Dokazi Pitagorine teoreme sa njenim naslovom. Različiti načini dokazivanja Pitagorine teoreme

Pitagorina teorema: Zbir površina kvadrata koje nose noge ( a i b), jednak je površini kvadrata izgrađenog na hipotenuzi ( c).

Geometrijska formulacija:

Teorema je prvobitno bila formulirana na sljedeći način:

Algebarska formulacija:

To jest, označava dužinu hipotenuze trougla kroz c, i dužine nogu kroz a i b :

a 2 + b 2 = c 2

Obje formulacije teoreme su ekvivalentne, ali druga formulacija je elementarnija, ne zahtijeva koncept površine. Odnosno, druga tvrdnja se može provjeriti bez znanja o površini i mjerenjem samo dužina stranica pravougaonog trougla.

Inverzna Pitagorina teorema:

Dokaz o

Na ovog trenutka U naučnoj literaturi je zabilježeno 367 dokaza ove teoreme. Vjerovatno je Pitagorina teorema jedina teorema s tako impresivnim brojem dokaza. Takva raznolikost se može objasniti samo fundamentalnim značajem teoreme za geometriju.

Naravno, konceptualno, sve se mogu podijeliti u mali broj klasa. Najpoznatiji od njih: dokazi metodom područja, aksiomatski i egzotični dokazi (na primjer, korištenjem diferencijalnih jednadžbi).

Kroz slične trouglove

Sljedeći dokaz algebarske formulacije je najjednostavniji od dokaza izgrađenih direktno iz aksioma. Konkretno, ne koristi koncept površine figure.

Neka ABC postoji pravougli trougao C. Nacrtajmo visinu iz C i označimo njegovu bazu sa H. Trougao ACH slično trokutu ABC na dva ugla. Isto tako, trougao CBH slično ABC. Predstavljamo notaciju

dobijamo

Šta je ekvivalentno

Dodajući, dobijamo

Područni dokazi

Sljedeći dokazi, uprkos njihovoj prividnoj jednostavnosti, uopće nisu tako jednostavni. Svi oni koriste svojstva površine, čiji je dokaz složeniji od dokaza same Pitagorine teoreme.

Dokaz putem ekvivalencije

1. Rasporedite četiri jednaka pravougla trougla kao što je prikazano na slici 1.
2. Četvorougao sa stranicama c je kvadrat jer je zbir dva oštra ugla 90°, a pravi ugao 180°.
3. Površina cijele figure jednaka je, s jedne strane, površini kvadrata sa stranicom (a + b), as druge strane zbiru površina četiri trokuta i dva unutrašnja kvadrata.

Q.E.D.

Dokaz kroz ekvivalentnost

Elegantan dokaz permutacije

Primjer jednog od ovih dokaza prikazan je na crtežu desno, gdje se kvadrat izgrađen na hipotenuzi permutacijom pretvara u dva kvadrata izgrađena na katetama.

Euklidov dokaz

Crtež za Euklidov dokaz

Ilustracija za Euklidov dokaz

Ideja Euklidovog dokaza je sljedeća: pokušajmo dokazati da je polovina površine kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka zbroju polovina površina kvadrata izgrađenih na katovima, a zatim površina veliki i dva mala kvadrata su jednaki.

Razmotrite crtež na lijevoj strani. Na stranicama pravouglog trougla na njemu smo izgradili kvadrate i povukli zrak s iz vrha pravog ugla C okomito na hipotenuzu AB, on seče kvadrat ABIK, izgrađen na hipotenuzi, na dva pravougaonika - BHJI i HAKJ , odnosno. Ispada da su površine ovih pravougaonika tačno jednake površinama kvadrata izgrađenih na odgovarajućim kracima.

Pokušajmo dokazati da je površina kvadrata DECA jednaka površini pravokutnika AHJK Da bismo to učinili, koristimo pomoćno zapažanje: Površina trokuta sa istom visinom i osnovom kao dato pravougaonik je jednak polovini površine datog pravougaonika. To je posljedica definiranja površine trokuta kao pola proizvoda osnove i visine. Iz ovog zapažanja proizilazi da je površina trokuta ACK jednaka površini trokuta AHK (nije prikazano), što je, pak, jednako polovini površine pravokutnika AHJK.

Dokažimo sada da je površina trougla ACK jednaka polovini površine kvadrata DECA. Jedino što za to treba učiniti je dokazati jednakost trokuta ACK i BDA (pošto je površina trokuta BDA jednaka polovini površine kvadrata prema gore navedenom svojstvu). Ova jednakost je očigledna, trokuti su jednaki po dvije strane i ugao između njih. Naime - AB=AK,AD=AC - jednakost uglova CAK i BAD je lako dokazati metodom kretanja: zarotirajmo trougao CAK 90° u suprotnom smeru kazaljke na satu, tada je očigledno da su odgovarajuće stranice dva razmatrana trougla će se poklopiti (zbog činjenice da je ugao na vrhu kvadrata 90°).

