Esimene tase

Funktsiooni tuletis. Põhjalik juhend (2019)

Kujutagem ette künklikku ala läbivat sirget teed. See tähendab, et see läheb üles ja alla, kuid ei pööra paremale ega vasakule. Kui telg on suunatud horisontaalselt piki teed ja vertikaalselt, on teejoon väga sarnane mõne pideva funktsiooni graafikuga:

Telg on teatud nullkõrguse tase, mida me kasutame sellena.

Mööda sellist teed edasi liikudes liigume ka üles või alla. Võime ka öelda: kui argument muutub (liikumine mööda abstsisstellge), muutub funktsiooni väärtus (liikumine mööda ordinaattelge). Mõelgem nüüd sellele, kuidas määrata meie tee “järsust”? Mis väärtus see võiks olla? See on väga lihtne: kui palju kõrgus teatud vahemaa võrra edasi liikudes muutub. Lõppude lõpuks, edasi erinevad valdkonnad teed, liikudes edasi (piki x-telge) ühe kilomeetri võrra, tõuseme või langeme mööda erinevad kogused meetrit merepinna suhtes (piki ordinaattelge).

Tähistame edusamme (loe "delta x").

Kreeka tähte (delta) kasutatakse matemaatikas tavaliselt eesliitena, mis tähendab "muutust". See tähendab, et see on koguse muutus, - muutus; mis see siis on? See on õige, suurusjärgu muutus.

Tähtis: avaldis on üks tervik, üks muutuja. Ärge kunagi eraldage "delta" tähest "x" või mis tahes muust tähest! See tähendab näiteks.

Niisiis, oleme liikunud edasi, horisontaalselt, võrra. Kui võrrelda tee joont funktsiooni graafikuga, siis kuidas tähistada tõusu? Kindlasti,. See tähendab, et edasi liikudes tõuseme kõrgemale.

Väärtust on lihtne arvutada: kui alguses olime kõrgusel ja pärast liikumist avastasime end kõrguselt, siis. Kui lõpp-punkt on alguspunktist madalam, on see negatiivne - see tähendab, et me ei tõuse, vaid laskume.

Pöördume tagasi "järsuse" juurde: see on väärtus, mis näitab, kui palju (järsult) kasvab kõrgus ühe kaugusühiku võrra edasi liikudes:

Oletame, et mõnel teelõigul kilomeetri võrra edasi liikudes tõuseb tee kilomeetri võrra ülespoole. Siis on selle koha kalle võrdne. Ja kui tee m edasi liikudes km võrra langeks? Siis on kalle võrdne.

Vaatame nüüd ühe mäe tippu. Kui võtta lõigu algus pool kilomeetrit enne tippu ja lõpp pool kilomeetrit pärast seda, on näha, et kõrgus on peaaegu sama.

See tähendab, et meie loogika kohaselt selgub, et kalle on siin peaaegu võrdne nulliga, mis ilmselgelt pole tõsi. Veidi üle kilomeetri võib palju muutuda. Järsu adekvaatsemaks ja täpsemaks hindamiseks on vaja arvestada väiksemate aladega. Näiteks kui mõõta kõrguse muutust ühe meetri liigutamisel, on tulemus palju täpsem. Kuid isegi sellest täpsusest ei pruugi meile piisata - kui tee keskel on post, siis saame sellest lihtsalt mööda minna. Millise vahemaa peaksime siis valima? Sentimeeter? Millimeeter? Vähem on parem!

IN päris elu Kauguste mõõtmine millimeetri täpsusega on enam kui piisav. Kuid matemaatikud püüdlevad alati täiuslikkuse poole. Seetõttu leiutati kontseptsioon lõpmatult väike, see tähendab, et absoluutväärtus on väiksem kui suvaline arv, mida saame nimetada. Näiteks ütlete: triljondik! Kui palju vähem? Ja jagate selle arvu - ja see on veelgi väiksem. Ja nii edasi. Kui tahame kirjutada, et suurus on lõpmata väike, kirjutame nii: (loeme “x kipub nulli”). On väga oluline mõista et see arv ei võrdu nulliga! Aga sellele väga lähedal. See tähendab, et saate sellega jagada.

Lõpmatu väikesele vastandmõiste on lõpmata suur (). Tõenäoliselt olete sellega juba kokku puutunud, kui töötasite ebavõrdsuse kallal: see arv on mooduli võrra suurem kui ükski number, mida võite ette kujutada. Kui tulite välja suurima võimalikud numbrid, lihtsalt korrutage see kahega ja saate veelgi rohkem. Ja lõpmatus on veelgi suurem kui see, mis juhtub. Tegelikult on lõpmata suur ja lõpmatult väike teineteise pöördväärtus, st at ja vastupidi: at.

Nüüd pöördume tagasi oma tee juurde. Ideaalselt arvutatud kalle on tee lõpmatu väikese lõigu jaoks arvutatud kalle, st:

Märgin, et lõpmata väikese nihke korral on ka kõrguse muutus lõpmatult väike. Kuid lubage mul teile meelde tuletada, et lõpmata väike ei tähenda nulliga võrdset. Kui jagada lõpmata väikesed arvud üksteisega, saab täiesti tavalise arvu, näiteks . See tähendab, et üks väike väärtus võib olla täpselt kordi suurem kui teine.

Milleks see kõik on? Tee, järsk... Me ei lähe autorallile, vaid õpetame matemaatikat. Ja matemaatikas on kõik täpselt sama, ainult kutsutakse teisiti.

Tuletise mõiste

Funktsiooni tuletis on funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhe argumendi lõpmatu väikese juurdekasvu korral.

Järk-järgult matemaatikas kutsuvad nad muutust. Nimetatakse seda, kuivõrd argument () muutub piki telge liikudes argumentide juurdekasv ja tähistatakse seda, kui palju on funktsioon (kõrgus) muutunud piki telge kauguse võrra edasi liikudes funktsiooni juurdekasv ja on määratud.

Seega on funktsiooni tuletis suhe millal. Tuletist tähistame funktsiooniga sama tähega, ainult algarvuga üleval paremal: või lihtsalt. Niisiis, kirjutame tuletisvalemi järgmiste tähiste abil:

Sarnaselt teele on siin, kui funktsioon suureneb, on tuletis positiivne ja kui see väheneb, on see negatiivne.

