Vasakpoolse ebavõrdsuse tingimusi muudetakse. Arvulised võrratused ja nende omadused
Tavapärane on nimetada ebavõrdsuste süsteemi mitme ebavõrdsuse kirjeks lokkis sulu märgi all (sel juhul võib süsteemis sisalduvate võrratuste arv ja tüüp olla meelevaldsed).
Süsteemi lahendamiseks on vaja leida kõigi selles sisalduvate võrratuste lahendite ristumiskoht. Matemaatika ebavõrdsuse lahendus on muutuja mis tahes väärtus, mille puhul antud ebavõrdsus on tõene. Teisisõnu on vaja leida kõigi selle lahenduste komplekt - seda nimetatakse vastuseks. Näitena proovime õppida, kuidas lahendada ebavõrdsuste süsteemi intervallmeetodi abil.
Ebavõrdsuse omadused
Probleemi lahendamiseks on oluline teada ebavõrdsusele omaseid põhiomadusi, mida saab sõnastada järgmiselt:
- Ebavõrdsuse mõlemale osale saab lisada ühe ja sama funktsiooni, mis on defineeritud selle võrratuse lubatavate väärtuste (ODV) piirkonnas;
- Kui f(x) > g(x) ja h(x) on suvaline võrratuse DDE-s defineeritud funktsioon, siis f(x) + h(x) > g(x) + h(x);
- Kui mõlemad võrratuse osad korrutada selle võrratuse ODZ-s defineeritud positiivse funktsiooniga (või positiivse arvuga), siis saame algse võrrandiga võrdväärse võrratuse;
- Kui mõlemad võrratuse osad korrutada antud võrratuse ODZ-s defineeritud negatiivse funktsiooniga (või negatiivse arvuga) ja ebavõrdsuse märk pöörata ümber, siis on saadud võrratus võrdne antud võrratusega;
- Samatähenduslikku ebavõrdsust saab termini haaval liita ja vastupidise tähendusega ebavõrdsust termini kaupa lahutada;
- Positiivsete osadega samatähenduslikku ebavõrdsust saab termini haaval korrutada ja mittenegatiivsete funktsioonide poolt moodustatud ebavõrdsust saab tõsta termini haaval positiivsesse astmesse.
Ebavõrdsuse süsteemi lahendamiseks peate lahendama iga ebavõrdsuse eraldi ja seejärel neid võrdlema. Selle tulemusena saadakse positiivne või eitav vastus, mis tähendab, kas süsteemil on lahendus või mitte.
Vahekauguse meetod
Ebavõrdsuse süsteemi lahendamisel kasutavad matemaatikud sageli intervallmeetodit, mis on üks tõhusamaid. See võimaldab meil vähendada võrratuse f(x) lahendit > 0 (<, <, >) võrrandi f(x) = 0 lahendile.
Meetodi olemus on järgmine:
- Leidke ebavõrdsuse vastuvõetavate väärtuste vahemik;
- Vähendage ebavõrdsus kujule f(x) > 0(<, <, >), see tähendab, et liigutage paremat poolt vasakule ja lihtsustage;
- Lahendage võrrand f(x) = 0;
- Joonistage numbrireale funktsiooni diagramm. Kõik ODZ-le märgitud ja seda piiravad punktid jagavad selle hulga nn konstantse märgi intervallideks. Igal sellisel intervallil määratakse funktsiooni f(x) märk;
- Kirjuta vastus eraldi hulkade ühendusena, millel f(x) on vastav märk. Piiriks olevad ODZ-punktid lisatakse vastusesse (või ei arvestata) pärast täiendavat kontrollimist.
Märkimisväärset rolli mängib ebavõrdsus matemaatikas. Koolis tegeleme peamiselt arvulised ebavõrdsused, mille määratlusega alustame seda artiklit. Ja siis loetleme ja põhjendame arvuliste võrratuste omadused, millel põhinevad kõik ebavõrdsustega töötamise põhimõtted.