Argument o jednakosti površina kvadrata BCFG i pravougaonika BHJI potpuno je analogan.

Tako smo dokazali da je površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi zbir površina kvadrata izgrađenih na katetama. Ideja koja stoji iza ovog dokaza dodatno je ilustrovana gornjom animacijom.

Dokaz o Leonardu da Vinčiju

Dokaz o Leonardu da Vinčiju

Glavni elementi dokaza su simetrija i kretanje.

Razmotrite crtež, kao što se može vidjeti iz simetrije, segment CI secira kvadrat ABHJ na dva identična dijela (pošto trouglovi ABC i JHI jednaki su po konstrukciji). Koristeći rotaciju od 90 stepeni suprotno od kazaljke na satu, vidimo jednakost osenčenih figura CAJI i GDAB . Sada je jasno da je površina figure koju smo zasjenili jednaka zbroju polovice površina kvadrata izgrađenih na nogama i površine izvornog trokuta. S druge strane, jednaka je polovini površine kvadrata izgrađenog na hipotenuzi, plus površina originalnog trokuta. Poslednji korak u dokazivanju prepušten je čitaocu.

Dokaz infinitezimalnom metodom

Sljedeći dokaz korištenjem diferencijalnih jednačina često se pripisuje poznatom engleskom matematičaru Hardiju, koji je živio u prvoj polovini 20. stoljeća.

S obzirom na crtež prikazan na slici i posmatrajući promjenu strane a, možemo napisati sljedeću relaciju za beskonačno male bočne priraštaje With i a(koristeći slične trouglove):

Dokaz infinitezimalnom metodom

Koristeći metodu razdvajanja varijabli, nalazimo

Više opšti izraz promijeniti hipotenuzu u slučaju povećanja oba kraka

Integriranje zadata jednačina i koristeći početne uslove, dobijamo

c 2 = a 2 + b 2 + konstanta.

Tako dolazimo do željenog odgovora

c 2 = a 2 + b 2 .

Lako je vidjeti da se kvadratna zavisnost u konačnoj formuli pojavljuje zbog linearne proporcionalnosti između stranica trougla i prirasta, dok je zbir rezultat nezavisnih doprinosa prirasta različitih kateta.

Jednostavniji dokaz se može dobiti ako pretpostavimo da jedan od krakova ne doživljava prirast (in ovaj slučaj nogu b). Tada za integracijsku konstantu dobijamo

Varijacije i generalizacije

• Ako se umjesto kvadrata na nogama konstruiraju druge slične figure, tada je tačna sljedeća generalizacija Pitagorine teoreme: U pravokutnom trokutu, zbir površina sličnih figura izgrađenih na katetama jednak je površini figure izgrađene na hipotenuzi. posebno:
  • Zbir površina pravilnih trouglova izgrađenih na katetama jednak je površini pravilnog trougla izgrađenog na hipotenuzi.
  • Zbir površina polukružnica izgrađenih na kracima (kao na prečniku) jednak je površini polukruga izgrađenog na hipotenuzi. Ovaj primjer se koristi za dokazivanje svojstava figura omeđenih lukovima dvije kružnice i koje nose naziv hipokratova lunula.

Priča

Chu-pei 500–200 pne. Na lijevoj strani je natpis: zbir kvadrata dužina visine i osnovice je kvadrat dužine hipotenuze.

Drevna kineska knjiga Chu-pei govori o tome Pitagorin trougao sa stranama 3, 4 i 5: U istoj knjizi predlaže se crtež koji se poklapa s jednim od crteža hinduističke geometrije Bašare.

Kantor (najveći njemački istoričar matematike) vjeruje da je jednakost 3² + 4² = 5² već bila poznata Egipćanima oko 2300. godine prije Krista. e., za vrijeme kralja Amenemheta I (prema papirusu 6619 Berlinskog muzeja). Prema Cantoru, harpedonapti, ili "stringeri", gradili su prave uglove koristeći pravokutne trouglove sa stranicama 3, 4 i 5.

Vrlo je lako reproducirati njihov način izgradnje. Uzmite uže dužine 12 m i zavežite ga uzduž trake u boji na udaljenosti od 3 m. sa jednog kraja i 4 metra od drugog. Pravi ugao će biti zatvoren između stranica dužine 3 i 4 metra. Harpedonaptima bi se moglo prigovoriti da njihov način gradnje postaje suvišan ako se koristi, na primjer, drveni kvadrat koji koriste svi stolari. Doista, poznati su egipatski crteži u kojima se nalazi takav alat, na primjer, crteži koji prikazuju stolariju.

