbajad" täisnurki, kasutades täisnurkseid kolmnurki, mille küljed on 3, 4 ja 5.

Nende ehitusmeetodit on väga lihtne reprodutseerida. Võtame 12 m pikkuse köie ja seome selle külge 3 m kauguselt värvilise riba. ühest otsast ja 4 meetri kaugusel teisest. Täisnurk jääb 3–4 meetri pikkuste külgede vahele. Harpedonaptlastele võib vastu vaielda, et nende ehitusmeetod muutub üleliigseks, kui kasutada näiteks puidust ruutu, mida kasutavad kõik puusepad. Tõepoolest, Egiptuse jooniseid, millelt selline tööriist on leitud, on teada, näiteks puusepatöökoda kujutavad joonised.

Babüloonlaste seas on Pythagorase teoreemi kohta mõnevõrra rohkem teada. Ühes tekstis, mis pärineb Hammurapi ajast, see tähendab aastast 2000 eKr. st on antud täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ligikaudne arvutus. Sellest võime järeldada, et Mesopotaamias said nad teha arvutusi täisnurksete kolmnurkadega vastavalt vähemalt mõningatel juhtudel. Tuginedes ühelt poolt Egiptuse ja Babüloonia matemaatika teadmiste praegusele tasemele ning teiselt poolt Kreeka allikate kriitilisele uurimisele, jõudis Van der Waerden (Hollandi matemaatik) järgmisele järeldusele:

Kirjandus

Vene keeles

• Skopets Z. A. Geomeetrilised miniatuurid. M., 1990
• Elensky Shch. Pythagorase jälgedes. M., 1961
• Van der Waerden B.L.Äratusteadus. Matemaatika Iidne Egiptus, Babülon ja Kreeka. M., 1959
• Glazer G.I. Matemaatika ajalugu koolis. M., 1982
• W. Litzman, Pythagorase teoreem, M., 1960.
  • Pythagorase teoreemi käsitlev sait suure hulga tõestustega, V. Litzmanni raamatust võetud materjal, suur hulk jooniseid on esitatud eraldi graafiliste failidena.
• Pythagorase teoreem ja Pythagorase kolmikute peatükk D. V. Anosovi raamatust “Pilk matemaatikasse ja midagi sellest”
• Pythagorase teoreemist ja selle tõestamise meetoditest G. Glaser, Venemaa Haridusakadeemia akadeemik, Moskva

Inglise keeles

• Pythagorase teoreem WolframMathWorldis
• Cut-The-Knot, Pythagorase teoreemi osa, umbes 70 tõestust ja ulatuslikku lisateavet (inglise keeles)

Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.

Erinevaid viise Pythagorase teoreemi tõestus

9. "A" klassi õpilane

Munitsipaalharidusasutus keskkool nr 8

Teadusnõustaja:

matemaatika õpetaja,

Munitsipaalharidusasutus keskkool nr 8

Art. Novoroždestvenskaja

Krasnodari piirkond.

Art. Novoroždestvenskaja

MÄRKUS.

Pythagorase teoreemi peetakse õigustatult kõige olulisemaks geomeetria käigus ja see väärib suurt tähelepanu. See on paljude geomeetriliste ülesannete lahendamise aluseks, teoreetiliste ja praktiline kursus geomeetria hiljem. Teoreem on ümbritsetud rikkaliku ajaloolise materjaliga, mis on seotud selle välimuse ja tõestusmeetoditega. Geomeetria arengu ajaloo uurimine sisendab armastust see teema, soodustab tunnetusliku huvi, üldkultuuri ja loovuse arengut ning arendab ka uurimisoskusi.

Otsingutegevuse tulemusena saavutati töö eesmärk, milleks oli Pythagorase teoreemi tõestuse kohta teadmiste täiendamine ja üldistamine. Oli võimalik leida ja kaaluda erinevaid tõestusviise ning süvendada teemakohaseid teadmisi, väljudes kooliõpiku lehekülgedest.