Märgime kohe, et paljud arvulise ebavõrdsuse omadused on sarnased. Seetõttu esitame materjali sama skeemi järgi: sõnastame omaduse, anname selle põhjenduse ja näited ning jätkame siis järgmise omadusega.
Leheküljel navigeerimine.
Numbrilised ebavõrdsused: definitsioon, näited
Kui tutvustasime ebavõrdsuse mõistet, märkasime, et ebavõrdsust defineeritakse sageli selle järgi, kuidas need on kirjutatud. Seega nimetasime ebavõrdsust tähenduslikeks algebraavaldisteks, mis sisaldavad märke, mis ei võrdu ≠, väiksemad kui<, больше >, väiksem või võrdne ≤ või suurem või võrdne ≥. Ülaltoodud definitsiooni põhjal on mugav defineerida arvuline ebavõrdsus:
Kohtumine numbriliste võrratustega toimub matemaatikatundides esimeses klassis kohe pärast esimeste naturaalarvudega 1-9 tutvumist ja võrdlustehtega tutvumist. Tõsi, seal nimetatakse neid lihtsalt ebavõrdsusteks, jättes "numbrilise" määratluse välja. Selguse huvides ei tee paha tuua paar näidet kõige lihtsamatest arvulistest ebavõrdsustest nende uurimise etapist: 1<2 , 5+2>3 .
Ja naturaalarvudest kaugemal laienevad teadmised ka teist tüüpi arvudele (täisarvud, ratsionaalarvud, reaalarvud), uuritakse nende võrdlemise reegleid ja see laiendab oluliselt arvuliste võrratuste liigilist mitmekesisust: −5> −72, 3> − 0,275 (7-5, 6) , .
Numbriliste võrratuste omadused
Praktikas võimaldab ebavõrdsustega töötamine mitmeid arvuliste võrratuste omadused. Need tulenevad meie juurutatud ebavõrdsuse kontseptsioonist. Seoses arvudega annab selle mõiste järgmine väide, mida võib pidada arvuhulga seoste "väiksem kui" ja "suurem kui" määratluseks (seda nimetatakse sageli ebavõrdsuse erinevuse määratluseks):
Definitsioon.
- number a on suurem kui b siis ja ainult siis, kui erinevus a−b on positiivne arv;
- arv a on arvust b väiksem siis ja ainult siis, kui erinevus a−b on negatiivne arv;
- arv a on võrdne arvuga b siis ja ainult siis, kui erinevus a−b on võrdne nulliga.
Selle määratluse saab ümber sõnastada määratluseks, mis on väiksem või võrdne ja suurem või võrdne. Siin on selle sõnastus:
Definitsioon.
- number a on suurem või võrdne b-ga siis ja ainult siis, kui a-b on mittenegatiivne arv;
- arv a on väiksem või võrdne arvuga b siis ja ainult siis, kui a − b on mittepositiivne arv.
Kasutame neid definitsioone arvuliste võrratuste omaduste tõestamisel, mida nüüd üle vaatame.
Põhiomadused
Alustame oma ülevaadet ebavõrdsuse kolme põhiomadusega. Miks need on hädavajalikud? Sest need peegeldavad ebavõrdsuse omadusi kõige üldisemas tähenduses ja mitte ainult seoses arvulise ebavõrdsusega.
Märkide abil kirjutatud arvulised võrratused< и >, iseloomulikult:
Mis puutub mitterangete võrratuste märkide ≤ ja ≥ abil kirjutatud arvulistesse võrratustesse, siis neil on refleksiivsuse (mitte antirefleksiivsuse) omadus, kuna võrratused a≤a ja a≥a hõlmavad ka võrdsuse a=a juhtu. Neid iseloomustab ka antisümmeetria ja transitiivsus.