Nešto više se zna o Pitagorinoj teoremi kod Babilonaca. U jednom tekstu koji datira iz vremena Hamurabija, tj. do 2000. godine prije Krista. e., dat je približan proračun hipotenuze pravouglog trougla. Iz ovoga možemo zaključiti da su u Mezopotamiji mogli izvoditi proračune sa pravokutnim trouglovima, prema najmanje u nekim slučajevima. Na osnovu, s jedne strane, sadašnjeg nivoa znanja o egipatskoj i vavilonskoj matematici, as druge, na kritičkom proučavanju grčkih izvora, Van der Waerden (holandski matematičar) je zaključio sljedeće:

Književnost

Na ruskom

• Skopets Z. A. Geometrijske minijature. M., 1990
• Yelensky Sh. Po stopama Pitagore. M., 1961
• Van der Waerden B. L. Awakening Science. Matematika drevni egipat, Babilona i Grčke. M., 1959
• Glazer G.I. Istorija matematike u školi. M., 1982
• W. Litzman, "Pythagorean Theorem" M., 1960.
  • Sajt o Pitagorinoj teoremi sa velikim brojem dokaza, materijal je preuzet iz knjige W. Litzmana, veliki broj crteža je predstavljen kao zasebni grafički fajlovi.
• Pitagorina teorema i Pitagorine trostruke poglavlje iz knjige D. V. Anosova "Pogled na matematiku i nešto iz nje"
• O Pitagorinoj teoremi i metodama njenog dokaza G. Glaser, akademik Ruske akademije obrazovanja, Moskva

Na engleskom

• Pitagorina teorema na WolframMathWorld
• Cut-The-Knot, dio o Pitagorinoj teoremi, oko 70 dokaza i opsežne dodatne informacije (eng.)

Wikimedia fondacija. 2010 .

Razni načini dokaz Pitagorine teoreme

učenik 9 "A" razreda

MOU srednja škola №8

naučni savjetnik:

nastavnik matematike,

MOU srednja škola №8

Art. Novi Božić

Krasnodarska teritorija.

Art. Novi Božić

ANOTATION.

Pitagorina teorema se s pravom smatra najvažnijom u kursu geometrije i zaslužuje veliku pažnju. To je osnova za rješavanje mnogih geometrijskih problema, osnova za proučavanje teorijskih i praktični kurs geometrije u budućnosti. Teorema je okružena najbogatijim istorijskim materijalom koji se odnosi na njen izgled i metode dokazivanja. Proučavanje istorije razvoja geometrije usađuje ljubav prema ovu temu, doprinosi razvoju kognitivnog interesovanja, opšte kulture i kreativnosti, kao i razvija veštine istraživačkog rada.

Kao rezultat aktivnosti pretraživanja postignut je cilj rada, a to je dopuna i generalizacija znanja o dokazu Pitagorine teoreme. Bilo je moguće pronaći i razmotriti različite načine dokazivanja i produbljivanja znanja o ovoj temi, nadilazeći stranice školskog udžbenika.

Prikupljeni materijal još više uvjerava da je Pitagorina teorema velika teorema geometrije i da je od velike teorijske i praktične važnosti.

Uvod. Istorijat 5 Glavno tijelo 8

3. Zaključak 19

4. Korištena literatura 20
1. UVOD. ISTORIJA REFERENCE.

Suština istine je da je ona za nas zauvek,

Kada bar jednom u njenom uvidu ugledamo svetlost,

I Pitagorina teorema nakon toliko godina

Za nas, kao i za njega, to je neosporno, besprekorno.

Za proslavu, Bogovima je Pitagora dao zavet:

Za dodirivanje beskrajne mudrosti,

Zaklao je stotinu bikova, zahvaljujući vječnim;

Nakon toga je uputio molitve i pohvale žrtvi.

Od tada bikovi, kad nanjuše, guraju se,

Šta ljude opet vodi novoj istini,

Besno urlaju, pa nema mokraće da se sluša,

Takav Pitagora im je zauvek usadio teror.

Bikovi, nemoćni da se odupru novoj istini,

Šta ostaje? - Samo zatvori oči, urlaj, drhti.

Nije poznato kako je Pitagora dokazao svoju teoremu. Ono što je sigurno jeste da ga je otkrio pod snažnim uticajem egipatske nauke. poseban slučaj Pitagorina teorema - svojstva trougla sa stranicama 3, 4 i 5 - bila je poznata graditeljima piramida mnogo prije Pitagorinog rođenja, dok je on sam učio kod egipatskih svećenika više od 20 godina. Postoji legenda koja kaže da je, dokazavši svoju čuvenu teoremu, Pitagora žrtvovao bogovima bika, a prema drugim izvorima čak 100 bikova. To je, međutim, u suprotnosti sa informacijama o Pitagorinim moralnim i religioznim stavovima. U literarnim izvorima može se pročitati da je "zabranio čak i ubijanje životinja, a još više njihovo hranjenje, jer životinje imaju dušu, kao i mi". Pitagora je jeo samo med, hljeb, povrće i povremeno ribu. U vezi sa svim ovim, vjerojatnijim se može smatrati sljedeći zapis: "...a čak i kada je otkrio da u pravokutnom trokutu hipotenuza odgovara katetama, žrtvovao je bika od pšeničnog tijesta."