Kogutud materjal veenab meid veelgi, et Pythagorase teoreem on suurepärane geomeetria teoreem ning sellel on tohutu teoreetiline ja praktiline tähendus.

Sissejuhatus. Ajalooline viide 5 Põhiosa 8

3. Järeldus 19

4. Kasutatud kirjandus 20
1. SISSEJUHATUS. AJALOOLINE VIIDE.

Tõe olemus on see, et see on meie jaoks igavesti,

Kui me vähemalt korra tema nägemuses valgust näeme,

Ja Pythagorase teoreem nii paljude aastate pärast

Meie jaoks, nagu ka tema jaoks, on see vaieldamatu, laitmatu.

Rõõmustamiseks andis Pythagoras jumalatele tõotuse:

Lõpmatu tarkuse puudutamise eest,

Ta tappis sada pulli, tänu igavestele;

Ta palvetas ja kiitis pärast ohvrit.

Sellest ajast peale, kui pullid seda nuusutavad, suruvad nad

Et rada juhatab inimesed taas uue tõe juurde,

Nad möirgavad raevukalt, nii et pole mõtet kuulata,

Selline Pythagoras sisendas neisse igaveseks hirmu.

Sõnnid, kes on võimetud uuele tõele vastu seista,

Mis jääb alles? - Lihtsalt sulgege silmad, möirgate, värisevad.

Pole teada, kuidas Pythagoras oma teoreemi tõestas. Kindel on see, et ta avastas selle Egiptuse teaduse tugeva mõju all. Erijuhtum Pythagorase teoreem – kolmnurga küljega 3, 4 ja 5 omadused – oli püramiidide ehitajatele teada juba ammu enne Pythagorase sündi ning ta ise õppis üle 20 aasta Egiptuse preestrite juures. Säilinud on legend, mis ütleb, et Pythagoras ohverdas oma kuulsa teoreemi tõestades jumalatele härja ja teistel andmetel isegi 100 pulli. See aga on vastuolus teabega Pythagorase moraalsete ja religioossete vaadete kohta. Kirjandusallikatest võib lugeda, et ta "keelas isegi loomade tapmise, veel vähem neist söömise, sest loomadel on hing nagu meilgi". Pythagoras sõi ainult mett, leiba, köögivilju ja aeg-ajalt kala. Selle kõigega seoses võib usutavamaks pidada järgmist kirjet: “... ja isegi kui ta avastas, et täisnurkses kolmnurgas vastab hüpotenuus jalgadele, ohverdas ta nisutainast valmistatud pulli.

Pythagorase teoreemi populaarsus on nii suur, et selle tõestust leiab isegi ilukirjandusest, näiteks kuulsa inglise kirjaniku Huxley loost “Noor Archimedes”. Sama tõestus, kuid võrdhaarse täisnurkse kolmnurga erijuhtumi jaoks, on esitatud Platoni dialoogis "Meno".

Muinasjutt "Kodu".

"Kaugel, kaugel, kus isegi lennukid ei lenda, on geomeetria riik. Selles ebatavalises riigis oli üks hämmastav linn - Teoremi linn. Ühel päeval tulin sellesse linna ilus tüdruk nimega Hüpotenuus. Ta üritas tuba üürida, kuid olenemata sellest, kuhu ta kandideeris, lükati ta tagasi. Lõpuks lähenes ta raputavale majale ja koputas. Mees, kes nimetas end Right Nurgaks, avas talle ukse ja ta kutsus Hüpotenuse enda juurde elama. Hüpotenuus jäi majja, kus elasid Right Angle ja tema kaks väikest poega nimega Katetes. Sellest ajast peale on elu Right Angle majas muutunud uutmoodi. Hüpotenuus istutas aknale lilli ja eesaeda punaseid roose. Maja võttis täisnurkse kolmnurga kuju. Mõlemale jalale meeldis väga hüpotenuus ja nad palusid tal jääda igaveseks nende majja. Õhtuti koguneb see sõbralik perekond pere laua taha. Mõnikord mängib Right Angle oma lastega peitust. Kõige sagedamini peab ta vaatama ja hüpotenuus peidab end nii osavalt, et seda võib olla väga raske leida. Ühel päeval mängides märkas Right Angle huvitav vara: kui tal õnnestub jalad leida, siis pole hüpotenuusi leidmine keeruline. Nii et Right Angle kasutab seda mustrit, pean ütlema, väga edukalt. Pythagorase teoreem põhineb selle täisnurkse kolmnurga omadusel.

