Cijeli brojevi: opći prikaz.

Negativni brojevi su brojevi sa predznakom minus (−), na primjer −1, −2, −3. Čita se kao: minus jedan, minus dva, minus tri.

Primjer primjene negativni brojevi je termometar koji pokazuje temperaturu tijela, zraka, tla ili vode. Zimi, kada je napolju veoma hladno, temperatura može biti negativna (ili, kako narod kaže, „minus“).

Na primjer, -10 stepeni hladnoće:

Obični brojevi koje smo ranije pogledali, kao što su 1, 2, 3, nazivaju se pozitivnim. Pozitivni brojevi su brojevi sa znakom plus (+).

Prilikom pisanja pozitivnih brojeva, znak + se ne zapisuje, zbog čega vidimo brojeve 1, 2, 3 koji su nam poznati, ali treba imati na umu da ovi pozitivni brojevi izgledaju ovako: +1, +2 , +3.

Sadržaj lekcije

Ovo je prava linija na kojoj se nalaze svi brojevi: i negativni i pozitivni. Kao što slijedi:

Ovdje prikazani brojevi su od −5 do 5. U stvari, koordinatna linija je beskonačna. Na slici je prikazan samo njen mali fragment.

Brojevi na koordinatnoj liniji su označeni tačkama. Podebljano na slici crna tačka je polazna tačka. Odbrojavanje počinje od nule. Lijevo od početne tačke je označeno negativni brojevi, a na desnoj strani su pozitivne.

Koordinatna linija se nastavlja neograničeno na obje strane. Beskonačnost se u matematici simbolizira simbolom ∞. Negativan smjer će biti označen simbolom −∞, a pozitivan smjer simbolom +∞. Tada možemo reći da se svi brojevi od minus beskonačnosti do plus beskonačnosti nalaze na koordinatnoj liniji:

Svaka tačka na koordinatnoj liniji ima svoje ime i koordinate. Ime je bilo koje latinično slovo. Koordinate je broj koji pokazuje položaj tačke na ovoj pravoj. Jednostavno rečeno, koordinata je sam broj koji želimo da označimo na koordinatnoj liniji.

Na primjer, tačka A(2) glasi kao "tačka A sa koordinatom 2" i biće označen na koordinatnoj liniji na sledeći način:

Evo A je naziv tačke, 2 je koordinata tačke A.

Primjer 2. Tačka B(4) glasi kao "tačka B sa koordinatom 4"

Evo B je naziv tačke, 4 je koordinata tačke B.

Primjer 3. Tačka M(−3) glasi kao "tačka M sa koordinatom minus tri" i biće označen na koordinatnoj liniji kako slijedi:

Evo M je naziv tačke, −3 je koordinata tačke M .

Bodovi se mogu označiti bilo kojim slovima. Ali općenito je prihvaćeno označavati ih velikim latiničnim slovima. Štaviše, početak izvještaja, koji se inače zove porijeklo obično znači veliko latinično pismo O

Lako je primijetiti da negativni brojevi leže lijevo u odnosu na ishodište, a pozitivni brojevi leže desno.

Postoje fraze kao što su "što dalje ulijevo, to manje" I "što dalje udesno, to više". Verovatno ste već pogodili o čemu govorimo. Sa svakim korakom ulijevo, broj će se smanjivati. I sa svakim korakom udesno broj će se povećavati. Strelica koja pokazuje udesno označava pozitivan referentni smjer.

Poređenje negativnih i pozitivnih brojeva

Pravilo 1. Svaki negativan broj manji je od bilo kojeg pozitivnog broja.

Na primjer, uporedimo dva broja: −5 i 3. Minus pet manje od tri, uprkos činjenici da pet prije svega upada u oči kao broj veći od tri.