Popularnost Pitagorine teoreme je tolika da se njeni dokazi nalaze čak i u fikciji, na primjer, u priči poznatog engleskog pisca Hakslija "Mladi Arhimed". Isti dokaz, ali za poseban slučaj jednakokračnog pravouglog trougla, dat je u Platonovom dijalogu Meno.

Kuća iz bajke.

„Daleko, daleko, gde ni avioni ne lete, je zemlja geometrije. U ovoj neobičnoj zemlji postojao je jedan neverovatan grad - grad Teorem. Jednog dana sam došao u ovaj grad lijepa djevojka nazvana hipotenuza. Pokušala je da dobije sobu, ali gde god da se prijavila, svuda su je odbijali. Konačno je prišla klimavoj kući i pokucala. Otvorio ju je čovjek koji je sebe nazvao Pravim uglom i pozvao Hipotenuzu da živi s njim. Hipotenuza je ostala u kući u kojoj su živeli Pravi ugao i njegova dva mala sina, po imenu Katet. Od tada se život u kući pod pravim uglom promijenio na novi način. Hipotenuza je zasadila cvijeće na prozoru, a u prednjem vrtu raširila crvene ruže. Kuća je imala oblik pravokutnog trougla. Obe noge su veoma volele Hipotenuzu i zamolile su je da zauvek ostane u njihovoj kući. Uveče se ova prijateljska porodica okuplja za porodičnim stolom. Ponekad se Pravi ugao igra žmurke sa svojom djecom. Najčešće mora tražiti, a Hipotenuza se tako vješto skriva da je može biti vrlo teško pronaći. Jednog dana dok sam igrao Right Angle primijetio zanimljiva nekretnina: ako uspije pronaći noge, onda nije teško pronaći hipotenuzu. Tako da Right Angle koristi ovaj obrazac, moram reći, vrlo uspješno. Pitagorina teorema se zasniva na svojstvu ovog pravouglog trougla.

(Iz knjige A. Okuneva „Hvala na lekciji, djeco“).

Zaigrana formulacija teoreme:

Ako nam je dat trougao

I, štaviše, sa pravim uglom,

To je kvadrat hipotenuze

Uvek možemo lako pronaći:

Noge gradimo u kvadratu,

Nalazimo zbir stepeni -

I to na tako jednostavan način

Doći ćemo do rezultata.

Proučavajući algebru i početke analize i geometrije u 10. razredu, uvjerio sam se da osim metode dokazivanja Pitagorine teoreme razmatrane u 8. razredu, postoje i drugi načini za njeno dokazivanje. Predstavljam vam ih na razmatranje.
2. GLAVNI DIO.

Teorema. Kvadrat u pravouglu

Hipotenuza je jednaka zbiru kvadrata kateta.

1 WAY.

Koristeći svojstva površina poligona, uspostavljamo izvanredan odnos između hipotenuze i krakova pravokutnog trokuta.

Dokaz.

a, in i hipotenuzu With(Sl. 1, a).

Dokažimo to c²=a²+b².

Dokaz.

Dopunjavamo trokut do kvadrata sa stranom a + b kao što je prikazano na sl. 1b. Površina S ovog kvadrata je (a + b)². S druge strane, ovaj kvadrat se sastoji od četiri jednaka pravokutna trokuta, od kojih je površina ½ av, i kvadrat sa stranom sa, pa S = 4 * ½ av + s² = 2av + s².

Na ovaj način,

(a + b)² = 2 av + s²,

c²=a²+b².

Teorema je dokazana.
2 WAY.

Nakon proučavanja teme “Slični trouglovi”, otkrio sam da sličnost trokuta možete primijeniti na dokaz Pitagorine teoreme. Naime, koristio sam tvrdnju da je krak pravouglog trougla srednja proporcionalna za hipotenuzu i segment hipotenuze zatvoren između katete i visine povučene iz vrha pravog ugla.

Posmatrajmo pravougli trougao sa pravim uglom C, CD je visina (slika 2). Dokažimo to AC² + SW² = AB² .

Dokaz.

Na osnovu tvrdnje o kraku pravouglog trougla:

AC = , CB = .

Kvadiramo i dodamo rezultirajuće jednakosti:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), gdje je AD + DB = AB, dakle

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

Dokaz je potpun.
3 WAY.

Definicija kosinusa oštrog ugla pravokutnog trokuta može se primijeniti na dokaz Pitagorine teoreme. Razmotrite sl. 3.

dokaz:

Neka je ABC dat pravougli trougao sa pravim uglom C. Nacrtajte visinu CD iz vrha pravog ugla C.

Po definiciji kosinusa ugla:

cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB. Stoga AB * AD = AC²

Isto tako,

cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB.

Stoga AB * BD \u003d BC².