(A. Okunevi raamatust “Aitäh õppetunni eest, lapsed”).

Teoreemi humoorikas sõnastus:

Kui meile antakse kolmnurk

Ja täisnurgaga,

See on hüpotenuusi ruut

Meil on alati lihtne leida:

Me teeme jalad sirgeks,

Leiame jõudude summa -

Ja nii lihtsal viisil

Jõuame tulemuseni.

10. klassis algebrat ning analüüsi ja geomeetria algust õppides veendusin, et lisaks 8. klassis käsitletud Pythagorase teoreemi tõestamismeetodile on ka teisi tõestusmeetodeid. Esitan need teie tähelepanuks.
2. PÕHIOSA.

Teoreem. Täisnurkses kolmnurgas on ruut

Hüpotenuus on võrdne jalgade ruutude summaga.

1 MEETOD.

Hulknurkade pindalade omadusi kasutades loome märkimisväärse seose täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ja jalgade vahel.

Tõestus.

a, c ja hüpotenuus Koos(Joon. 1, a).

Tõestame seda c²=a²+b².

Tõestus.

Lõpetame kolmnurga küljega ruuduks a + b nagu on näidatud joonisel fig. 1, b. Selle ruudu pindala S on (a + b)². Teisest küljest koosneb see ruut neljast võrdsest täisnurksest kolmnurgast, millest igaühe pindala on ½ ah ja küljega ruut koos, seetõttu S = 4 * ½ aw + s² = 2aw + s².

Seega

(a + b)² = 2 aw + s²,

c²=a²+b².

Teoreem on tõestatud.
2 MEETOD.

Uurides teemat “Sarnased kolmnurgad”, sain teada, et kolmnurkade sarnasust saab rakendada Pythagorase teoreemi tõestuses. Nimelt kasutasin väidet, et täisnurkse kolmnurga jalg on jala ja täisnurga tipust tõmmatud kõrguse vahele jääva hüpotenuusi ja hüpotenuusi lõiguga võrdeline keskmine.

Vaatleme täisnurkset kolmnurka täisnurgaga C, CD – kõrgus (joon. 2). Tõestame seda AC² +NE² = AB² .

Tõestus.

Põhineb väide täisnurkse kolmnurga jala kohta:

AC = , SV = .

Teeme ruudu ja lisame saadud võrrandid:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), kus AD+DB=AB, siis

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

Tõestus on täielik.
3 MEETOD.

Pythagorase teoreemi tõestamiseks saate kasutada täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinuse määratlust. Vaatame joonist fig. 3.

Tõestus:

Olgu ABC antud täisnurkne kolmnurk täisnurgaga C. Joonestame kõrguse CD täisnurga C tipust.

Nurga koosinuse määratluse järgi:

cos A = AD/AC = AC/AB. Seega AB * AD = AC²

Samamoodi

cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.

Seega AB * BD = BC².

Lisades saadud võrdsused termini haaval ja märkides, et AD + DB = AB, saame:

AC² + päike² = AB (AD + DB) = AB²

Tõestus on täielik.
4 MEETOD.

Olles uurinud teemat “Täisnurkse kolmnurga külgede ja nurkade vahelised seosed”, arvan, et Pythagorase teoreemi saab tõestada ka muul viisil.

Mõelge jalgadega täisnurksele kolmnurgale a, c ja hüpotenuus Koos. (joonis 4).

Tõestame seda c²=a²+b².

Tõestus.

patt B= kõrge kvaliteet ; cos B= a/c , siis saadud võrrandite ruudustamisel saame:

sin² B= in²/s²; cos² IN= a²/c².