To je zbog činjenice da je −5 negativan broj, a 3 pozitivan. Na koordinatnoj liniji možete vidjeti gdje se nalaze brojevi −5 i 3

Može se vidjeti da −5 leži lijevo, a 3 desno. I mi smo to rekli "što dalje ulijevo, to manje" . A pravilo kaže da je svaki negativan broj manji od bilo kojeg pozitivnog broja. Iz toga slijedi

−5 < 3

"Minus pet je manje od tri"

Pravilo 2. Od dva negativna broja manji je onaj koji se nalazi lijevo na koordinatnoj liniji.

Na primjer, uporedimo brojeve −4 i −1. Minus četiri manje, nego minus jedan.

Ovo je opet zbog činjenice da se na koordinatnoj liniji −4 nalazi lijevo od −1

Može se vidjeti da −4 leži lijevo, a −1 desno. I mi smo to rekli "što dalje ulijevo, to manje" . A pravilo kaže da je od dva negativna broja manji onaj koji se nalazi lijevo na koordinatnoj liniji. Iz toga slijedi

Minus četiri je manje od minus jedan

Pravilo 3. Nula je veća od bilo kojeg negativnog broja.

Na primjer, uporedimo 0 i −3. Zero više od minus tri. To je zbog činjenice da se na koordinatnoj liniji 0 nalazi više desno od −3

Može se vidjeti da 0 leži desno, a −3 lijevo. I mi smo to rekli "što dalje udesno, to više" . A pravilo kaže da je nula veća od bilo kojeg negativnog broja. Iz toga slijedi

Nula je veća od minus tri

Pravilo 4. Nula je manja od bilo kojeg pozitivnog broja.

Na primjer, uporedimo 0 i 4. Nula manje, nego 4. Ovo je u principu jasno i tačno. Ali pokušat ćemo to vidjeti vlastitim očima, opet na koordinatnoj liniji:

Vidi se da se na koordinatnoj liniji 0 nalazi lijevo, a 4 desno. I mi smo to rekli "što dalje ulijevo, to manje" . A pravilo kaže da je nula manja od bilo kojeg pozitivnog broja. Iz toga slijedi

Nula je manje od četiri

Da li vam se dopala lekcija?
Pridružite se našoj nova grupa VKontakte i počnite primati obavještenja o novim lekcijama

Integers

Definicija prirodnih brojeva su pozitivni cijeli brojevi. Prirodni brojevi se koriste za brojanje objekata i za mnoge druge svrhe. Ovo su brojevi:

Ovo je prirodan niz brojeva.
Da li je nula prirodan broj? Ne, nula nije prirodan broj.
Koliko prirodni brojevi postoji? Postoji beskonačan broj prirodnih brojeva.
Koji je najmanji prirodan broj? Jedan je najmanji prirodan broj.
Koji je najveći prirodni broj? Nemoguće ga je odrediti, jer postoji beskonačan broj prirodnih brojeva.

Zbir prirodnih brojeva je prirodan broj. Dakle, sabiranje prirodnih brojeva a i b:

Proizvod prirodnih brojeva je prirodan broj. Dakle, proizvod prirodnih brojeva a i b:

c je uvijek prirodan broj.

Razlika prirodnih brojeva Ne postoji uvijek prirodan broj. Ako je minus veći od oduzetog, onda je razlika prirodnih brojeva prirodan broj, inače nije.

Količnik prirodnih brojeva nije uvijek prirodan broj. Ako za prirodne brojeve a i b

gdje je c prirodan broj, to znači da je a djeljiv sa b. U ovom primjeru, a je dividenda, b je djelitelj, c je količnik.

Delitelj prirodnog broja je prirodan broj kojim je prvi broj djeljiv s cjelinom.

Svaki prirodan broj je djeljiv sa jednim i samim sobom.

Prosti prirodni brojevi su djeljivi samo sa jednim i sami sa sobom. Ovdje mislimo na potpuno podijeljeno. Primjer, brojevi 2; 3; 5; 7 je samo djeljivo sa jednim i samim sobom. Ovo su jednostavni prirodni brojevi.

Jedan se ne smatra prostim brojem.

Brojevi koji su veći od jedan i koji nisu prosti nazivaju se složeni brojevi. Primjeri složenih brojeva:

Jedan se ne smatra složenim brojem.