Seega on märkidega ≤ ja ≥ kirjutatud arvulistel võrratustel järgmised omadused:
- refleksiivsus a≥a ja a≤a on tõelised ebavõrdsused;
- antisümmeetria, kui a≤b , siis b≥a , ja kui a≥b , siis b≤a .
- transitiivsus, kui a≤b ja b≤c , siis a≤c , ning samuti, kui a≥b ja b≥c , siis a≥c .
Nende tõestus on väga sarnane juba esitatutega, mistõttu me neil pikemalt ei peatu, vaid liigume edasi muude oluliste arvulise ebavõrdsuse omaduste juurde.
Muud arvuliste võrratuste olulised omadused
Täiendagem arvuliste võrratuste põhiomadusi suure praktilise tähtsusega tulemustega. Avaldiste väärtuste hindamise meetodid põhinevad neil, nende põhimõtetel ebavõrdsuse lahendus ja nii edasi. Seetõttu on soovitatav nendega hästi toime tulla.
Selles jaotises sõnastame ebavõrdsuse omadused ainult ühe range ebavõrdsuse märgi jaoks, kuid tuleb meeles pidada, et sarnased omadused kehtivad ka vastupidise märgi, aga ka mitterangete ebavõrdsuse märkide jaoks. Selgitame seda näitega. Allpool sõnastame ja tõestame järgmise võrratuste omaduse: kui a
Mugavuse huvides esitame arvuliste võrratuste omadused loendina, andes samal ajal vastava väite, kirjutades selle formaalselt tähti kasutades, esitades tõestuse ja seejärel näidates kasutusnäiteid. Ja artikli lõpus võtame tabelis kokku kõik arvulise ebavõrdsuse omadused. Mine!
Tagajärg. Vormi a identsete tõeväärtuste korrutis terminite kaupa
Tõelise arvulise ebavõrdsuse mõlemale poolele mis tahes arvu liitmine (või lahutamine) annab tõelise arvulise ebavõrdsuse. Teisisõnu, kui arvud a ja b on sellised, et a
Selle tõestamiseks koostame erinevuse viimase arvulise võrratuse vasaku ja parema osa vahel ning näitame, et see on negatiivne tingimusel a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Kuna tingimusel a
Me ei peatu selle arvuliste võrratuste omaduse tõestamisel arvu c lahutamisel, kuna reaalarvude hulgal saab lahutamise asendada liitmisega −c .
Näiteks kui õige arvulise võrratuse 7>3 mõlemale osale lisada arv 15, siis saadakse õige arvuline võrratus 7+15>3+15, mis on sama, 22>18.
Kui õige arvulise võrratuse mõlemad osad korrutada (või jagada) sama positiivse arvuga c, saadakse õige arvuline võrratus. Kui mõlemad võrratuse osad korrutada (või jagada) negatiivse arvuga c ja võrratuse märk pöörata ümber, siis saadakse õige võrratus. Literaalses vormis: kui arvud a ja b rahuldavad ebavõrdsust a eKr.