Sabiranjem rezultirajućih jednakosti pojam po član i primjećujući da je AD + DV = AB, dobijamo:

AC² + sunce² \u003d AB (AD + DB) \u003d AB²

Dokaz je potpun.
4 WAY.

Proučivši temu "Omjeri između stranica i uglova pravouglog trougla", mislim da se Pitagorina teorema može dokazati i na drugi način.

Zamislite pravougaoni trougao sa nogama a, in i hipotenuzu With. (Sl. 4).

Dokažimo to c²=a²+b².

Dokaz.

grijeh B= a/c ; cos B= a/s , tada, kvadrirajući rezultirajuće jednakosti, dobijamo:

sin² B= in²/s²; cos² AT\u003d a² / s².

Ako ih saberemo, dobijamo:

sin² AT+ cos² B= v² / s² + a² / s², gdje je sin² AT+ cos² B=1,

1 \u003d (v² + a²) / s², dakle,

c² = a² + b².

Dokaz je potpun.

5 WAY.

Ovaj dokaz se zasniva na sečenju kvadrata izgrađenih na katetama (slika 5) i slaganju dobijenih delova na kvadrat izgrađen na hipotenuzi.

6 WAY.

Za dokaz na kateti sunce zgrada BCD ABC(Sl. 6). Znamo da su površine sličnih figura povezane kao kvadrati njihovih sličnih linearnih dimenzija:

Oduzimanjem druge od prve jednakosti, dobijamo

c2 = a2 + b2.

Dokaz je potpun.

7 WAY.

Dato(slika 7):

ABS,= 90° , sunce= a, AC=b, AB = c.

dokazati:c2 = a2 +b2.

Dokaz.

Pusti nogu b a. Nastavimo segment SW po bodu AT i izgradi trougao bmd tako da tačke M i ALI leži na jednoj strani ravne linije CD a osim toga, B.D.=b, BDM= 90°, DM= a, onda bmd= ABC na dvije strane i ugao između njih. Tačke A i M povezati po segmentima AM. Imamo MD CD i AC CD, znači ravno AC paralelno sa pravom linijom MD. Jer MD< АС, onda pravo CD i AM nisu paralelne. stoga, AMDC- pravougaoni trapez.

U pravokutnim trouglovima ABC i bmd 1 + 2 = 90° i 3 + 4 = 90°, ali pošto je = =, onda je 3 + 2 = 90°; onda AVM=180° - 90° = 90°. Ispostavilo se da je trapez AMDC podijeljena na tri pravokutna trougla koja se ne preklapaju, a zatim aksiomima površine

(a+b)(a+b)

Dijeljenje svih uvjeta nejednakosti sa , Dobijamo

ab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,

c2 = a2 + b2.

Dokaz je potpun.

8 WAY.

Ova metoda se temelji na hipotenuzi i katetama pravokutnog trokuta ABC. On gradi odgovarajuće kvadrate i dokazuje da je kvadrat izgrađen na hipotenuzi jednak zbiru kvadrata izgrađenih na katetama (slika 8).

Dokaz.

1) DBC= FBA= 90°;

DBC+ ABC= FBA+ abc, znači, FBC= DBA.

Na ovaj način, FBC=ABD(na dvije strane i ugao između njih).

2) , gdje je AL DE, budući da je BD zajednička baza, DL- ukupna visina.

3) , pošto je FB baza, AB- ukupna visina.

4)

5) Slično, to se može dokazati

6) Zbrajajući pojam po termin, dobijamo:

, BC2 = AB2 + AC2 . Dokaz je potpun.

9 WAY.

Dokaz.

1) Neka ABDE- kvadrat (slika 9) čija je stranica jednaka hipotenuzi pravokutnog trokuta ABC (AB= c, BC = a, AC =b).

2) Neka DK BC i DK = sunce, budući da je 1 + 2 = 90° (kao oštri uglovi pravokutnog trokuta), 3 + 2 = 90° (kao ugao kvadrata), AB= BD(strane kvadrata).

znači, ABC= BDK(po hipotenuzi i oštrom uglu).

3) Neka EL DC, AM EL. Lako se može dokazati da je ABC = BDK = DEL = EAM (sa nogama a i b). Onda KS= CM= ML= LK= a -b.

4) SKB= 4S+SKLMC= 2ab+ (a-b),With2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

Dokaz je potpun.

10 WAY.

Dokaz se može izvesti na figuri, u šali nazvanoj " Pitagorine pantalone» (Sl. 10). Njegova ideja je da transformiše kvadrate izgrađene na katetama u jednake trokute, koji zajedno čine kvadrat hipotenuze.

ABC pomak, kao što je prikazano strelicom, i zauzima poziciju KDN. Ostatak figure AKDCB jednaka površini kvadrata AKDC- to je paralelogram AKNB.