Skup prirodnih brojeva je jedan, primarni brojevi i složeni brojevi.

Skup prirodnih brojeva označava se latiničnim slovom N.

Svojstva sabiranja i množenja prirodnih brojeva:

komutativno svojstvo sabiranja

asocijativno svojstvo sabiranja

(a + b) + c = a + (b + c);

komutativno svojstvo množenja

asocijativno svojstvo množenja

(ab)c = a(bc);

distributivno svojstvo množenja

A (b + c) = ab + ac;

Cijeli brojevi

Cijeli brojevi su prirodni brojevi, nula i suprotnosti prirodnih brojeva.

Suprotnost prirodnim brojevima su negativni cijeli brojevi, na primjer:

1; -2; -3; -4;...

Skup cijelih brojeva je označen latiničnim slovom Z.

Racionalni brojevi

Racionalni brojevi su cijeli brojevi i razlomci.

Svaki racionalni broj se može predstaviti kao periodični razlomak. primjeri:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Iz primjera je jasno da je svaki cijeli broj periodični razlomak s periodom nula.

Bilo koji racionalni broj može se predstaviti kao razlomak m/n, gdje je m cijeli broj broj,n prirodan broj. Zamislimo broj 3,(6) iz prethodnog primjera kao takav razlomak.

Sadržaj članka

Koncept broja u matematici može se odnositi na objekte različite prirode: prirodne brojeve koji se koriste u brojanju (pozitivni cijeli brojevi 1, 2, 3, itd.), brojeve koji su mogući rezultati(idealizirane) dimenzije (ovo su brojevi poput 2/3 - oni se zovu realni brojevi), negativni brojevi, imaginarni brojevi (recimo, k) i druge apstraktnije klase brojeva koje se koriste u višim granama matematike (na primjer, hiperkompleksni i transfinitni brojevi). Broj se mora razlikovati od njegovog simbola, ili oznake, koja ga predstavlja. Pogledat ćemo logičke odnose između različitih klasa brojeva.

Takve se zagonetke lako rješavaju ako uzmemo u obzir da različite klase brojeva imaju potpuno različita značenja; iako imaju dovoljno zajedničkog da se svi mogu nazvati brojevima, ne treba misliti da će svi zadovoljiti ista pravila.

Pozitivni cijeli brojevi.

Iako svi učimo pozitivne cijele brojeve (1, 2, 3, itd.) u rano djetinjstvo, kada jedva da padne na pamet razmišljanje o definicijama, ipak se takvi brojevi mogu definirati po svim pravilima formalne logike. Stroga definicija broja 1 zauzela bi desetine stranica, a formula poput 1 + 1 = 2, ako se zapiše detaljno bez ikakvih skraćenica, protezala bi se nekoliko kilometara. Međutim, svaka matematička teorija je primorana početi s nekim nedefiniranim konceptima i aksiomima ili postulatima u vezi s njima. Budući da su pozitivni cijeli brojevi dobro poznati i da ih je teško definirati koristeći nešto jednostavnije, uzet ćemo ih kao početne nedefinirane pojmove i pretpostaviti da su osnovna svojstva ovih brojeva poznata.

Negativni cijeli brojevi i nula.