Kui need kokku liita, saame:

sin² IN+cos² B=в²/с²+ а²/с², kus sin² IN+cos² B=1,

1= (в²+ а²) / с², seega

c²= a² + b².

Tõestus on täielik.

5 MEETOD.

See tõestus põhineb jalgadele ehitatud ruutude lõikamisel (joonis 5) ja saadud osade asetamisel hüpotenuusile ehitatud ruudule.

6 MEETOD.

Tõestuseks küljelt Päike me ehitame BCD ABC(joonis 6). Teame, et sarnaste kujundite alad on seotud nende sarnaste lineaarsete mõõtmetega ruutudena:

Lahutades esimesest võrdsusest teise, saame

c2 = a2 + b2.

Tõestus on täielik.

7 MEETOD.

Antud(Joonis 7):

ABC,= 90° , päike= a, AC=b, AB = c.

Tõesta:c2 = a2 +b2.

Tõestus.

Lase jalga b A. Jätkame lõiku NE punkti kohta IN ja ehitada kolmnurk BMD nii et punktid M Ja A lamada sirgjoone ühel küljel CD ja pealegi, BD =b, BDM= 90°, DM= a, siis BMD= ABC kahel küljel ja nendevahelise nurga all. Punktid A ja Mühendage segmentidega OLEN. Meil on M.D. CD Ja A.C. CD, see tähendab, et see on sirge AC joonega paralleelne M.D. Sest M.D.< АС, siis otse CD Ja OLEN. mitte paralleelne. Seetõttu AMDC- ristkülikukujuline trapets.

Täisnurksetes kolmnurkades ABC ja BMD 1 + 2 = 90° ja 3 + 4 = 90°, kuid kuna = =, siis 3 + 2 = 90°; Siis AVM=180° - 90° = 90°. Selgus, et trapets AMDC on jagatud kolmeks mittekattuvad täisnurkseks kolmnurgaks, seejärel pindala aksioomide järgi

(a+b)(a+b)

Jagades kõik ebavõrdsuse liikmed arvuga , saame

Ab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,

c2 = a2 + b2.

Tõestus on täielik.

8 MEETOD.

See meetod põhineb täisnurkse kolmnurga hüpotenuusil ja jalgadel ABC. Ta konstrueerib vastavad ruudud ja tõestab, et hüpotenuusile ehitatud ruut on võrdne jalgadele ehitatud ruutude summaga (joon. 8).

Tõestus.

1) DBC= FBA= 90°;

DBC+ ABC= FBA+ ABC, Tähendab, FBC = DBA.

Seega FBC=ABD(kahe külje ja nendevahelise nurga all).

2) , kus AL DE, kuna BD on ühine alus, DL- kogukõrgus.

3) , kuna FB on sihtasutus, AB- kogukõrgus.

4)

5) Samamoodi saab tõestada, et

6) Termini kaupa lisades saame:

, eKr2 = AB2 + AC2 . Tõestus on täielik.

9 MEETOD.

Tõestus.

1) Lase ABDE- ruut (joon. 9), mille külg on võrdne täisnurkse kolmnurga hüpotenuusiga ABC= s, BC = a, AC =b).

2) Lase DK B.C. Ja DK = päike, kuna 1 + 2 = 90° (nagu täisnurkse kolmnurga teravnurk), 3 + 2 = 90° (nagu ruudu nurk), AB= BD(väljaku küljed).

Tähendab, ABC= BDK(hüpotenuusi ja teravnurga järgi).

3) Lase EL D.K., A.M. E.L. Seda saab kergesti tõestada, et ABC = BDK = DEL = EAM (jalgadega A Ja b). Siis KS= CM= M.L.= L.K.= A -b.

4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (a–b),Koos2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

Tõestus on täielik.

10 MEETOD.

Tõestust saab teha kujuga, mida naljaga pooleks nimetatakse " Pythagorase püksid"(joonis 10). Selle idee on muuta külgedele ehitatud ruudud võrdseteks kolmnurkadeks, mis koos moodustavad hüpotenuusi ruudu.