Kas tuletis võib olla võrdne nulliga? Kindlasti. Näiteks kui sõidame tasasel horisontaalsel teel, on järsus null. Ja see on tõsi, kõrgus ei muutu üldse. Nii on ka tuletisega: konstantse funktsiooni tuletis (konstant) on võrdne nulliga:

kuna sellise funktsiooni juurdekasv on võrdne nulliga mis tahes.

Meenutagem mäetipu näidet. Selgus, et on võimalik segmendi otsad mööda paigutada erinevad küljedülevalt, nii et otste kõrgus oleks sama, see tähendab, et segment on teljega paralleelne:

Kuid suured segmendid on märk ebatäpsest mõõtmisest. Tõstame oma lõigu endaga paralleelselt üles, siis selle pikkus väheneb.

Lõpuks, kui oleme tipule lõpmatult lähedal, muutub lõigu pikkus lõpmatult väikeseks. Kuid samal ajal jäi see teljega paralleelseks, see tähendab, et kõrguste erinevus selle otstes on võrdne nulliga (see ei kipu, kuid on võrdne). Seega tuletis

Seda võib mõista nii: kui seisame kõige tipus, muudab väike nihe vasakule või paremale meie kõrgust tühiselt.

Sellel on ka puhtalgebraline seletus: tipust vasakul funktsioon suureneb, paremal aga väheneb. Nagu me varem teada saime, on funktsiooni suurenemisel tuletis positiivne ja kui see väheneb, siis negatiivne. Aga see muutub sujuvalt, ilma hüpeteta (kuna tee ei muuda kuskil järsult kallet). Seetõttu peavad olema negatiivsed ja positiivsed väärtused. See on koht, kus funktsioon ei suurene ega vähene – tipupunktis.

Sama kehtib ka küna kohta (ala, kus vasakpoolne funktsioon väheneb ja parempoolne funktsioon suureneb):

Natuke juurdekasvu kohta.

Seega muudame argumendi suuruseks. Millisest väärtusest me muudame? Mis sellest (vaidlusest) nüüd on saanud? Saame valida mis tahes punkti ja nüüd tantsime sellest.

Vaatleme koordinaadiga punkti. Funktsiooni väärtus selles on võrdne. Seejärel teeme sama juurdekasvu: suurendame koordinaati võrra. Mis on nüüd argument? Väga lihtne: . Mis on funktsiooni väärtus praegu? Kuhu läheb argument, läheb ka funktsioon: . Aga funktsiooni juurdekasv? Ei midagi uut: see on ikkagi summa, mille võrra funktsioon on muutunud:

Harjutage juurdekasvu leidmist:

1. Leia funktsiooni juurdekasv punktis, kus argumendi juurdekasv on võrdne.
2. Sama kehtib ka funktsiooni kohta punktis.

Lahendused:

Erinevates punktides sama argumendi juurdekasvuga on funktsiooni juurdekasv erinev. See tähendab, et tuletis igas punktis on erinev (me arutasime seda kohe alguses - tee järskus on erinevates punktides erinev). Seetõttu peame tuletise kirjutamisel näitama, millisel hetkel:

Toitefunktsioon.

Võimsusfunktsioon on funktsioon, mille argument on mingil määral (loogiline, eks?).

Pealegi - mis tahes määral: .

Lihtsaim juhtum on siis, kui eksponents on:

Leiame selle tuletise ühest punktist. Tuletagem meelde tuletise määratlust:

Nii et argument muutub väärtusest kuni. Mis on funktsiooni juurdekasv?

Kasv on see. Kuid funktsioon mis tahes punktis on võrdne selle argumendiga. Sellepärast:

Tuletis on võrdne:

Tuletis on võrdne:

b) Nüüd kaaluge ruutfunktsioon (): .

Nüüd meenutagem seda. See tähendab, et juurdekasvu väärtuse võib tähelepanuta jätta, kuna see on lõpmata väike ja seetõttu teise termini taustal tähtsusetu:

Niisiis, me leidsime veel ühe reegli:

c) Jätkame loogilist seeriat: .

Seda avaldist saab lihtsustada mitmel viisil: avage esimene sulg, kasutades summa kuubi lühendatud korrutamise valemit, või faktoristage kogu avaldis kuubikute erinevuse valemi abil. Proovige seda ise teha, kasutades mõnda soovitatud meetoditest.

Niisiis, sain järgmise:

Ja jälle meenutagem seda. See tähendab, et võime tähelepanuta jätta kõik terminid, mis sisaldavad:

Saame: .

d) Sarnased reeglid on saadaval suurte võimsuste jaoks:

e) Selgub, et seda reeglit saab üldistada suvalise astendajaga astmefunktsiooni jaoks, isegi mitte täisarvuga:

(2)

Reegli saab sõnastada sõnadega: "aste tuuakse koefitsiendina ette ja seejärel vähendatakse võrra."

Tõestame seda reeglit hiljem (peaaegu päris lõpus). Vaatame nüüd mõnda näidet. Leidke funktsioonide tuletis:

1. (kahel viisil: valemiga ja kasutades tuletise definitsiooni – funktsiooni juurdekasvu arvutades);

1. . Uskuge või mitte, see on võimsusfunktsioon. Kui teil on küsimusi nagu „Kuidas see on? Kus on kraad?”, jäta meelde teema “”!
   Jah, jah, juur on ka aste, ainult murdosa: .
   See tähendab, et meie ruutjuur on lihtsalt aste, millel on aste:
   .
   Otsime tuletist hiljuti õpitud valemi abil:

   Kui siinkohal jääb jälle selgusetuks, korrake teemat “”!!! (umbes negatiivse astendajaga kraad)

2. . Nüüd astendaja:

   Ja nüüd läbi määratluse (kas olete juba unustanud?):
   ;
   .
   Nüüd, nagu tavaliselt, jätame tähelepanuta termini, mis sisaldab:
   .

3. . Varasemate juhtumite kombinatsioon: .

Trigonomeetrilised funktsioonid.

Siin kasutame ühte fakti kõrgemast matemaatikast:

Väljendiga.

Tõestust saate teada instituudi esimesel kursusel (ja sinna saamiseks peate hästi sooritama ühtse riigieksami). Nüüd näitan seda lihtsalt graafiliselt:

Näeme, et kui funktsiooni pole olemas, lõigatakse graafik punkt välja. Kuid mida lähemal väärtusele, seda lähemal on see funktsioon.