Negativni brojevi su danas uobičajeni: oni se koriste, na primjer, da predstavljaju temperature ispod nule. Stoga se čini iznenađujućim da prije samo nekoliko stoljeća nije postojala posebna interpretacija negativnih brojeva, a negativni brojevi koji nastaju tokom izračunavanja nazivani su „imaginarnim“. Dok je intuitivna interpretacija negativnih brojeva korisna sama po sebi, kada pokušavamo da razumemo „pravila“ kao što su (–4)´(–3) = +12, moramo definisati negativne brojeve u smislu pozitivnih brojeva. Da bismo to učinili, moramo konstruirati skup matematičkih objekata koji će se ponašati u aritmetici i algebri točno onako kako bi se očekivalo da se ponašaju negativni brojevi. Jedan od načina da se konstruiše takav skup je razmatranje uređenih parova pozitivnih brojeva ( a,b). "Red" znači da se, na primjer, par (2,3) razlikuje od para (3,2). Takvi uređeni parovi mogu se smatrati novom klasom brojeva. Sada moramo reći kada su dva takva nova broja jednaka i šta znači njihovo sabiranje i množenje. Naš izbor definicija vođen je željom da par ( a,b) djelovalo kao razlika ( a – b), što je do sada utvrđeno samo kada a više b. Pošto u algebri ( a–b) + (c–d) = (a+c) – (b+d), dolazimo do potrebe da sabiranje novih brojeva definiramo kao ( a,b) + (c,d) = (a+c, b+d); jer ( a – b)ґ(c – d) = ac + bd – (bc + ad), definiramo množenje sa ( a,b)ґ(c,d) = (ac + bd, bc + ad); i od ( a–b) = (c–d), Ako a + d = b + c, definiramo jednakost novih brojeva relacijom ( a,b) = (c,d), Ako a + d = b + c. dakle,

Koristeći definicije jednakosti parova, možemo zapisati zbir i proizvod parova u jednostavnijem obliku:

Svi parovi ( a,a) su jednaki (prema definiciji jednakosti parova) i ponašaju se kako očekujemo da nula djeluje. Na primjer, (2,3) + (1,1) = (3,4) = (2,3); (2,3)´(1,1) = (2 + 3, 2 + 3) = (5,5) = (1,1). parovi ( a,a) možemo označiti simbolom 0 (koji do sada nismo koristili).

parovi ( a,b), Gdje b više a, ponašaju se kao negativni brojevi i možemo označiti par ( a,b) simbol –( b – a). Na primjer, -4 je (1.5), a -3 je (1.4); (–4)´(–3) = (21,9) ili (13,1). Želio bih označiti posljednji broj kao 12, ali to očigledno nije isto što i pozitivni cijeli broj 12, jer označava par pozitivnih cijelih brojeva, a ne jedan pozitivan cijeli broj. Mora se naglasiti da budući da parovi ( a,b), Gdje b manje a, djeluju kao pozitivni cijeli brojevi ( a – b), pisaćemo brojeve poput ( a – b). U isto vrijeme moramo zaboraviti na pozitivne cijele brojeve s kojima smo započeli i od sada koristiti samo naše nove brojeve koje ćemo zvati cijeli brojevi. Činjenica da namjeravamo koristiti stare nazive za neke nove brojeve ne bi nas trebala dovesti u zabludu da pomislimo da su novi brojevi u stvari objekti druge vrste.

Razlomci.

Intuitivno, razmišljamo o razlomku 2/3 kao rezultatu dijeljenja 1 na tri jednaka dijela i uzimanja dva od njih. Međutim, matematičar nastoji da se što manje oslanja na intuiciju i definira racionalne brojeve kroz jednostavnije objekte - cijele brojeve. Ovo se može učiniti tretiranjem 2/3 kao uređenog para (2,3) cijelih brojeva. Da bismo upotpunili definiciju, potrebno je formulisati pravila za jednakost razlomaka, kao i sabiranje i množenje. Naravno, ova pravila moraju biti ekvivalentna pravilima aritmetike i, naravno, da se razlikuju od pravila za one uređene parove koje smo definirali kao cijele brojeve. Ovo su pravila:

Lako je vidjeti da parovi ( a,1) djeluju kao cijeli brojevi a; Nastavljajući naše razmišljanje na isti način kao u slučaju negativnih brojeva, sa 2 označavamo razlomak (2,1), ili (4,2), ili bilo koji drugi razlomak jednak (2,1). Zaboravimo sada na cijele brojeve i sačuvajmo ih samo kao sredstvo pisanja određenih razlomaka.

Racionalni i iracionalni brojevi.