Napravljen model paralelograma AKNB. Pomeramo paralelogram kako je skicirano u sadržaju rada. Da bismo prikazali transformaciju paralelograma u jednak trougao, pred učenicima odsiječemo trokut na modelu i pomjeramo ga prema dolje. Dakle, površina kvadrata AKDC jednaka je površini pravougaonika. Slično, pretvaramo površinu kvadrata u površinu pravokutnika.

Napravimo transformaciju za kvadrat izgrađen na nozi a(Sl. 11, a):

a) kvadrat se transformiše u paralelogram jednake veličine (slika 11.6):

b) paralelogram se okreće za četvrtinu okreta (slika 12):

c) paralelogram se transformiše u pravougaonik jednake veličine (slika 13): 11 WAY.

dokaz:

PCL- ravno (sl. 14);

KLOA= ACPF= ACED= a2;

LGBO= CVMR =CBNQ= b 2;

AKGB= AKLO+LGBO= c2;

c2 = a2 + b2.

Dokaz završen .

12 WAY.

Rice. 15 ilustruje još jedan originalni dokaz Pitagorine teoreme.

Ovdje: trougao ABC sa pravim uglom C; linijski segment bf okomito SW i jednak njemu, segment BE okomito AB i jednak njemu, segment AD okomito AC i jednak njemu; bodova F, C,D pripadaju jednoj pravoj liniji; četvorouglovi ADFB i ACBE su jednaki jer ABF = ECB; trouglovi ADF i ACE su jednaki; od oba jednaka četverougla oduzimamo zajednički trokut za njih abc, dobijamo

, c2 = a2 + b2.

Dokaz je potpun.

13 WAY.

Površina ovog pravokutnog trougla, s jedne strane, jednaka je , sa drugim, ,

3. ZAKLJUČAK

Kao rezultat aktivnosti pretraživanja postignut je cilj rada, a to je dopuna i generalizacija znanja o dokazu Pitagorine teoreme. Bilo je moguće pronaći i razmotriti različite načine dokazivanja i produbljivanja znanja o ovoj temi tako što se izlazilo dalje od stranica školskog udžbenika.

Materijal koji sam prikupio još je uvjerljiviji da je Pitagorina teorema velika teorema geometrije i da je od velike teorijske i praktične važnosti. U zaključku, želio bih reći: razlog popularnosti Pitagorine teoreme o trojstvu je ljepota, jednostavnost i značaj!

4. KORIŠTENA LITERATURA.

1. Zabavna algebra. . Moskva "Nauka", 1978.

2. Sedmični nastavno-metodički dodatak listu "Prvi septembar", 24/2001.

3. Geometrija 7-9. i sl.

4. Geometrija 7-9. i sl.

Pitagorina teorema je svima poznata još od školskih dana. Izvanredan matematičar dokazao velika hipoteza koji trenutno koriste mnogi ljudi. Pravilo zvuči ovako: kvadrat dužine hipotenuze pravokutnog trokuta jednak je zbroju kvadrata kateta. Dugi niz decenija nijedan matematičar nije uspeo da ospori ovo pravilo. Uostalom, Pitagora je dugo hodao prema svom cilju, tako da su se crteži odvijali u svakodnevnom životu.

1. Mali stih ove teoreme, koji je izmišljen ubrzo nakon dokaza, direktno dokazuje svojstva hipoteze: "Pitagorine pantalone su jednake u svim smjerovima." Ova dva stiha ostala je u sjećanju mnogih ljudi - do danas se pjesma pamti u proračunima.
2. Ova teorema je nazvana "Pitagorine pantalone" zbog činjenice da se pri crtanju u sredini dobija pravougaoni trougao, na čijim su stranama bili kvadrati. Po izgledu, ovaj crtež je podsjećao na hlače - otuda i naziv hipoteze.
3. Pitagora je bio ponosan na razvijenu teoremu, jer se ova hipoteza od sličnih razlikuje po maksimalnoj količini dokaza. Važno: jednačina je uvrštena u Ginisovu knjigu rekorda zbog 370 istinitih dokaza.

   

4. Hipoteza je dokazana velika količina matematičari i profesori iz različite zemlje na mnogo načina. Engleski matematičar Jones, ubrzo nakon objave hipoteze, to je dokazao uz pomoć diferencijalne jednadžbe.

   

5. Trenutno niko ne zna dokaz teoreme od samog Pitagore. Činjenice o dokazima jednog matematičara danas nisu nikome poznate. Vjeruje se da je dokaz Euklidovih crteža dokaz Pitagore. Međutim, neki naučnici raspravljaju s ovom tvrdnjom: mnogi vjeruju da je Euklid samostalno dokazao teoremu, bez pomoći tvorca hipoteze.

   

6. Sadašnji naučnici su otkrili da veliki matematičar nije bio prvi koji je otkrio ovu hipotezu.. Jednačina je bila poznata mnogo prije Pitagorinog otkrića. Ovaj matematičar je uspio samo da ponovo objedini hipotezu.