Lisaks saate seda reeglit kontrollida kalkulaatori abil. Jah, jah, ärge kartke, kasutage kalkulaatorit, me ei ole veel ühtsel riigieksamil.

Niisiis, proovime: ;

Ärge unustage lülitada oma kalkulaatorit radiaanirežiimile!

jne. Näeme, et mida väiksem, seda lähemal on suhtarvu väärtus.

a) Mõelge funktsioonile. Nagu tavaliselt, leiame selle juurdekasvu:

Muudame siinuste erinevuse korrutiseks. Selleks kasutame valemit (pidage meeles teemat ""): .

Nüüd tuletis:

Teeme asendus: . Siis on see ka lõpmatu väikese arvu korral: . Avaldis jaoks on järgmine:

Ja nüüd meenutame seda väljendiga. Ja mis siis, kui lõpmata väikest suurust saab summas (st at) tähelepanuta jätta.

Niisiis, saame järgmise reegli: siinuse tuletis on võrdne koosinusega:

Need on põhilised (tabelikujulised) tuletised. Siin on need ühes loendis:

Hiljem lisame neile veel mõned, kuid need on kõige olulisemad, kuna neid kasutatakse kõige sagedamini.

Harjuta:

1. Leia funktsiooni tuletis punktis;
2. Leia funktsiooni tuletis.

Lahendused:

1. Esiteks leiame tuletise sisse üldine vaade ja seejärel asendage selle väärtus:
   ;
   .
2. Siin on midagi võimsusfunktsiooniga sarnast. Proovime teda tuua
   tavavaade:
   .
   Suurepärane, nüüd saate kasutada valemit:
   .
   .
3. . Eeeeeee.....Mis see on????

Olgu, sul on õigus, me ei tea veel, kuidas selliseid tuletisi leida. Siin on meil mitut tüüpi funktsioonide kombinatsioon. Nendega töötamiseks peate õppima veel mõned reeglid:

Eksponent ja naturaallogaritm.

Matemaatikas on funktsioon, mille tuletis mis tahes väärtuse jaoks on samaaegselt võrdne funktsiooni enda väärtusega. Seda nimetatakse eksponendiks ja see on eksponentsiaalne funktsioon

Selle funktsiooni alus - konstant - on lõpmatu kümnendmurd, see tähendab irratsionaalne arv (näiteks). Seda nimetatakse "Euleri numbriks", mistõttu on see tähistatud tähega.

Niisiis, reegel:

Väga lihtne meelde jätta.

Noh, ärme lähe kaugele, mõelgem kohe pöördfunktsioonile. Milline funktsioon on eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioon? Logaritm:

Meie puhul on aluseks number:

Sellist logaritmi (see tähendab logaritmi alusega) nimetatakse "loomulikuks" ja me kasutame selle jaoks spetsiaalset tähistust: kirjutame selle asemel.

Millega see on võrdne? Muidugi, .

Naturaallogaritmi tuletis on samuti väga lihtne:

Näited:

1. Leia funktsiooni tuletis.
2. Mis on funktsiooni tuletis?

Vastused: Eksponent- ja naturaallogaritm on tuletise vaatenurgast ainulaadselt lihtsad funktsioonid. Mis tahes muu alusega eksponentsiaalsetel ja logaritmilistel funktsioonidel on erinev tuletis, mida analüüsime hiljem, pärast diferentseerimisreeglite läbimist.

Eristamise reeglid

Mille reeglid? Jälle uus termin, jälle?!...

Eristumine on tuletise leidmise protsess.

See on kõik. Kuidas seda protsessi veel ühe sõnaga nimetada? Mitte tuletis... Matemaatikud nimetavad diferentsiaali funktsiooni samaks juurdekasvuks at. See termin pärineb ladina sõnast differentia – erinevus. Siin.

Kõigi nende reeglite tuletamisel kasutame kahte funktsiooni, näiteks ja. Nende juurdekasvu jaoks vajame ka valemeid:

Kokku on 5 reeglit.

Konstant võetakse tuletismärgist välja.

Kui - mingi konstantne arv (konstant), siis.

Ilmselt töötab see reegel ka erinevuse jaoks: .

Tõestame seda. Las see olla või lihtsam.

Näited.

Leidke funktsioonide tuletised:

1. punktis;
2. punktis;
3. punktis;
4. punktis.

Lahendused:

1. (tuletis on kõigis punktides sama, kuna see on lineaarne funktsioon, mäletate?);

Toote tuletis

Siin on kõik sarnane: astume sisse uus funktsioon ja leidke selle juurdekasv:

Tuletis:

Näited:

1. Leia funktsioonide ja tuletised;
2. Leia funktsiooni tuletis punktis.

Lahendused:

Eksponentfunktsiooni tuletis

Nüüd piisab teie teadmistest, et õppida leidma mis tahes eksponentsiaalfunktsiooni tuletist, mitte ainult eksponente (kas olete juba unustanud, mis see on?).

Niisiis, kus on mõni number.

Me juba teame funktsiooni tuletist, seega proovime oma funktsiooni taandada uuele alusele:

Selleks kasutame lihtne reegel: . Seejärel:

Noh, see töötas. Proovige nüüd leida tuletis ja ärge unustage, et see funktsioon on keeruline.

Juhtus?

Siin kontrollige ennast:

Valem osutus väga sarnaseks eksponendi tuletisele: nii nagu see oli, jääb see samaks, ilmus ainult tegur, mis on vaid arv, kuid mitte muutuja.

Näited:
Leidke funktsioonide tuletised:

Vastused:

See on lihtsalt arv, mida ei saa ilma kalkulaatorita välja arvutada, st seda ei saa enam üles kirjutada lihtsal kujul. Seetõttu jätame selle vastusesse sellisel kujul.

Logaritmilise funktsiooni tuletis

Siin on see sarnane: te juba teate naturaallogaritmi tuletist:

Seetõttu, et leida suvaline logaritm erineva alusega, näiteks:

Peame selle logaritmi taandada baasini. Kuidas muuta logaritmi alust? Loodan, et mäletate seda valemit:

Alles nüüd kirjutame selle asemel:

Nimetaja on lihtsalt konstant (konstantne arv, ilma muutujata). Tuletis saadakse väga lihtsalt:

Eksponentsiaalsete ja logaritmiliste funktsioonide tuletisi ei leidu ühtsest riigieksamist peaaegu kunagi, kuid nende tundmine ei ole üleliigne.