ABC liigutage seda noolega näidatud viisil ja see võtab positsiooni KDN.Ülejäänud joonis AKDCB ruudu võrdne pindala AKDC see on rööpkülik AKNB.

Valmistatud on rööpküliku mudel AKNB. Paigutame rööpküliku ümber nii, nagu töö sisus visandatud. Rööpküliku teisenduse näitamiseks võrdse pindalaga kolmnurgaks lõikame õpilaste silme all mudelil ära kolmnurga ja liigutame selle alla. Seega väljaku pindala AKDC osutus võrdseks ristküliku pindalaga. Samamoodi teisendame ruudu pindala ristküliku pindalaks.

Teeme teisenduse küljele ehitatud ruudu jaoks A(Joonis 11,a):

a) ruut teisendatakse võrdseks rööpkülikuks (joonis 11.6):

b) rööpkülik pöörleb veerand pööret (joonis 12):

c) rööpkülik muudetakse võrdseks ristkülikuks (joon. 13): 11 MEETOD.

Tõestus:

PCL - sirge (joon. 14);

KLOA= ACPF= ACED= a2;

LGBO= SVMR =CBNQ= b 2;

AKGB= AKLO +LGBO= c2;

c2 = a2 + b2.

Tõestus on läbi .

12 MEETOD.

Riis. Joonis 15 illustreerib Pythagorase teoreemi teist originaalset tõestust.

Siin: kolmnurk ABC täisnurgaga C; joonelõik B.F. risti NE ja sellega võrdne segment OLE risti AB ja sellega võrdne segment AD risti AC ja sellega võrdne; punktid F, C,D kuuluvad samasse ritta; nelinurgad ADFB Ja ASVE suuruselt võrdsed, kuna ABF = EKP; kolmnurgad ADF Ja ACE võrdse suurusega; lahutage mõlemast võrdsest nelinurgast kolmnurk, mida nad jagavad ABC, saame

, c2 = a2 + b2.

Tõestus on täielik.

13 MEETOD.

Antud täisnurkse kolmnurga pindala ühel küljel on võrdne , teisega, ,

3. KOKKUVÕTE.

Otsingutegevuse tulemusena saavutati töö eesmärk, milleks oli Pythagorase teoreemi tõestuse kohta teadmiste täiendamine ja üldistamine. Selle tõestamiseks ja teemakohaste teadmiste süvendamiseks oli võimalik leida ja kaaluda erinevaid võimalusi, väljudes kooliõpiku lehekülgedest.

Kogutud materjal veenab mind veelgi enam, et Pythagorase teoreem on suurepärane geomeetria teoreem ning sellel on tohutu teoreetiline ja praktiline tähendus. Kokkuvõtteks tahaksin öelda: Pythagorase kolmikteoreemi populaarsuse põhjuseks on selle ilu, lihtsus ja tähendus!

4. KASUTATUD KIRJANDUS.

1. Meelelahutuslik algebra. . Moskva "Teadus", 1978.

2. Ajalehe “Esimene september” iganädalane hariduslik ja metoodiline lisa, 24/2001.

3. Geomeetria 7-9. ja jne.

4. Geomeetria 7-9. ja jne.

Kõik teavad Pythagorase teoreemi kooliajast peale. Silmapaistev matemaatik tõestas suurepärane hüpotees, mida paljud inimesed praegu kasutavad. Reegel kõlab nii: täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi pikkuse ruut võrdub jalgade ruutude summaga. Paljude aastakümnete jooksul pole ükski matemaatik suutnud seda reeglit vaidlustada. Pythagoras võttis ju oma eesmärgi saavutamiseks kaua aega, et selle tulemusena joonistused igapäevaelus aset leidsid.