   

7. Pitagora nije dao jednačini naziv "Pitagorina teorema". Ovaj naziv je fiksiran nakon "glasne dvije linije". Matematičar je samo želio da cijeli svijet prepozna i iskoristi njegove napore i otkrića.

   

8. Moritz Kantor - najveći najveći matematičar pronašao je i vidio bilješke sa crtežima na drevnom papirusu. Ubrzo nakon toga, Cantor je shvatio da je ova teorema bila poznata Egipćanima još 2300. godine prije Krista. Tek tada to niko nije iskoristio i nije pokušao da to dokaže.

   

9. Sadašnji naučnici smatraju da je hipoteza bila poznata još u 8. veku pre nove ere. Indijanac naučnici toga vrijeme otkrio približno izračunavanje hipotenuze trokuta s pravim uglovima. Istina, u to vrijeme niko nije mogao sa sigurnošću dokazati jednačinu približnim proračunima.

   

10. Veliki matematičar Bartel van der Waerden, nakon što je dokazao hipotezu, zaključio je važan zaključak: „Zasluga grčkog matematičara ne smatra se otkriće pravca i geometrije, već samo njeno opravdanje. U rukama Pitagore su bile proračunske formule koje su se zasnivale na pretpostavkama, netačnim proračunima i nejasnim idejama. Međutim, izvanredni naučnik je uspeo da to pretvori u egzaktnu nauku.”

    

11. Poznati pjesnik je rekao da je na dan otkrića svog crteža prinio veličanstvenu žrtvu bikovima. Nakon otkrića hipoteze, proširile su se glasine da je žrtvovanje stotinu bikova "lutalo stranicama knjiga i publikacija". Umovi se do danas šale da se od tada svi bikovi boje novog otkrića.

    

12. Dokaz da Pitagora nije smislio pjesmu o pantalonama kako bi dokazao crteže koje je iznio: za života velikog matematičara još nije bilo pantalona. Izmišljeni su nekoliko decenija kasnije.
13. Pitagorina razmišljanja o vlastitom pravilu: tajna onoga što postoji na zemlji leži u brojevima. Uostalom, matematičar je, oslanjajući se na vlastitu hipotezu, proučavao svojstva brojeva, otkrio parnost i neparnost i stvorio proporcije.

    

poznati Pitagorina teorema - "U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze je jednak zbiru kvadrata kateta"- znaju svi iz školske klupe.

Pa da li se sećate "pitagorejske pantalone", koji "jednaki u svim pravcima"- šematski crtež koji objašnjava teoremu grčkog naučnika.

Evo a i b- noge i With- hipotenuza:

Sada ću vam reći o jednom originalnom dokazu ove teoreme, za koji možda niste znali...

Ali prvo, pogledajmo jedan lema- dokazana tvrdnja koja nije korisna sama po sebi, već za dokazivanje drugih tvrdnji (teorema).

Uzmite pravougli trokut sa vrhovima X, Y i Z, gdje Z- pravi ugao i ispusti okomicu iz pravog ugla Z na hipotenuzu. Evo W- tačka u kojoj visina seče hipotenuzu.

Ova linija (okomita) ZW dijeli trokut u slične kopije samog sebe.

Da vas podsjetim da se nazivaju slični trouglovi čiji su uglovi jednaki, a stranice jednog trokuta su proporcionalne sličnim stranicama drugog trougla.

U našem primjeru, formirani trokuti XWZ i YWZ su slični jedni drugima i također slični originalnom trokutu XYZ.

To je lako dokazati.

Počevši od trougla XWZ, imajte na umu da je ∠XWZ = 90 i tako ∠XZW = 180-90-∠X. Ali 180–90-∠X -  je upravo ono što je ∠Y, tako da trougao XWZ mora biti sličan (svi uglovi jednaki) trouglu XYZ. Ista vježba se može uraditi za trokut YWZ.

Lemma dokazana! U pravokutnom trokutu, visina (okomita) spuštena na hipotenuzu dijeli trokut na dva slična, koji su zauzvrat slični originalnom trokutu.

Ali, da se vratimo na naše "pitagorejske pantalone"...

Ispustite okomicu na hipotenuzu c. Kao rezultat, imamo dva pravokutna trougla unutar našeg pravokutnog trokuta. Označimo ove trouglove (na gornjoj slici u zelenoj boji) slova A i B, i originalni trokut - slovo OD.

Naravno, površina trougla OD jednak je zbiru površina trouglova A i B.

One. ALI+ B= OD

Sada prelomimo figuru na vrhu („Pitagorine pantalone“) na tri kućne figure:

Kao što već znamo iz leme, trouglovi A, B i C su slične jedna drugoj, stoga su rezultirajuće figure kuća također slične i skalirane su jedne druge.

To znači da je omjer površina A i a², -  je isto kao i omjer površina B i b², kao i C i c².

Tako imamo A / a² = B / b² = C / c² .

Označimo ovaj omjer površina trougla i kvadrata u kućici figura slovom k.