Razlomci se također obično nazivaju racionalnim brojevima, jer se mogu predstaviti u obliku odnosi(od lat. odnos– omjer) dva cijela broja. Ali ako nam treba broj čiji je kvadrat 2, onda se nećemo moći snaći s racionalnim brojevima, jer ne postoji racionalni broj čiji je kvadrat jednak 2. Ista stvar postaje jasna ako se zainteresujete za broj koji izražava odnos obima kruga i njegovog prečnika. Stoga, ako želimo dobiti kvadratni korijen svih pozitivnih brojeva, onda moramo proširiti klasu racionalnih brojeva. Novi brojevi, koji se nazivaju iracionalni (tj. neracionalni), mogu se definirati Različiti putevi. Naručeni parovi nisu pogodni za ovo; Jedan od najjednostavnijih načina je definiranje iracionalnih brojeva kao beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka.

Realni brojevi.

Racionalni i iracionalni brojevi se zajednički nazivaju realnim ili realnim brojevima. Geometrijski, oni se mogu predstaviti kao tačke na pravoj liniji, s razlomcima koji se pojavljuju u prostorima između cijelih brojeva, a iracionalni brojevi u prostorima između razlomaka, kao što je prikazano na slici. 1. Može se pokazati da sistem realnih brojeva ima svojstvo poznato kao “potpunost”, što znači da svakoj tački na pravoj odgovara realan broj.

Kompleksni brojevi.

Pošto su kvadrati pozitivnih i negativnih realnih brojeva pozitivni, ne postoji tačka na pravoj realnog broja koja odgovara broju čiji je kvadrat -1. Ali ako pokušamo da odlučimo kvadratne jednačine tip x 2 + 1 = 0, tada bi se trebalo ponašati kao da postoji neki broj i, čiji bi kvadrat bio -1. Ali pošto takav broj ne postoji, nemamo izbora osim da koristimo „imaginarni“ ili „imaginarni“ broj. Shodno tome, "broj" i i njegove kombinacije sa običnim brojevima (kao što je 2 + 3 i) počeo se nazivati ​​imaginarnim. Savremeni matematičari radije nazivaju takve brojeve „složenim“ jer su, kao što ćemo videti, jednako „stvarni“ kao i oni sa kojima smo se ranije susreli. Za dugo vremena matematičari su slobodno koristili imaginarne brojeve i dobijali korisne rezultate, iako nisu u potpunosti razumeli šta rade. I sve do početka 19. vijeka. Nikome nije palo na pamet da "oživljava" imaginarne brojeve koristeći njihovu eksplicitnu definiciju. Da biste to učinili, morate konstruirati određeni skup matematičkih objekata koji bi se, sa stanovišta algebre, ponašali kao izrazi a+bi, ako se s tim slažemo i 2 = –1. Takvi objekti se mogu definirati na sljedeći način. Razmotrimo kao naše nove brojeve uređene parove realnih brojeva čije je zbrajanje i množenje određeno formulama:

Nazovimo takve uređene parove kompleksnim brojevima. Parovi određenog tipa ( a,0) sa drugim članom jednakim nuli ponašaju se kao realni brojevi, pa ćemo se dogovoriti da ih označimo na isti način: na primjer, 2 znači (2,0). S druge strane, kompleksni broj (0, b) po definiciji množenja ima svojstvo (0, b)ґ(0,b) = (0 – b 2 , 0 + 0) = (–b 2 ,0) = –b 2. Na primjer, u slučaju (0,1)´(0,1) nalazimo proizvod (-1,0); dakle, (0.1) 2 = (–1.0). Već smo se dogovorili da kompleksni broj (-1,0) zapišemo kao -1, pa ako je broj (0,1) označen simbolom i, tada dobijamo kompleksan broj i, takav da i 2 = –1. Dodatno, kompleksni broj (2,3) sada se može napisati kao 2 + 3 i.