Kompleksfunktsiooni tuletis.

Mis on juhtunud " keeruline funktsioon"? Ei, see ei ole logaritm ega arctangent. Nendest funktsioonidest võib olla raske aru saada (kuigi kui te peate logaritmi keeruliseks, lugege teemat "Logaritmid" ja kõik on korras), kuid matemaatilisest vaatenurgast ei tähenda sõna "keeruline" "keeruline".

Kujutage ette väikest konveieri: kaks inimest istuvad ja teevad mingeid toiminguid mõne esemega. Näiteks esimene mähib šokolaaditahvli ümbrisesse ja teine ​​seob selle paelaga. Tulemuseks on komposiitobjekt: paelaga mähitud ja seotud šokolaaditahvel. Šokolaaditahvli söömiseks peate tegema vastupidised toimingud vastupidises järjekorras.

Loome sarnase matemaatilise konveieri: kõigepealt leiame arvu koosinuse ja seejärel ruudustage saadud arv. Niisiis, meile antakse number (šokolaad), ma leian selle koosinuse (ümbris) ja siis ruudud, mis ma sain (seo see lindiga). Mis juhtus? Funktsioon. See on näide keerulisest funktsioonist: kui selle väärtuse leidmiseks sooritame esimese toimingu otse muutujaga ja seejärel teise toimingu esimese toiminguga.

Saame hõlpsasti teha samu samme vastupidises järjekorras: kõigepealt ruudud ja siis otsin saadud arvu koosinust: . Lihtne on arvata, et tulemus on peaaegu alati erinev. Oluline funktsioon keerulised funktsioonid: kui toimingute järjekord muutub, muutub funktsioon.

Teisisõnu, kompleksfunktsioon on funktsioon, mille argument on teine ​​funktsioon: .

Esimese näitena .

Teine näide: (sama asi). .

Tegevust, mida me viimati teeme, nimetatakse "väline" funktsioon, ja esmalt sooritatud toiming – vastavalt "sisemine" funktsioon(need on mitteametlikud nimed, kasutan neid ainult materjali lihtsas keeles selgitamiseks).

Proovige ise kindlaks teha, milline funktsioon on väline ja milline sisemine:

Vastused: Sise- ja välisfunktsioonide eraldamine on väga sarnane muutujate muutmisega: näiteks funktsioonis

1. Millise toimingu me kõigepealt teeme? Kõigepealt arvutame siinuse ja alles siis kuubime. See tähendab, et see on sisemine, kuid väline funktsioon.
   Ja algne funktsioon on nende koostis: .
2. Sisemine: ; väline: .
   Eksam: .
3. Sisemine: ; väline: .
   Eksam: .
4. Sisemine: ; väline: .
   Eksam: .
5. Sisemine: ; väline: .
   Eksam: .

Muudame muutujaid ja saame funktsiooni.

Noh, nüüd eraldame oma šokolaaditahvli ja otsime tuletise. Protseduur on alati vastupidine: kõigepealt otsime välisfunktsiooni tuletist, seejärel korrutame tulemuse sisemise funktsiooni tuletisega. Seoses algse näitega näeb see välja järgmine:

Veel üks näide:

Niisiis, sõnastame lõpuks ametliku reegli:

Algoritm kompleksfunktsiooni tuletise leidmiseks:

Tundub lihtne, eks?

Kontrollime näidetega:

Lahendused:

1) Sisemine: ;

Väline: ;

2) Sisemine: ;

(Ära proovi seda praegu lõigata! Koosinuse alt ei tule midagi välja, mäletad?)

3) Sisemine: ;

Väline: ;

Kohe on selge, et tegemist on kolmetasandilise kompleksfunktsiooniga: see on ju juba iseenesest keeruline funktsioon ja me võtame sealt välja ka juure ehk sooritame kolmanda toimingu (paneme šokolaadi ümbris ja lindiga kohvris). Kuid karta pole põhjust: selle funktsiooni “pakkime” ikka lahti samas järjekorras nagu tavaliselt: lõpust.

See tähendab, et kõigepealt eristame juurt, seejärel koosinust ja alles seejärel sulgudes olevat avaldist. Ja siis me korrutame selle kõik.

Sellistel juhtudel on mugav toiminguid nummerdada. See tähendab, kujutame ette, mida me teame. Millises järjekorras teeme selle avaldise väärtuse arvutamiseks toiminguid? Vaatame näidet:

Mida hiljem toiming sooritatakse, seda “välisem” on vastav funktsioon. Toimingute jada on sama, mis varem:

Siin on pesitsus üldiselt 4-tasandiline. Määrame tegevussuuna.

1. Radikaalne väljendus. .

2. Juur. .

3. Siinus. .

4. Ruut. .

5. Pane kõik kokku:

DERIVAAT. LÜHIDALT PEAMISEST

Funktsiooni tuletis- funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhe lõpmatu väikese argumendi juurdekasvu korral:

Põhilised tuletised:

Eristamise reeglid:

Konstant võetakse tuletismärgist välja:

Summa tuletis:

Toote tuletis:

Jagatise tuletis:

Kompleksfunktsiooni tuletis:

Algoritm kompleksfunktsiooni tuletise leidmiseks:

1. Defineerime "sisemise" funktsiooni ja leiame selle tuletise.
2. Defineerime "välise" funktsiooni ja leiame selle tuletise.
3. Korrutame esimese ja teise punkti tulemused.

Tere! Lööme eelseisvale ühtsele riigieksamile kvaliteetse süstemaatilise ettevalmistuse ja järjekindlusega teaduse graniidi lihvimisel!!! INPostituse lõpus on võistlusülesanne, ole esimene! Ühes selle jaotise artiklis sina ja mina, kus on antud funktsiooni graafik ja tõstatatud erinevaid küsimusi ekstreemuste, suurenemise (vähenemise) intervallide ja muude kohta.