1. Selle teoreemi väike salm, mis leiutati vahetult pärast tõestust, tõestab otseselt hüpoteesi omadusi: "Pythagorase püksid on kõigis suundades võrdsed." See kaherealine rida on paljude inimeste mällu sööbinud – arvutusi tehes on luuletus meeles tänaseni.
2. Seda teoreemi nimetati "Püthagorase püksteks", kuna keskele tõmmates saadi täisnurkne kolmnurk, mille mõlemal küljel on ruudud. Välimuselt meenutas see joonis pükse – siit ka hüpoteesi nimi.
3. Pythagoras oli väljatöötatud teoreemi üle uhke, sest see hüpotees erineb sarnastest tõendite maksimaalse hulga poolest. Tähtis: võrrand kanti Guinnessi rekordite raamatusse 370 tõese tõestuse tõttu.

   

4. Hüpotees sai tõestatud suur summa aastast pärit matemaatikud ja professorid erinevad riigid mitmeti. Inglise matemaatik Jones kuulutas peagi välja hüpoteesi ja tõestas seda diferentsiaalvõrrandi abil.

   

5. Praegu ei tea keegi Pythagorase enda teoreemi tõestust.. Fakte matemaatiku tõestustest ei tea tänapäeval keegi. Arvatakse, et Eukleidese tõestus jooniste kohta on Pythagorase tõestus. Mõned teadlased vaidlevad selle väitega siiski vastu: paljud usuvad, et Eukleides tõestas teoreemi iseseisvalt, ilma hüpoteesi looja abita.

   

6. Tänapäeva teadlased on avastanud, et suur matemaatik ei olnud esimene, kes selle hüpoteesi avastas. Võrrand oli teada juba ammu enne selle avastamist Pythagorase poolt. See matemaatik suutis ainult hüpoteesi uuesti ühendada.

   

7. Pythagoras ei andnud võrrandile nime "Pythagorase teoreem". See nimi jäi kõlama "valju kaheliinilise" järgi. Matemaatik tahtis ainult, et kogu maailm teaks ja kasutaks tema pingutusi ja avastusi.

   

8. Suur matemaatik Moritz Cantor leidis ja nägi iidse papüüruse joonistega märkmeid. Varsti pärast seda mõistis Cantor, et see teoreem oli egiptlastele teada juba 2300 eKr. Alles siis ei kasutanud keegi seda ära ega üritanud seda tõestada.

   

9. Praegused teadlased usuvad, et see hüpotees oli teada juba 8. sajandil eKr. Indiaanlane selle teadlased aeg avastas täisnurgaga kolmnurga hüpotenuusi ligikaudse arvutuse. Tõsi, toona ei suutnud keegi võrrandit ligikaudsete arvutustega kindlalt tõestada.

   

10. Suur matemaatik Bartel van der Waerden tegi pärast hüpoteesi tõestamist olulise järelduse: “Kreeka matemaatiku teene ei peeta suuna ja geomeetria avastamist, vaid üksnes selle õigustamist. Pythagorase käes olid arvutusvalemid, mis põhinesid oletustel, ebatäpsetel arvutustel ja ebamäärastel ideedel. Silmapaistval teadlasel õnnestus see aga täppisteaduseks muuta.

    

11. Kuulus poeet ütles, et oma joonistuse avastamise päeval püstitas ta härgadele hiilgava ohvri.. Pärast hüpoteesi avastamist hakkasid levima kuulujutud, et saja härja ohverdamine "läks raamatute ja väljaannete lehtedele rändama". Tänini naljatab mõistus, et sellest ajast on kõik pullid uut avastust kartnud.

    

12. Tõestus, et mitte Pythagoras tuli välja luuletuse pükste kohta, et tõestada tema esitatud jooniseid: Suure matemaatiku eluajal polnud veel pükse. Need leiutati mitu aastakümmet hiljem.
13. Pythagorase mõtisklused tema enda reeglist: kõige maapealse saladus peitub numbrites. Uuris ju matemaatik enda hüpoteesile tuginedes arvude omadusi, tuvastas ühtluse ja veidruse ning lõi proportsioone.

    

Kuulus Pythagorase teoreem - "Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusi ruut võrdne jalgade ruutude summaga"- kõik teavad seda kooliajast.