Tõestus. Alustame juhtumist, kui c>0 . Koostage tõestatava arvulise võrratuse vasaku ja parema osa vahe: a·c−b·c=(a−b)·c . Kuna tingimusel a 0 , siis on korrutis (a-b) c negatiivne arv negatiivse arvu a-b ja positiivse arvu c korrutisena (mis tuleneb ). Seetõttu a c−b c<0
, откуда a·c Me ei peatu vaadeldava omaduse tõestusel tõelise arvulise võrratuse mõlema osa jagamisel sama arvuga c, kuna jagamise saab alati asendada korrutamisega arvuga 1/c. Toome näite analüüsitud omaduse rakendamisest konkreetsetele numbritele. Näiteks saate õige arvulise ebavõrdsuse 4 mõlemad osad<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. Äsja uuritud omadusest, mis korrutab arvulise võrdsuse mõlemad pooled arvuga, järgneb kaks praktiliselt väärtuslikku tulemust. Seega sõnastame need järelmõjudena. Kõiki ülaltoodud selles lõigus käsitletud omadusi ühendab asjaolu, et algul antakse õige arvuline võrratus ja sellest saadakse läbi mõningate manipulatsioonide võrratuse osade ja märgiga veel üks õige arvuline võrratus. Nüüd anname omaduste ploki, milles on algselt antud mitte üks, vaid mitu õiget arvulist võrratust ning nende ühiskasutusest saadakse peale nende osade liitmist või korrutamist uus tulemus. Kui arvude a , b , c ja d korral on võrratused a
Tõestame, et (a+c)−(b+d) on negatiivne arv, see tõestab, et a+c Induktsiooni abil laieneb see omadus kolme, nelja ja üldiselt mis tahes lõpliku arvu arvuliste võrratuste liigendamisele. Seega, kui arvude a 1 , a 2 , …, a n ja b 1 , b 2 , …, b n ebavõrdsused a 1 a 1 +a 2 +…+a n . Näiteks antakse meile kolm õiget sama märgiga –5 numbrilist võrratust<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. Saate korrutada liikme terminiga sama märgiga arvulisi võrratusi, mille mõlemad osad on esitatud positiivsete arvudega. Eelkõige kahe ebavõrdsuse puhul a
Selle tõestamiseks saame korrutada ebavõrdsuse a mõlemad pooled
See omadus kehtib ka mis tahes lõpliku arvu kehtivate arvuliste võrratuste korrutamisel positiivsete osadega. See tähendab, et kui a 1 , a 2 , …, a n ja b 1 , b 2 , …, b n on positiivsed arvud ja a 1 a 1 a 2 ... a n . Eraldi väärib märkimist, et kui arvuliste võrratuste tähistus sisaldab mittepositiivseid arve, siis nende terminite kaupa korrutamine võib põhjustada valesid arvulisi võrratusi. Näiteks arvulised võrratused 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство.
Artikli lõpetuseks, nagu lubatud, kogume kõik uuritud omadused sisse arvuliste võrratuste omaduste tabel:
Bibliograafia.
- Moro M.I.. Matemaatika. Proc. 1 cl eest. vara kool Kell 14. Osa 1. (Esimene poolaasta) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova - 6. väljaanne. - M.: Valgustus, 2006. - 112 lk: ill. + App. (2 eraldi l. ill.). - ISBN 5-09-014951-8.
- Matemaatika: õpingud. 5 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 lk.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
- Algebra:õpik 8 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M. : Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovitš A.G. Algebra. 8. klass. Kell 14 1. osa. Õpik õppeasutuste õpilastele / A. G. Mordkovich. - 11. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Ebavõrdsus on märge, milles numbrid, muutujad või avaldised on ühendatud märgiga<, >või . See tähendab, et ebavõrdsust võib nimetada arvude, muutujate või avaldiste võrdluseks. Märgid < , > , ⩽ Ja ⩾ helistas ebavõrdsuse märgid.
Ebavõrdsuse tüübid ja nende lugemine:
Nagu näidetest näha, koosnevad kõik ebavõrdsused kahest osast: vasakult ja paremalt, mis on ühendatud ühe ebavõrdsuse märgiga. Sõltuvalt ebavõrdsuse osi ühendavast märgist jagatakse need rangeteks ja mitterangeteks.
Range ebavõrdsus- ebavõrdsused, mille osad on märgiga ühendatud< или >. Mitterange ebavõrdsus- ebavõrdsused, mille osi ühendab märk või .
Mõelge algebra võrdlemise põhireeglitele:
- Iga positiivne arv, mis on suurem kui null.
- Iga negatiivne arv on väiksem kui null.
- Kahest negatiivsest arvust on väiksema absoluutväärtusega number suurem. Näiteks -1 > -7.