Selles artiklis käsitleme matemaatika ühtses riigieksamis sisalduvaid probleeme, milles on antud funktsiooni tuletise graafik ja esitatakse järgmised küsimused:

1. Millises segmendi punktis omandab funktsioon suurima (või väikseima) väärtuse.

2. Leia antud lõiku kuuluvate funktsiooni maksimaalsete (või minimaalsete) punktide arv.

3. Leia antud lõiku kuuluvate funktsiooni ekstreemumipunktide arv.

4. Leia antud lõiku kuuluva funktsiooni äärmuspunkt.

5. Leidke suureneva (või kahaneva) funktsiooni intervallid ja märkige vastuses nendesse intervallidesse kuuluvate täisarvude punktide summa.

6. Leia funktsiooni suurenemise (või vähenemise) intervallid. Oma vastuses märkige nendest intervallidest suurima pikkus.

7. Leidke punktide arv, milles funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne või langeb kokku sirgega kujul y = kx + b.

8. Leidke selle punkti abstsiss, kus funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne abstsissteljega või langeb sellega kokku.

Küsimusi võib olla ka teisi, aga need ei tekita Sulle raskusi, kui mõistad ja (artiklitele on toodud lingid, mis pakuvad lahenduseks vajalikku infot, soovitan korrata).

Põhiteave (lühidalt):

1. Suurenevate intervallidega tuletis on positiivse märgiga.

Kui tuletis teatud punktis teatud intervallist on positiivse väärtusega, siis funktsiooni graafik sellel intervallil suureneb.

2. Vähenevate intervallidega on tuletis negatiivse märgiga.

Kui tuletis teatud punktis teatud intervallist on negatiivne tähendus, siis funktsiooni graafik sellel intervallil väheneb.

3. Punkti x tuletis võrdub funktsiooni graafikule samas punktis tõmmatud puutuja kaldega.

4. Funktsiooni ekstreemumi (maksimum-miinimum) punktides on tuletis võrdne nulliga. Funktsiooni graafiku puutuja selles punktis on paralleelne x-teljega.

Seda tuleb selgelt mõista ja meeles pidada!!!

Tuletisgraafik ajab paljud inimesed segadusse. Mõned inimesed peavad seda kogemata ekslikult funktsiooni enda graafikuks. Seetõttu keskenduge sellistes hoonetes, kus näete, et graafik on antud, tingimusel koheselt sellele, mis on antud: funktsiooni graafikule või funktsiooni tuletise graafikule?

Kui see on funktsiooni tuletise graafik, käsitlege seda funktsiooni enda "peegeldusena", mis lihtsalt annab teile selle funktsiooni kohta teavet.

Mõelge ülesandele:

Joonisel on kujutatud graafik y =f"(X)- funktsiooni tuletis f(X), mis on määratletud intervalliga (–2;21).

Vastame järgmistele küsimustele:

1. Millises lõigu punktis funktsioon asub f(X) võtab vastu kõrgeim väärtus.

Antud intervallil on funktsiooni tuletis negatiivne, mis tähendab, et sellel intervallil olev funktsioon väheneb (väheneb intervalli vasakust piirist paremale). Seega saavutatakse funktsiooni suurim väärtus lõigu vasakpoolsel piiril, st punktis 7.

Vastus: 7

2. Millises lõigu punktis funktsioon asub f(X)

Selle tuletisgraafiku põhjal saame öelda järgmist. Antud intervalli korral on funktsiooni tuletis positiivne, mis tähendab, et sellel intervallil olev funktsioon suureneb (see suureneb intervalli vasakust piirist paremale). Seega väikseim väärtus funktsioon saavutatakse lõigu vasakpoolsel piiril, st punktis x = 3.

Vastus: 3

3. Leia funktsiooni maksimumpunktide arv f(X)

Maksimaalsed punktid vastavad punktidele, kus tuletismärk muutub positiivsest negatiivseks. Mõelgem, kus märk sel viisil muutub.

Segmendil (3;6) on tuletis positiivne, segmendil (6;16) negatiivne.

Segmendil (16;18) on tuletis positiivne, segmendil (18;20) negatiivne.

Seega on antud lõigul funktsioonil kaks maksimaalset punkti x = 6 ja x = 18.

Vastus: 2

4. Leia funktsiooni miinimumpunktide arv f(X), mis kuulub segmenti.

Miinimumpunktid vastavad punktidele, kus tuletismärk muutub negatiivsest positiivseks. Meie tuletis on intervallil (0;3) negatiivne ja intervallil (3;4) positiivne.

Seega on lõigul funktsioonil ainult üks miinimumpunkt x = 3.

*Vastuse kirja panemisel olge ettevaatlik – märgitakse punktide arv, mitte x väärtus, selline viga võib tekkida tähelepanematusest;

Vastus: 1

5. Leia funktsiooni äärmuspunktide arv f(X), mis kuulub segmenti.

Pange tähele, mida peate leidma kogusäärmuspunktid (need on nii maksimum- kui ka miinimumpunktid).

Ekstreemumipunktid vastavad punktidele, kus tuletise märk muutub (positiivsest negatiivseks või vastupidi). Tingimuses antud graafikul on need funktsiooni nullpunktid. Tuletis kaob punktides 3, 6, 16, 18.

Seega on funktsioonil lõigul 4 ekstreemumipunkti.

Vastus: 4

6. Leia suureneva funktsiooni intervallid f(X)

Selle funktsiooni suurendamise intervallid f(X) vastavad intervallidele, millel selle tuletis on positiivne, st intervallidele (3;6) ja (16;18). Pange tähele, et intervalli piire see ei sisalda (ümmargused sulud - piirid ei sisaldu intervallis, nurksulud - kaasas). Need intervallid sisaldavad täisarvu punkte 4, 5, 17. Nende summa on: 4 + 5 + 17 = 26

Vastus: 26

7. Leia kahaneva funktsiooni intervallid f(X) etteantud intervalliga. Oma vastuses märkige nendes intervallides sisalduvate täisarvude punktide summa.

Funktsiooni vähenemise intervallid f(X) vastavad intervallidele, millel funktsiooni tuletis on negatiivne. Selles ülesandes on need intervallid (–2;3), (6;16), (18:21).

Need intervallid sisaldavad järgmisi täisarvu punkte: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Nende summa on:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Vastus: 140

*Pöörake tähelepanu tingimusele: kas piirid sisalduvad intervallis või mitte. Kui kaasata piirid, siis tuleb lahendusprotsessis arvestatavate intervallidega ka neid piire arvesse võtta.