No kas sa mäletad "Pythagorase püksid", mis "võrdne igas suunas"- skemaatiline joonis, mis selgitab kreeka teadlase teoreemi.

Siin a Ja b- jalad ja Koos- hüpotenuus:

Nüüd räägin teile selle teoreemi ühest algsest tõestusest, mida te võib-olla ei teadnudki...

Kuid kõigepealt vaatame ühte lemma- tõestatud väide, mis on kasulik mitte iseenesest, vaid teiste väidete (teoreemide) tõestamiseks.

Võtame täisnurkse kolmnurga tippudega X, Y Ja Z, Kus Z- täisnurk ja langetage risti õigest nurgast Z hüpotenuusile. Siin W- punkt, kus kõrgus lõikub hüpotenuusiga.

See joon (risti) ZW jagab kolmnurga enda sarnasteks koopiateks.

Tuletan meelde, et sarnasteks nimetatakse kolmnurki, mille nurgad on vastavalt võrdsed ja ühe kolmnurga küljed on võrdelised teise kolmnurga sarnaste külgedega.

Meie näites saadud kolmnurgad XWZ Ja YWZ sarnased üksteisega ja sarnased ka algse kolmnurgaga XYZ.

Seda pole raske tõestada.

Alustame kolmnurgast XWZ, pange tähele, et ∠XWZ = 90 ja seega ∠XZW = 180–90–∠X. Kuid 180–90-∠X -  on täpselt see, mis ∠Y on, seega peab kolmnurk XWZ olema sarnane (kõik nurgad võrdsed) kolmnurgaga XYZ. Sama harjutust saab teha YWZ kolmnurga jaoks.

Lemma on tõestatud! Täisnurkses kolmnurgas jagab hüpotenuusile langenud kõrgus (risti) kolmnurga kaheks sarnaseks, mis omakorda on sarnased algse kolmnurgaga.

Kuid pöördume tagasi meie "Pythagorase pükste" juurde ...

Langetage risti hüpotenuusiga c. Selle tulemusena on meie täisnurkse kolmnurga sees kaks täisnurkset kolmnurka. Märgistame need kolmnurgad (ülal pildil roheline) tähed A Ja B, ja algne kolmnurk on täht KOOS.

Muidugi kolmnurga pindala KOOS võrdne kolmnurkade pindalade summaga A Ja B.

Need. A+ B= KOOS

Nüüd jagame ülaosas oleva kuju ("Pythagorase püksid") kolmeks majafiguuriks:

Nagu me juba lemmast teame, kolmnurgad A, B Ja C on üksteisega sarnased, seetõttu on ka saadud majafiguurid sarnased ja on üksteise skaleeritud versioonid.

See tähendab, et pindala suhe A Ja a², - see on sama, mis pindala suhe B Ja b², ja C Ja c².

Nii on meil A/a² = B/b² = C/c² .

Tähistame seda kolmnurga ja ruudu pindalade suhet majakujul tähega k.

Need. k- see on teatud koefitsient, mis ühendab kolmnurga (maja katuse) pindala selle all oleva ruudu pindalaga:
k = A / a² = B / b² = C / c²

Sellest järeldub, et kolmnurkade pindalasid saab väljendada nende all olevate ruutude pindalaga järgmiselt:
A = ka², B = kb², Ja C = kc²

Aga me mäletame seda A+B = C, mis tähendab ka² + kb² = kc²

Või a² + b² = c²

Ja see ongi Pythagorase teoreemi tõestus!

Ajaloo poole pöördudes, kuigi Pythagorase teoreem kannab Pythagorase nime, ei olnud ta selle avastaja. Kuna teadlased hakkasid ristkülikukujulise ristküliku eriomadusi uurima palju varem kui see. Siiski on kaks väidet. Esimene ütleb, et Pythagoras tõestas teoreemi. Teiseks ei ole see tema. Praegu on võimatu kontrollida, milline neist arvamustest vastab tõele, kuid kahjuks, kui Pythagorase kohta oli tõend, ei säilinud see meie ajani. On ka arvamus, et Eukleidese tehtud tõestuse tegi Pythagoras ja Eukleides tegi selle avalikuks.
Kahtlemata tekkis Egiptuses vaaraode valitsusajal küsimusi täisnurkse kolmnurgaga. Ta osales ka Babüloni ajaloos. Millest võime järeldada, et see teoreem on huvi pakkunud juba iidsetest aegadest. Praeguseks on 367 erinevat tõendit. Midagi, millega ükski teine ​​teoreem kiidelda ei saa.