- a Ja b positiivne:
a - b > 0,
See a rohkem b (a > b).
- Kui kahe ebavõrdse arvu erinevus a Ja b negatiivne:
a - b < 0,
See a vähem b (a < b).
- Kui arv on suurem kui null, on see positiivne:
a> 0 tähendab a on positiivne arv.
- Kui arv on väiksem kui null, on see negatiivne:
a < 0, значит a- negatiivne arv.
Ekvivalentne ebavõrdsus- ebavõrdsused, mis on teise ebavõrdsuse tagajärg. Näiteks kui a vähem b, See b rohkem a:
a < b Ja b > a- samaväärsed ebavõrdsused
Ebavõrdsuse omadused
- Kui võrratuse mõlemale osale liidetakse sama arv või lahutatakse mõlemast osast sama arv, siis saadakse ekvivalentne võrratus, st.
Kui a > b, See a + c > b + c Ja a - c > b - c
Sellest järeldub, et võrratuse tingimusi on võimalik ühest osast teise üle kanda vastupidise märgiga. Näiteks ebavõrdsuse mõlemale poolele lisamine a - b > c - d Kõrval d, saame:
a - b > c - d
a - b + d > c - d + d
a - b + d > c
- Kui mõlemad võrratuse osad korrutada või jagada sama positiivse arvuga, saadakse ekvivalentne võrratus, st
- Kui mõlemad võrratuse osad korrutada või jagada sama negatiivse arvuga, siis saadakse antud ebavõrdsus, mis on vastupidine, see tähendab, et mõlema ebavõrdsuse osa negatiivse arvuga korrutamisel või jagamisel saadakse ebavõrdsuse märk tuleb muuta vastupidiseks.
Seda omadust saab kasutada kõigi ebavõrdsuse märkide märkide muutmiseks, korrutades mõlemad pooled -1-ga ja pöörates ebavõrdsuse märgi ümber:
-a + b > -c
(-a + b) · -1< (-c) · -1
a - b < c
Ebavõrdsus -a + b > -c võrdub ebavõrdsusega a - b < c
1 . Kui a > b, See b< a ; vastupidi, kui A< b , See b > a.
Näide. Kui 5x - 1 > 2x + 1, See 2x +1< 5x — 1 .
2 . Kui a > b Ja b > c, See a > c. sarnane, A< b Ja b< с , See a< с .
Näide. Ebavõrdsusest x > 2 a, 2 aastat > 10 järgib seda x>10.
3
. Kui a > b See a + c > b + c Ja a - c > b - c. Kui A< b
, See a + c
Näide 1. Arvestades ebavõrdsust x + 8>3. Lahutades mõlemast võrratuse osast arvu 8, leiame x > - 5.
Näide 2. Arvestades ebavõrdsust x - 6< — 2 . Lisades mõlemale osale 6, leiame X< 4 .
4 . Kui a > b Ja c > d See a + c > b + d; täpselt sama, kui A< b Ja Koos< d , See a + c< b + d , st kaks samatähenduslikku ebavõrdsust) saab termini haaval lisada. See kehtib mis tahes arvu ebavõrdsuse kohta, näiteks kui a1 > b1, a2 > b2, a3 > b3, See a1 + a2 + a3 > b1+b2 +b3.
Näide 1. ebavõrdsused — 8 > — 10 Ja 5 > 2 on tõesed. Liites need termini kaupa, leiame õige ebavõrdsuse — 3 > — 8 .
Näide 2. Arvestades ebavõrdsuse süsteemi ( 1/2)x + (1/2)y< 18 ; (1/2)x - (1/2)a< 4 . Lisades need termini haaval, leiame x< 22 .
Kommenteeri. Kahte samatähenduslikku ebavõrdsust ei saa üksteisest termini haaval lahutada, sest tulemus võib olla tõene, aga võib olla ka vale. Näiteks kui ebavõrdsusest 10 > 8 2 > 1 , siis saame õige ebavõrdsuse 8 > 7 aga kui samast ebavõrdsusest 10 > 8 lahutada ebavõrdsus astme haaval 6 > 1 , siis saame absurdi. Võrdle järgmist üksust.