8. Leia suureneva funktsiooni intervallid f(X)

Funktsiooni suurenemise intervallid f(X) vastavad intervallidele, millel funktsiooni tuletis on positiivne. Oleme need juba märkinud: (3;6) ja (16:18). Suurim neist on intervall (3;6), selle pikkus on 3.

Vastus: 3

9. Leia kahaneva funktsiooni intervallid f(X). Oma vastuses märkige neist suurima pikkus.

Funktsiooni vähenemise intervallid f(X) vastavad intervallidele, millel funktsiooni tuletis on negatiivne. Oleme need juba ära märkinud, need on intervallid (–2;3), (6;16), (18;21), nende pikkused on vastavalt 5, 10, 3.

Suurima pikkus on 10.

Vastus: 10

10. Leia punktide arv, kus funktsiooni graafiku puutuja f(X) paralleelne või langeb kokku sirgega y = 2x + 3.

Tuletise väärtus puutepunktis on võrdne puutuja kaldega. Kuna puutuja on paralleelne sirgega y = 2x + 3 või langeb sellega kokku, on nende nurkkoefitsiendid võrdsed 2. See tähendab, et on vaja leida punktide arv, kus y′(x 0) = 2. Geomeetriliselt vastab see tuletisgraafiku lõikepunktide arvule sirgega y = 2. Sel intervallil on 4 sellist punkti.

Vastus: 4

11. Leia funktsiooni äärmuspunkt f(X), mis kuulub segmenti.

Funktsiooni äärmuspunkt on punkt, kus selle tuletis on võrdne nulliga ja selle punkti läheduses muutub tuletis märki (positiivsest negatiivseks või vastupidi). Segmendil lõikub tuletisgraafik x-teljega, tuletis muudab märgi negatiivsest positiivseks. Seetõttu on punkt x = 3 äärmuspunkt.

Vastus: 3

12. Leidke nende punktide abstsissid, milles graafiku puutujad y = f (x) on paralleelsed abstsissteljega või langevad sellega kokku. Oma vastuses märkige neist suurim.

Graafiku puutuja y = f (x) võib olla paralleelne abstsissteljega või sellega kokku langeda ainult punktides, kus tuletis on võrdne nulliga (need võivad olla äärmuspunktid või statsionaarsed punktid, mille läheduses tuletis on ei muuda oma märki). See graafik näitab, et tuletis on punktides 3, 6, 16,18 null. Suurim on 18.

Saate oma mõttekäigu üles ehitada järgmiselt:

Tuletise väärtus puutepunktis on võrdne puutuja kaldega. Kuna puutuja on paralleelne x-teljega või langeb sellega kokku, on selle kalle 0 (tõepoolest, nullkraadise nurga puutuja on null). Seetõttu otsime punkti, kus kalle on võrdne nulliga ja seetõttu on tuletis võrdne nulliga. Tuletis on võrdne nulliga punktis, kus selle graafik lõikub x-teljega, ja need on punktid 3, 6, 16, 18.

Vastus: 18

Joonisel on kujutatud graafik y =f"(X)- funktsiooni tuletis f(X), mis on määratletud intervalliga (–8;4). Millises lõigu [–7;–3] punktis funktsioon asub f(X) võtab väikseima väärtuse.

Joonisel on kujutatud graafik y =f"(X)- funktsiooni tuletis f(X), määratletud intervallil (–7;14). Leia funktsiooni maksimaalsete punktide arv f(X), mis kuulub segmenti [–6;9].

Joonisel on kujutatud graafik y =f"(X)- funktsiooni tuletis f(X), määratletud intervallil (–18;6). Leia funktsiooni miinimumpunktide arv f(X), mis kuulub segmenti [–13;1].

Joonisel on kujutatud graafik y =f"(X)- funktsiooni tuletis f(X), määratletud intervallil (–11; –11). Leia funktsiooni äärmuspunktide arv f(X), mis kuulub segmenti [–10; -10].

Joonisel on kujutatud graafik y =f"(X)- funktsiooni tuletis f(X), määratletud intervalliga (–7;4). Leia funktsiooni suurenemise intervallid f(X). Oma vastuses märkige nendes intervallides sisalduvate täisarvude punktide summa.

Joonisel on kujutatud graafik y =f"(X)- funktsiooni tuletis f(X), mis on määratletud intervalliga (–5;7). Leia kahaneva funktsiooni intervallid f(X). Oma vastuses märkige nendes intervallides sisalduvate täisarvude punktide summa.

Joonisel on kujutatud graafik y =f"(X)- funktsiooni tuletis f(X), määratletud intervallil (–11;3). Leia funktsiooni suurenemise intervallid f(X). Oma vastuses märkige neist suurima pikkus.

F Joonisel on kujutatud graafik

Probleemi tingimused on samad (mida me kaalusime). Leidke kolme arvu summa:

1. Funktsiooni f (x) ekstreemumite ruutude summa.

2. Funktsiooni f (x) maksimumpunktide summa ja miinimumpunktide summa ruutude vahe.

3. Sirgjoonega y = –3x + 5 paralleelsete puutujate arv f (x).

Esimesena õige vastuse andja saab ergutusauhinna 150 rubla. Kirjutage oma vastused kommentaaridesse. Kui see on teie esimene kommentaar blogis, siis see ei ilmu kohe, vaid veidi hiljem (ärge muretsege, kommentaari kirjutamise aeg salvestatakse).

Edu sulle!

Lugupidamisega Aleksander Krutitsikh.

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.

Funktsiooni uurimine selle tuletise abil. Selles artiklis analüüsime mõnda funktsiooni graafiku uurimisega seotud ülesannet. Selliste ülesannete puhul esitatakse funktsiooni y = f (x) graafik ja püstitatakse küsimused, mis on seotud punktide arvu määramisega, kus funktsiooni tuletis on positiivne (või negatiivne), ja ka teisi. Need on klassifitseeritud ülesanneteks funktsioonide uurimisel tuletiste rakendamisel.

Selliste probleemide ja üldiselt uurimistööga seotud probleemide lahendamine on võimalik ainult funktsioonide ja tuletise graafikute uurimise tuletise omaduste täieliku mõistmisega. Seetõttu soovitan tungivalt vastavat teooriat uurida. Saate uurida ja ka vaadata (aga see sisaldab lühikest kokkuvõtet).