Märkus: kui otsite laborimööblit või soovite lihtsalt tõmbekappi osta (http://www.labmet.ru/shkafy-vytyazhnye.html). Järgige seda linki ja ostke kõik, mida vajate. Kvaliteet garanteeritud!

Vaatame peamisi tõendeid.

1 Pythagorase teoreemi tõestus.

Seda peetakse lihtsamaks viisiks. See kasutab tavalisi kolmnurki.

kui võtame võrdhaarse täisnurkse kolmnurga ABC, saame hüpotenuusist AC konstrueerida ruudu, mis sisaldab 4 sarnast kolmnurka. Kasutades jalgu AB ja BC, konstrueeritakse ruudud, mis sisaldavad veel kahte sama kolmnurka.

2 Pythagorase teoreemi tõestus.

See ühendab nii algebra kui ka geomeetria. Joonistage täisnurkne kolmnurk abc. Ja 2 ruutu, mis võrdub kahe jala pikkusega a+b. Seejärel teeme konstruktsiooni, nagu joonistel 2, 3. Selle tulemusena saame kaks ruutu külgedega a ja b. Teine ruut sisaldab 4 kolmnurka, moodustades seega ruudu, mis on võrdne hüpotenuusiga c. Huvitav on see, et ruutude kogupindala joonisel fig. 2, 3 on üksteisega võrdsed.
Võtame kõik kokku valemisse, mille saame. a 2 +b 2 = (a+b) 2 - 4 * 1/2 * a * b. Sulgude avamisel saame a 2 +b 2 = a 2 +b 2. Joonisel 3 kujutatud pindala arvutatakse järgmiselt: S = c 2 või a 2 + b 2 = c 2 .h.t.d.


3 Pythagorase teoreemi tõestus.

Tõendid leitud 12. sajandil, Vana-Indias.

Ehitame ruudu 4 kolmnurka (ristkülikukujuline). Hüpotenuus on külg c, kolmnurga jalad on a ja b. Arvutame suurte ruutude pindala - S = c 2 ja sisemine
(a-b) 2 2 +4 * 1/2 * a * b. Millest järeldame, et c 2 = (a-b) 2 2+ 4 * 1/2 * a * b ja seega c 2 = a 2 + b 2.

4 Pythagorase teoreemi tõestus.

Geomeetria põhjal nimetatakse seda Garfieldi meetodiks. Konstrueerides täisnurkse kolmnurga ABC, leiame tõestuse, et BC2 = AC2 + AB2 Jätkame haru AC, luues sirge CD, mis on võrdne jalaga AB. Ühendades sirge ja nurga E risti AD-ga saame ED. Otsejooned AC ja ED on üksteisega võrdsed.

Tõestuseks sellest tegevusest, kasutame ka kahte meetodit, võrdsustades need avaldised.
Leidke hulknurga ABED pindala. Kuna AB=CD, AC=ED, BC=CE, siis S ABED = 2*1/2 (AB*AC)+ 1/2 BC 2.
Näeme, et ABCD on trapets. See tähendab, et S ABCD = (DE+AB)*1/2AD.
Kujutagem neid meetodeid koos ette ja võrdsustage need:
AB*AC+ 1/2 BC 2 = (DE+AB)*1/2(AC+CD).
Lihtsustame AB*AC +1/2ВС 2 = 1/2(AB+AC) 2.
Sulgude avamisel saame: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC+2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2.
Tulemus: BC 2 = AC 2 + AB 2. jne.

Need pole kõik viisid Pythagorase teoreemi tõestamiseks, kuid peamised on.