Važna razlika između ovog pristupa kompleksnim brojevima i tradicionalnog je u tome što je u u ovom slučaju broj i ne sadrži ništa misteriozno ili imaginarno: to je nešto dobro definisano pomoću već postojećih brojeva, iako se, naravno, ne poklapa ni sa jednim od njih. Isto tako, pravi broj 2 nije kompleksan, iako koristimo simbol 2 za predstavljanje kompleksnog broja. Budući da zapravo nema ničeg “imaginarnog” u imaginarnim brojevima, nije iznenađujuće što se oni naširoko koriste u stvarnim situacijama, kao što je elektrotehnika (gdje umjesto slova i obično koriste slovo j, budući da je u elektrotehnici i– simbol za trenutnu trenutnu vrijednost).

Algebra kompleksnih brojeva je na mnogo načina slična algebri realnih brojeva, iako postoje značajne razlike. Na primjer, pravilo za kompleksne brojeve ne vrijedi: , dakle, dok .

Sabiranje kompleksnih brojeva omogućava jednostavnu geometrijsku interpretaciju. Na primjer, zbir brojeva 2 + 3 i i 3 – i postoji broj 5 + 2 i, što odgovara četvrtom vrhu paralelograma sa tri vrha u tačkama 0, 2 + 3 i i 3 – i.

Tačka na ravni može se odrediti ne samo pravokutnim (kartezijanskim) koordinatama ( x,y), ali i njegove polarne koordinate ( r,q), određujući udaljenost od tačke do ishodišta i ugao. Dakle, kompleksan broj x + iy može se napisati i u polarnim koordinatama (slika 2, b). Dužina radijus vektora r jednaka udaljenosti od početka do tačke koja odgovara kompleksnom broju; magnitude r naziva se modulom kompleksnog broja i određuje se formulom. Često je modul napisan u obliku . Ugao q naziva "ugao", "argument" ili "faza" kompleksnog broja. Takav broj ima beskonačno mnogo uglova koji se razlikuju za višestruke od 360°; Na primjer, i ima ugao od 90°, 450°, -270°, j Pošto su kartezijanske i polarne koordinate iste tačke povezane jedna s drugom relacijama x = r cos q, y = r grijeh q, jednakost je tačna x + iy = r(cos q + i grijeh q).

Ako z = x + iy, zatim broj x–iy se naziva kompleksnim konjugatom z i označava se sa n z = re iq. Logaritam kompleksnog broja re iq, po definiciji, jednako je ln r + iq, gdje ln znači logaritam bazi e, A q prihvata sve moguće vrijednosti, mjereno u radijanima. Dakle, kompleksni broj ima beskonačno mnogo logaritama. Na primjer, ln (–2) = ln 2 + ip+ bilo koji cijeli broj višekratnik od 2 str. IN opšti pogled stupnjevi se sada mogu odrediti korištenjem relacije a b = e b ln a. Na primjer, i –2i = e–2 ln i. Budući da su vrijednosti argumenta broja i jednaka str/2 (90°, izraženo u radijanima) plus cijeli broj višekratnik, zatim broj i –2i stvar e p, e 3 str, e -str itd., koji su svi validni.

Hiperkompleksni brojevi.

Kompleksni brojevi su izmišljeni da bi se mogle riješiti sve kvadratne jednadžbe sa realnim koeficijentima. Može se pokazati da u stvari kompleksni brojevi omogućavaju nam da uradimo mnogo više: njihovim uvođenjem algebarske jednačine bilo kog stepena postaju rješive, čak i sa složenim koeficijentima. Prema tome, kada bi nas zanimala samo rješenja algebarskih jednadžbi, onda ne bi bilo potrebe da uvodimo nove brojeve. Međutim, za druge svrhe su potrebni brojevi koji su strukturirani donekle slično složenim, ali s većim brojem komponenti. Ponekad se takvi brojevi nazivaju hiperkompleksni. Primjeri za to su kvaternioni i matrice.

Šta znači cijeli broj?

Dakle, pogledajmo koji se brojevi nazivaju cijeli brojevi.

Dakle, sljedeći brojevi će biti označeni cijelim brojevima: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$, itd.

Skup prirodnih brojeva je podskup skupa cijelih brojeva, tj. Svaki prirodni broj će biti cijeli broj, ali nije svaki cijeli broj prirodan broj.