Kaalume tulevastes artiklites ka probleeme, kus tuletisgraafik on toodud, ärge jätke seda mööda! Niisiis, ülesanded:

Joonisel on kujutatud intervallil (−6; 8) defineeritud funktsiooni y = f (x) graafik. Määratlege:

1. Täisarvuliste punktide arv, mille korral funktsiooni tuletis on negatiivne;

2. Punktide arv, milles funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne sirgega y = 2;

1. Funktsiooni tuletis on negatiivne intervallidel, millel funktsioon väheneb, st intervallidel (−6; –3), (0; 4,2), (6,9; 8). Need sisaldavad täisarvu punkte −5, −4, 1, 2, 3, 4 ja 7. Saame 7 punkti.

2. Otsene y= 2 paralleelne teljegaOhy= 2 ainult äärmuspunktides (punktides, kus graafik muudab oma käitumist kasvavast kahanevasse või vastupidi). Selliseid punkte on neli: –3; 0; 4,2; 6.9

Otsustage ise:

Määrake täisarvu punktide arv, mille korral funktsiooni tuletis on positiivne.

Joonisel on kujutatud intervallil (−5; 5) defineeritud funktsiooni y = f (x) graafik. Määratlege:

2. Täisarvuliste punktide arv, mille juures funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne sirgega y = 3;

3. Punktide arv, kus tuletis on null;

1. Funktsiooni tuletise omadustest on teada, et see on positiivne intervallidel, millel funktsioon suureneb, st intervallidel (1,4; 2,5) ja (4,4; 5). Need sisaldavad ainult ühte täisarvu punkti x = 2.

2. Otsene y= 3 paralleelne teljegaOh. Puutuja on joonega paralleelney= 3 ainult äärmuslikes punktides (punktides, kus graafik muudab oma käitumist kasvavast kahanevasse või vastupidi).

Selliseid punkte on neli: –4,3; 1,4; 2,5; 4.4

3. Tuletis on neljas punktis (äärmuspunktides) võrdne nulliga, oleme need juba ära märkinud.

Otsustage ise:

Määrake täisarvuliste punktide arv, mille korral funktsiooni f(x) tuletis on negatiivne.

Joonisel on kujutatud intervallil (−2; 12) defineeritud funktsiooni y = f (x) graafik. Leia:

1. Täisarvu punktide arv, mille juures funktsiooni tuletis on positiivne;

2. Täisarvuliste punktide arv, mille korral funktsiooni tuletis on negatiivne;

3. Täisarvuliste punktide arv, mille juures funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne sirgega y = 2;

4. Punktide arv, kus tuletis on null.

1. Funktsiooni tuletise omadustest on teada, et see on positiivne intervallidel, millel funktsioon suureneb, st intervallidel (–2; 1), (2; 4), (7; 9) ja ( 10; 11). Need sisaldavad täisarvu punkte: –1, 0, 3, 8. Kokku on neid neli.

2. Funktsiooni tuletis on negatiivne intervallidel, millel funktsioon väheneb, see tähendab intervallidel (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12). Need sisaldavad täisarvu punkte 5 ja 6. Saame 2 punkti.

3. Otsene y= 2 paralleelne teljegaOh. Puutuja on joonega paralleelney= 2 ainult äärmuspunktides (punktides, kus graafik muudab oma käitumist kasvavast kahanevasse või vastupidi). Selliseid punkte on seitse: 1; 2; 4; 7; 9; 10; üksteist.

4. Tuletis on seitsmes punktis (äärmuspunktides) võrdne nulliga, oleme need juba ära märkinud.

Funktsiooni tuletis on üks keerulisemaid teemasid kooli õppekava. Mitte iga lõpetaja ei vasta küsimusele, mis on tuletis.

See artikkel selgitab lihtsalt ja selgelt, mis on tuletis ja miks seda vaja on.. Me ei püüdle nüüd esitluses matemaatilise ranguse poole. Kõige tähtsam on mõista tähendust.

Meenutagem määratlust:

Tuletis on funktsiooni muutumise kiirus.

Joonisel on kujutatud kolme funktsiooni graafikud. Kumb kasvab teie arvates kiiremini?

Vastus on ilmne – kolmas. Sellel on suurim muutusmäär, st suurim tuletis.

Siin on veel üks näide.

Kostja, Griša ja Matvey said samal ajal tööd. Vaatame, kuidas nende sissetulek aasta jooksul muutus:

Graafik näitab kõike korraga, kas pole? Kostja sissetulek kasvas kuue kuuga enam kui kahekordseks. Ja ka Grisha sissetulek kasvas, kuid veidi. Ja Matvey sissetulek vähenes nullini. Algtingimused on samad, kuid funktsiooni muutumise kiirus, st tuletis, - erinev. Mis puutub Matveysse, siis tema tulude tuletisinstrument on üldiselt negatiivne.

Intuitiivselt hindame lihtsalt funktsiooni muutumise kiirust. Aga kuidas me seda teeme?

See, mida me tegelikult vaatame, on see, kui järsult funktsiooni graafik üles (või alla) läheb. Teisisõnu, kui kiiresti y muutub, kui x muutub? Ilmselgelt võib erinevates punktides olla sama funktsioon erinev tähendus tuletis - see tähendab, et see võib muutuda kiiremini või aeglasemalt.

Funktsiooni tuletist tähistatakse .

Näitame teile, kuidas seda graafiku abil leida.

Mõne funktsiooni graafik on koostatud. Võtame punkti, millel on abstsiss. Joonistame selles punktis funktsiooni graafiku puutuja. Tahame hinnata, kui järsult funktsioonigraafik üles tõuseb. Selle jaoks on mugav väärtus puutuja nurga puutuja.

Funktsiooni tuletis punktis on võrdne selles punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutujanurga puutujaga.

Pange tähele, et puutuja kaldenurgaks võtame puutuja ja telje positiivse suuna vahelise nurga.

Mõnikord küsivad õpilased, mis on funktsiooni graafiku puutuja. See on sirgjoon, millel on selles jaotises oleva graafikuga üks ühine punkt ja nagu on näidatud meie joonisel. See näeb välja nagu ringi puutuja.