5 . Kui a > b Ja c< d , See a - c > b - d; Kui A< b Ja c - d, See a - c< b — d , st ühe võrratuse saab termini haaval lahutada teist vastupidise tähendusega võrratust), jättes maha ebavõrdsuse märgi, millest lahutati teine.
Näide 1. ebavõrdsused 12 < 20 Ja 15 > 7 on tõesed. Lahutades liikme kaupa esimesest teise ja jättes esimese märgi, saame õige ebavõrdsuse — 3 < 13 . Lahutades liikme kaupa esimese teisest ja jättes teise märgi, leiame õige ebavõrdsuse 3 > — 13 .
Näide 2. Arvestades ebavõrdsuse süsteemi (1/2)x + (1/2)a< 18; (1/2)х — (1/2)у > 8 . Lahutades esimesest võrratusest teise, leiame y< 10 .
6 . Kui a > b Ja m on siis positiivne arv ma > mb Ja a/n > b/n, st mõlemat võrratuse osa saab jagada või korrutada sama positiivse arvuga (ebavõrdsuse märk jääb samaks). a > b Ja n on siis negatiivne arv ei< nb Ja a/n< b/n , st mõlemat võrratuse osa saab korrutada või jagada sama negatiivse arvuga, kuid ebavõrdsuse märk tuleb ümber pöörata.
Näide 1. Tõelise ebavõrdsuse mõlema poole jagamine 25 > 20 peal 5 , saame õige ebavõrdsuse 5 > 4 . Kui jagame ebavõrdsuse mõlemad pooled 25 > 20 peal — 5 , siis peate märki muutma > peal < , ja siis saame õige ebavõrdsuse — 5 < — 4 .
Näide 2. Ebavõrdsusest 2x< 12 järgib seda X< 6 .
Näide 3. Ebavõrdsusest -(1/3)x - (1/3)x > 4 järgib seda x< — 12 .
Näide 4. Arvestades ebavõrdsust x/k > y/l; sellest järeldub lx > ky kui numbrimärgid l Ja k on samad ja see lx< ky kui numbrimärgid l Ja k on vastandlikud.
Reaalarvude väljal on järjestuse omadus (punkt 6, lk 35): mis tahes arvu a, b korral kehtib üks ja ainult üks kolmest seosest kehtib: või . Sel juhul tähendab märge a > b, et erinevus on positiivne ja tähistus negatiivne. Erinevalt reaalarvude väljast ei ole kompleksarvude väli järjestatud: kompleksarvude puhul ei määratleta mõisteid "suurem kui" ja "väiksem kui"; seetõttu käsitletakse selles peatükis ainult reaalarve.
Nimetame seoseid ebavõrdsusteks, arvud a ja b on ebavõrdsuse liikmed (või osad), märke > (suurem kui) ja ebavõrdsust a > b ja c > d nimetatakse sama (või sama) tähendusega võrratusteks; võrratused a > b ja c Ebavõrdsuse definitsioonist järeldub kohe, et
1) iga nullist suurem positiivne arv;
2) nullist väiksem negatiivne arv;
3) iga positiivne arv on suurem kui mis tahes negatiivne arv;
4) kahest negatiivsest arvust on suurem see, mille absoluutväärtus on väiksem.
Kõik need väited lubavad lihtsat geomeetrilist tõlgendust. Laske arvtelje positiivne suund minna alguspunktist paremale; siis, olenemata numbrite märgist, esindab neist suuremat punkt, mis asub väiksemat arvu tähistavast punktist paremal.
Ebavõrdsusel on järgmised peamised omadused.