Pozitivni cijeli brojevi i negativni cijeli brojevi

Definicija 2

plus.

Brojevi $3, 78, 569, $10450 su pozitivni cijeli brojevi.

Definicija 3

su predpisani cijeli brojevi oduzeti.

Brojevi $−3, −78, −569, -10450$ su negativni cijeli brojevi.

Napomena 1

Broj nula nije ni pozitivan ni negativan cijeli broj.

Pozitivni cijeli brojevi su cijeli brojevi veći od nule.

Negativni cijeli brojevi su cijeli brojevi manji od nule.

Skup prirodnih cijelih brojeva je skup svih pozitivnih cijelih brojeva, a skup svih suprotnih prirodnih brojeva je skup svih negativnih cijelih brojeva.

Nepozitivni i nenegativni cijeli brojevi

Pozivaju se svi pozitivni cijeli brojevi i nula nenegativni cijeli brojevi.

Nepozitivni cijeli brojevi su svi negativni cijeli brojevi i broj $0$.

Napomena 2

dakle, nenegativan cijeli broj su cijeli brojevi veći od nule ili jednaki nuli, i nepozitivan cijeli broj– cijeli brojevi manji od nule ili jednaki nuli.

Na primjer, nepozitivni cijeli brojevi: $−32, −123, 0, −5$ i nenegativni cijeli brojevi: $54, 123, 0, 856,342.$

Opisivanje promjena u količinama pomoću cijelih brojeva

Cijeli brojevi se koriste za opisivanje promjena u broju objekata.

Pogledajmo primjere.

Primjer 1

Neka trgovina prodaje određeni broj naziva proizvoda. Kada prodavnica primi $520$ artikala robe, broj artikala u prodavnici će se povećati, a broj $520$ pokazuje promjenu broja u pozitivnu stranu. Kada trgovina proda $50$ artikala proizvoda, broj artikala proizvoda u trgovini će se smanjiti, a broj $50$ će izraziti promjenu broja u negativnu stranu. Ako radnja ne isporučuje niti prodaje robu, tada će broj robe ostati nepromijenjen (tj. možemo govoriti o nultoj promjeni broja).

U gornjem primjeru, promjena u broju robe je opisana pomoću cijelih brojeva $520$, $−50$ i $0$, respektivno. Pozitivna vrijednost cijelog broja $520$ označava promjenu broja u pozitivnom smjeru. Negativno značenje cijeli broj $−50$ označava promjenu broja u negativnom smjeru. Cijeli broj $0$ označava da je broj nepromjenjiv.

Cijeli brojevi su zgodni za korištenje jer... nema potrebe za eksplicitnim naznakom povećanja ili smanjenja broja - predznak cijelog broja označava smjer promjene, a vrijednost označava kvantitativnu promjenu.

Pomoću cijelih brojeva možete izraziti ne samo promjenu količine, već i promjenu bilo koje količine.

Razmotrimo primjer promjene cijene proizvoda.

Primjer 2

Povećanje vrijednosti, na primjer, za 20$ rubalja izražava se pozitivnim cijelim brojem 20$. Smanjenje cijene, na primjer, za 5$ rubalja opisuje se negativnim cijelim brojem $−5$. Ako nema promjene vrijednosti, tada se takva promjena utvrđuje korištenjem cijelog broja $0$.

Razmotrimo posebno značenje negativnih cijelih brojeva kao iznosa duga.

Primjer 3

Na primjer, osoba ima 5.000$ rubalja. Zatim, koristeći pozitivan cijeli broj $5,000$, možete pokazati broj rubalja koje ima. Osoba mora platiti stanarinu u iznosu od 7.000 dolara, ali nema tu vrstu novca, u ovom slučaju slična situacija je opisan negativnim cijelim brojem $−7,000$. U ovom slučaju, osoba ima -7.000$ rubalja, pri čemu "-" označava dug, a broj 7.000$ označava iznos duga.