Otsime selle üles. Mäletame, et teravnurga puutuja in täisnurkne kolmnurk võrdne vastaskülje ja külgneva külje suhtega. Kolmnurgast:

Leidsime tuletise graafiku abil, teadmata isegi funktsiooni valemit. Selliseid probleeme leidub sageli matemaatika ühtsel riigieksamil numbri all.

On veel üks oluline suhe. Tuletame meelde, et sirge annab võrrand

Selles võrrandis olevat suurust nimetatakse sirgjoone kalle. See on võrdne sirge telje kaldenurga puutujaga.

.

Me saame sellest aru

Meenutagem seda valemit. See väljendab tuletise geomeetrilist tähendust.

Funktsiooni tuletis punktis on võrdne selles punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja kaldega.

Teisisõnu on tuletis võrdne puutujanurga puutujaga.

Oleme juba öelnud, et samal funktsioonil võivad erinevates punktides olla erinevad tuletised. Vaatame, kuidas tuletis on seotud funktsiooni käitumisega.

Joonistame mõne funktsiooni graafiku. Las see funktsioon mõnes piirkonnas suureneb, teistes väheneb ja koos erinevatel kiirustel. Ja olgu sellel funktsioonil maksimum- ja miinimumpunktid.

Ühel hetkel funktsioon suureneb. Punkti joonestatud graafiku puutuja moodustab teravnurga; positiivse telje suunaga. See tähendab, et punkti tuletis on positiivne.

Sel hetkel meie funktsioon väheneb. Selle punkti puutuja moodustab nürinurga; positiivse telje suunaga. Kuna nürinurga puutuja on negatiivne, on tuletis punktis negatiivne.

See juhtub järgmiselt.

Kui funktsioon kasvab, on selle tuletis positiivne.

Kui see väheneb, on selle tuletis negatiivne.

Mis saab maksimum- ja miinimumpunktides? Näeme, et punktides (maksimaalne punkt) ja (minimaalne punkt) on puutuja horisontaalne. Seetõttu on puutuja puutuja nendes punktides null ja tuletis on samuti null.

Punkt – maksimumpunkt. Sel hetkel asendatakse funktsiooni suurenemine vähenemisega. Järelikult muutub tuletise märk punktis "plussist" "miinusseks".

Punktis - miinimumpunktis - on tuletis samuti null, kuid selle märk muutub "miinusest" "plussiks".

Järeldus: tuletist kasutades saame funktsiooni käitumise kohta teada kõike, mis meid huvitab.

Kui tuletis on positiivne, siis funktsioon suureneb.

Kui tuletis on negatiivne, siis funktsioon väheneb.

Maksimumpunktis on tuletis null ja muudab märgi plussmärgist miinusmärgiks.

Miinimumpunktis on tuletis samuti võrdne nulliga ja muudab märgi “miinus” asemel “pluss”.

Kirjutame need järeldused tabeli kujul:

	suureneb	maksimaalne punkt	väheneb	miinimumpunkt	suureneb
+	0	-	0	+

Teeme kaks väikest täpsustust. Probleemi lahendamisel vajate ühte neist. Teine - esimesel aastal, funktsioonide ja tuletisi tõsisema uurimisega.

Võimalik, et funktsiooni tuletis on mingil hetkel võrdne nulliga, kuid funktsioonil pole selles punktis ei maksimumi ega miinimumi. See on nn :

Punktis on graafiku puutuja horisontaalne ja tuletis null. Kuid enne punkti funktsioon suurenes - ja pärast punkti jätkab suurenemist. Tuletise märk ei muutu – see jääb positiivseks, nagu oli.

Samuti juhtub, et maksimumi või miinimumi punktis tuletist ei eksisteeri. Graafikul vastab see järsule katkestusele, kui antud punktis pole puutujat võimalik joonistada.

Kuidas leida tuletist, kui funktsioon on antud mitte graafiku, vaid valemiga? Sel juhul kehtib

Esimene tuletis Kui funktsiooni tuletis on teatud intervallis positiivne (negatiivne), siis funktsioon selles intervallis monotoonselt suureneb (monotooniliselt väheneb). Kui funktsiooni tuletis on teatud intervallis positiivne (negatiivne), siis funktsioon selles intervallis monotoonselt suureneb (monotooniliselt väheneb). Edasi

Definitsioon Kõverat nimetatakse punktis kumeraks, kui selle punkti mõnes naabruses see asub punktis oma puutuja all. Kõverat nimetatakse punktis kumeraks, kui selle punkti mõnes naabruses see asub punktis puutuja all. Kõverat nimetatakse punktis nõgusaks, kui selle punkti mõnes naabruses asub see punktis oma puutuja kohal. Kõverat nimetatakse punktis nõgusaks, kui selle punkti mõnes naabruses asub see punktis oma puutuja kohal.

Nõgususe ja kumeruse märk Kui funktsiooni teine ​​tuletis antud intervallis on positiivne, siis on kõver selles intervallis nõgus ja kui negatiivne, siis selles intervallis kumer. Kui funktsiooni teine ​​tuletis antud intervallis on positiivne, siis on kõver selles intervallis nõgus ja kui negatiivne, siis selles intervallis kumer. Definitsioon

Funktsiooni uurimise ja selle graafiku koostamise plaan 1. Leidke funktsiooni definitsioonipiirkond ja määrake katkestuspunktid, kui neid on välja, kas funktsioon on paaris või paaritu; kontrolli selle perioodilisust 2. Uuri välja, kas funktsioon on paaris või paaritu; kontrollige selle perioodilisust 3. Määrake funktsiooni graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega 3. Määrake funktsiooni graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega 4. Leidke 1. tüüpi kriitilised punktid 4. Leidke kriitilised punktid 1. tüüpi punktid 5. Määra funktsiooni monotoonsuse ja ekstreemsuse intervallid 5. Määra funktsiooni monotoonsuse ja ekstreemumi intervallid 6. Määra kumeruse ja nõgususe intervallid ning leia käändepunktid 6. Määra kumeruse ja nõgususe intervallid ja leida käändepunktid 7. Uurimistulemuste abil ühenda saadud punktid sujuva kõveraga 7. Uurimistulemuste abil ühenda saadud punktid sujuva kõveraga Väljund