1. Asümmeetria (pöördumatus): kui , siis , ja vastupidi.
Tõepoolest, kui erinevus on positiivne, on erinevus negatiivne. Nad ütlevad, et kui ebavõrdsuse tingimused on ümber paigutatud, tuleb ebavõrdsuse tähendus muuta vastupidiseks.
2. Transitiivsus: kui , siis . Tõepoolest, erinevuste positiivsus viitab positiivsusele
Lisaks ebavõrdsusmärkidele kasutatakse ka ebavõrdsusmärke ja Neid defineeritakse järgmiselt: kirje tähendab, et kas või Seetõttu võib näiteks kirjutada ja ka. Tavaliselt nimetatakse märkidega kirjutatud ebavõrdsusi rangeteks ebavõrdsusteks ja märkidega kirjutatuid mitterangeteks. Vastavalt sellele nimetatakse märke endid range või mitterange ebavõrdsuse märkideks. Eespool käsitletud omadused 1 ja 2 kehtivad ka mitterangete ebavõrdsuste puhul.
Mõelge nüüd tehtetele, mida saab teha ühe või mitme ebavõrdsusega.
3. Sama arvu liitmisest võrratuse liikmetele ei muutu ebavõrdsuse tähendus.
Tõestus. Olgu antud võrratus ja suvaline arv. Definitsiooni järgi on erinevus positiivne. Sellele arvule lisame kaks vastandarvu, millest see ei muutu, s.t.
Selle võrdsuse saab ümber kirjutada järgmiselt:
Sellest järeldub, et erinevus on positiivne, see tähendab
ja seda tuli tõestada.
See on aluseks võimalusele kallutada mis tahes ebavõrdsuse liiget ühest selle osast teise vastupidise märgiga. Näiteks ebavõrdsusest
järgib seda
4. Kui korrutada võrratuse liikmed sama positiivse arvuga, siis võrratuse tähendus ei muutu; kui ebavõrdsuse liikmed korrutada sama negatiivse arvuga, muutub ebavõrdsuse tähendus vastupidiseks.
Tõestus. Olgu siis Kui siis kuna positiivsete arvude korrutis on positiivne. Laiendades viimase võrratuse vasakpoolseid sulgusid, saame , s.t. Juhtumit käsitletakse sarnaselt.
Täpselt sama järelduse saab teha ka võrratuse osade jagamisel mõne nullist erineva arvuga, kuna arvuga jagamine võrdub arvuga korrutamisega ja arvudel on samad märgid.
5. Olgu ebavõrdsuse tingimused positiivsed. Siis, kui selle liikmed tõstetakse samale positiivsele jõule, ei muutu ebavõrdsuse tähendus.
Tõestus. Olgu sel juhul transitiivsuse omaduse poolt ja . Siis tänu võimsusfunktsiooni monotoonsele suurenemisele at ja positiivne on meil
Täpsemalt, kui kus on naturaalarv, siis saame
st eraldades juure mõlemast ebavõrdsuse osast positiivsete terminitega, ei muutu ebavõrdsuse tähendus.
Olgu ebavõrdsuse tingimused negatiivsed. Siis on lihtne tõestada, et kui selle termineid tõsta paaritu loomuliku astmeni, siis ebavõrdsuse tähendus ei muutu ja kui tõsta see paaris loomuliku astmeni, muutub see vastupidiseks. Negatiivsete terminitega ebavõrdsustest saate eraldada ka paaritu astme juure.
Olgu lisaks, et ebavõrdsuse tingimustel on erinevad märgid. Siis, kui see tõsta paaritu astmeni, siis ebavõrdsuse tähendus ei muutu ja paarisastmeni tõstmisel ei saa tekkiva ebavõrdsuse tähenduse kohta üldjuhul midagi kindlat öelda. Tõepoolest, kui arvu tõsta paaritu astmeni, siis arvu märk säilib ja seetõttu ebavõrdsuse tähendus ei muutu. Ebavõrdsuse tõstmisel ühtlase astmeni moodustub ebavõrdsus positiivsete terminitega ja selle tähendus sõltub algse ebavõrdsuse terminite absoluutväärtustest, algse ebavõrdsusest sama tähendusega ebavõrdsusest, ebavõrdsusest. vastupidine tähendus ja isegi võrdsus on saavutatav!