One. k- ovo je određeni koeficijent koji povezuje površinu trokuta (krova kuće) sa površinom kvadrata ispod njega:
k = A / a² = B / b² = C / c²

Iz toga slijedi da se površine trokuta mogu izraziti u smislu površina kvadrata ispod njih na ovaj način:
A = ka², B = kb², i C = kc²

Ali sećamo se toga A+B=C, što znači ka² + kb² = kc²

Or a² + b² = c²

A ovo je dokaz Pitagorine teoreme!

Okrećući se istoriji, Pitagorinu teoremu, iako nosi ime Pitagora, on nije otkrio. Budući da su posebna svojstva pravokutnog pravokutnika, naučnici su počeli proučavati mnogo ranije od njega. Međutim, postoje dvije tvrdnje. Prvi kaže da je Pitagora dokazao teoremu. Drugi, respektivno, da nije. Trenutno nije moguće provjeriti koje je od ovih mišljenja ispravno, ali nažalost, ako je postojao Pitagorin dokaz, onda on nije opstao do našeg vremena. Postoji i mišljenje da je Euklidov dokaz izveo Pitagora, a Euklid ga je javno objavio.
Nesumnjivo je da su u Egiptu za vrijeme vladavine faraona postojala pitanja s pravokutnim trouglom. Takođe je učestvovao u istoriji Babilona. Iz čega možemo zaključiti da je ova teorema bila zanimljiva od davnina. Do danas postoji 367 različitih dokaza. Ono čime se ne može pohvaliti nijedna druga teorema.

Napomena: Ako tražite laboratorijski namještaj ili samo želite kupiti napu (http://www.labmet.ru/shkafy-vytyazhnye.html). Pratite ovaj link i kupite sve što vam je potrebno. Kvalitet zagarantovan!

Pogledajmo glavne dokaze.

1 Dokaz Pitagorine teoreme.

Vjeruje se da je to lak način. Koristi pravilne trouglove.

ako uzmemo jednakokraki pravokutni trokut ABC, od hipotenuze AC možemo izgraditi kvadrat u kojem se nalaze 4 slična trokuta. Uz pomoć kraka AB i BC grade se kvadrati koji sadrže još dva ista trougla.

2 Dokaz Pitagorine teoreme.

Kombinira algebru i geometriju. Nacrtaj pravougli trougao abc. I 2 kvadrata jednaka dvije dužine kateta a + b. Zatim ćemo napraviti konstrukciju, kao na slikama 2, 3. Kao rezultat, dobićemo dva kvadrata sa stranicama a i b. Drugi kvadrat sadrži 4 trokuta, formirajući tako kvadrat jednak hipotenuzi c. Zanimljivo je da je ukupna površina kvadrata na Sl. 2, 3 jednake jedna drugoj.
Sumirajući sve u formuli koju dobijamo. a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 4 * 1/2 * a * b. Otvarajući zagrade, dobijamo a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Površina na slici 3 se izračunava kao S=c 2 ili a 2 + b 2 = c 2 .h.t.d.


3 Dokaz Pitagorine teoreme.

Dokaz se nalazi u 12. veku, u staroj Indiji.

Konstruirajte 4 trokuta (pravokutna) u kvadratu. Hipotenuza će biti stranica c, kateta u trouglu a i b. Izračunavamo površinu velikih kvadrata - S \u003d c 2, i unutrašnje
(a-b) 2 2 +4 * 1/2 * a * b. Iz čega se zaključuje da je c 2 = (a-b) 2 2+ 4 * 1/2 * a * b, i prema tome, c 2 \u003d a 2 + b 2.

4 Dokaz Pitagorine teoreme.

Bazirana na geometriji, nazvana Garfieldova metoda. Konstruisanjem pravouglog trougla ABC nalazimo dokaz da je BC2=AC2+AB2.Nastavimo krak AC, stvarajući pravu CD jednaku kraku AB. Povezujući pravu i ugao E okomito na AD, dobijamo ED. Prave AC i ED su jednake.

Za dokaz ovu akciju, mi ćemo također koristiti dvije metode, izjednačavajući ove izraze.
Pronađite površinu poligona ABED. Budući da AB = CD, AC = ED, BC = CE, onda S ABED = 2 * 1/2 (AB * AC) + 1/2 BC 2.
Vidimo da je ABCD trapez. Dakle, S ABCD \u003d (DE + AB) * 1 / 2AD.
Hajde da spojimo ove metode i izjednačimo ih:
AB*AC+ 1/2 BC 2 = (DE+AB)*1/2(AC+CD).
Pojednostavite AB*AC +1/2BC 2 = 1/2(AB+AC) 2 .
Otvarajući zagrade, dobijamo: AB * AC + 1 / 2BC 2 = 1 / 2 AC + 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2 AB 2.
Rezultat: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. h.t.d.

Ovo nisu svi načini dokazivanja Pitagorine teoreme, već oni glavni.