Negativni brojevi se nalaze lijevo od nule. Za njih, kao i za pozitivne brojeve, definiran je odnos reda, koji omogućava upoređivanje jednog cijelog broja s drugim.

Za svaki prirodan broj n postoji jedan i samo jedan negativan broj, označen -n, koji dopunjuje n na nulu: n + (− n) = 0 . Oba broja se pozivaju suprotno jedno za drugo. Oduzimanje cijelog broja a je ekvivalentno dodavanju sa njegovom suprotnošću: -a.

Svojstva negativnih brojeva

Negativni brojevi slijede gotovo ista pravila kao prirodni brojevi, ali imaju neke posebne karakteristike.

Istorijska skica

Književnost

• Vygodsky M. Ya. Priručnik za osnovnu matematiku. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
• Glazer G.I. Istorija matematike u školi. - M.: Prosveta, 1964. - 376 str.

Linkovi

Wikimedia Foundation. 2010.

• Negativni reljef
• Negativna i pozitivna nula

Pogledajte šta su "Negativni brojevi" u drugim rječnicima:

Negativni brojevi- realni brojevi manji od nule, na primjer 2; 0,5; π, itd. Vidi broj... Velika sovjetska enciklopedija

Pozitivni i negativni brojevi- (vrijednosti). Rezultat uzastopnih sabiranja ili oduzimanja ne ovisi o redoslijedu kojim se te radnje izvode. Npr. 10 5 + 2 = 10 +2 5. Ovdje nisu preuređeni samo brojevi 2 i 5, već i predznaci ispred ovih brojeva. Dogovoreno...... enciklopedijski rječnik F. Brockhaus i I.A. Efron

brojevi su negativni- Brojevi u računovodstvu koji su ispisani crvenom olovkom ili crvenim mastilom. Teme: računovodstvo... Vodič za tehnički prevodilac

NEGATIVNI BROJEVI- brojevi u računovodstvu koji su ispisani crvenom olovkom ili crvenim mastilom... Odličan računovodstveni rječnik

Cijeli brojevi- Skup cijelih brojeva je definiran kao zatvaranje skupa prirodnih brojeva s obzirom na aritmetičke operacije sabiranja (+) i oduzimanja (). Dakle, zbir, razlika i proizvod dva cijela broja su opet cijeli brojevi. Sastoji se od... ... Wikipedije

Integers- brojevi koji nastaju prirodno prilikom brojanja (i u smislu nabrajanja i u smislu računanja). Postoje dva pristupa za određivanje prirodnih brojeva koji se koriste u: popisivanju (numeraciji) objekata (prvi, drugi, ... ... Wikipedia;

EULER BROJEVI- koeficijenti E n u ekspanziji Rekurentna formula za E. brojeve ima oblik (u simboličkom zapisu, (E + 1)n + (E 1)n=0, E0 =1. U ovom slučaju, E 2n+1= 0, E4n su pozitivni, E4n+2 negativni cijeli brojevi za sve n=0, 1, .; Mathematical Encyclopedia

Negativan broj- Negativan broj je element skupa negativnih brojeva, koji se (zajedno sa nulom) pojavio u matematici prilikom proširenja skupa prirodnih brojeva. Svrha proširenja je omogućiti da se operacija oduzimanja izvrši na bilo kojem broju. Kao rezultat... ... Wikipedia

Istorija aritmetike- Aritmetika. Slikarstvo Pinturicchio. Apartman Borgia. 1492 1495. Rim, Vatikanske palate ... Wikipedia

Aritmetika- Hans Sebald Beham. Aritmetika. Aritmetika 16. veka (starogrčki ἀ ... Wikipedia

Knjige

• Matematika. 5. razred. Edukativna knjiga i radionica. U 2 dijela. Dio 2. Pozitivni i negativni brojevi,. Poučna knjiga i radionica za 5. razred dio su nastavnog materijala iz matematike za 5.-6. razred, koji je izradio tim autora pod vodstvom E. G. Gelfmana i M. A. Kholodnaya u okviru...