Kasulik on kontrollida kõike, mida on öeldud ebavõrdsuse astmele tõstmise kohta, kasutades järgmist näidet.
Näide 1. Tõstke järgmised võrratused näidatud astmeni, muutes vajadusel ebavõrdsuse märki vastupidiseks või võrdusmärgiks.
a) 3 > 2 astmeni 4; b) astmeni 3;
c) astmeni 3; d) astmeni 2;
e) astmeni 5; e) astmeni 4;
g) 2 > -3 astmeni 2; h) astmeni 2,
6. Ebavõrdsusest võib minna ebavõrdsuseni, kui ebavõrdsuse tingimused on mõlemad positiivsed või mõlemad negatiivsed, siis nende pöördväärtuste vahel on vastupidise tähendusega ebavõrdsus:
Tõestus. Kui a ja b on sama märgiga, on nende korrutis positiivne. Jagage ebavõrdsusega
st mida oli vaja saada.
Kui ebavõrdsuse liikmetel on vastandmärgid, siis nende pöördväärtuste vahelisel ebavõrdsusel on sama tähendus, kuna pöördväärtuste märgid on samad, mis suuruste endi märgid.
Näide 2. Kontrollige viimast omadust 6 järgmistel ebavõrdsustel:
7. Võrratuste logaritmi saab teostada ainult juhul, kui võrratuste liikmed on positiivsed (negatiivsetel arvudel ja nullil ei ole logaritme).
Laske . Millal siis saab
ja millal saab
Nende väidete õigsus põhineb logaritmilise funktsiooni monotoonsusel, mis suureneb, kui alus ja väheneb, kui
Seega, kui võtta positiivsetest liikmetest koosneva võrratuse logaritm, mille alus on suurem kui üks, moodustub antud võrrandiga samatähenduslik võrratus ja kui võtta selle logaritm positiivse alusega, mis on väiksem kui üks, siis ebavõrdsus moodustub vastupidine tähendus.
8. Kui , siis kui , aga , siis .
See tuleneb kohe eksponentsiaalfunktsiooni monotoonsusomadustest (sek. 42), mis juhul suureneb ja väheneb, kui
Terminite kaupa sama tähendusega ebavõrdsuste liitmisel moodustub andmetega samatähenduslik võrratus.
Tõestus. Tõestagem seda väidet kahe võrratuse puhul, kuigi see kehtib mis tahes arvu summeeritud võrratuste puhul. Las ebavõrdsus
Määratluse järgi on arvud positiivsed; siis osutub ka nende summa positiivseks, st.
Termineid erinevalt rühmitades saame
ja seega
ja seda tuli tõestada.
Kahe või enama erineva tähendusega ebavõrdsuse liitmisest tuleneva ebavõrdsuse tähenduse kohta ei saa üldjuhul midagi kindlat öelda.
10. Kui ühest võrratusest lahutada termini haaval teine vastupidise tähendusega ebavõrdsus, siis moodustub esimesega samatähenduslik võrratus.
Tõestus. Olgu antud kaks erineva tähendusega ebavõrdsust. Neist teise saab pöördumatuse omaduse järgi ümber kirjutada järgmiselt: d > c. Lisame nüüd kaks samatähenduslikku võrratust ja saame ebavõrdsuse
sama tähendus. Viimasest leiame
ja seda tuli tõestada.
Üldjuhul ei saa öelda midagi kindlat ebavõrdsuse tähenduse kohta, mis on saadud, lahutades ühest võrratusest teise samatähendusliku võrratuse.
