1. Materiaalse punkti kinemaatika. Materiaalne punkt on füüsiline objekt, mis on geomeetriliselt samaväärne matemaatilise punktiga, kuid millel on mass. Kinemaatika on füüsika haru, mis uurib kehade liikumistüüpe, arvestamata liikumise põhjuseid. Punkti asukohta ruumis iseloomustab raadiusvektor. Punkti raadiuse vektor on vektor, mille algus langeb kokku koordinaatsüsteemi alguspunktiga ja lõpp kõnealuse punktiga. r = i x+ j y + k z. Kiirus on vahemaa, mille keha läbib ajaühikus v(t) = d r/dt. v(t) = i dx/dt + j dy/dt + k dz/dt. Kiirendus on kiiruse muutumise kiirus. a= d v/dt = d 2 r/ dt 2 = i d 2 x/dt 2 + j d 2 a/dt 2 + k d 2 z/dt 2 . a = a τ + a n= τ dv/dt + n v 2 /R.

d r = v dt; d v = a dt seega v = v 0 + a t; r = r 2 – r 1 = v 0t+ a t 2 /2.

2. Materiaalse punkti dünaamika. Newtoni seadused. Dünaamika põhimõisted on massi ja jõu mõiste. Jõud on liikumise põhjus, st. jõu mõjul omandavad kehad kiiruse. Jõud on vektorsuurus. Mass on keha inertsi mõõt. Massi ja kiiruse korrutist nimetatakse impulsiks lk= m v. Materiaalse punkti nurkimpulss on vektor L = r * lk. Materiaalsele punktile mõjuvat jõumomenti nimetatakse vektoriks M = r * F. Kui eristada nurkmomendi avaldist, saame: d L/ dt = d r/dt* lk + r*d lk/dt. Võttes arvesse, et d r/dt= v Ja v paralleelselt lk, saame d L/dt= M.Newtoni seadused. Newtoni esimene seadus ütleb, et keha jääb puhkeolekusse või ühtlasesse sirgjoonelisele liikumisele, välja arvatud juhul, kui sellele mõjuvad muud jõud või kui nende tegevust ei kompenseerita. Newtoni teine ​​seadus ütleb, et impulsi muutus ajas on konstantne suurus ja võrdub efektiivse jõuga d lk/ dt = d / dt (m v) = m d v/dt= F.See on Newtoni teine ​​seadus, mis on kirjutatud diferentsiaalkujul. Newtoni kolmas seadus ütleb, et kahe keha vastasmõjus mõjub kumbki teine ​​samasuuruse, kuid vastupidise suunaga jõuga. F 1 = - F 2 .

3. Materiaalsete punktide süsteemi dünaamika. Looduskaitseseadused. Materiaalsete punktide süsteem on nende lõpliku arvu kogum. Süsteemi igale punktile mõjuvad sisemised (teistest punktidest) ja välised jõud. Olgu m mass ja r i raadiuse vektor. x i, y i, z i – juhe. i-s punkt. Materiaalsete punktide süsteemi impulss on süsteemi moodustavate materiaalsete punktide impulsside summa: lk= Σ (i=1,n) lk i = [ lk 1 + lk 2 +…+ lk n]. Materiaalsete punktide süsteemi nurkimpulss on nurkimpulsi summa, mis moodustab materiaalsete punktide süsteemi: L = Σ [ L i ] = Σ [ r mina* lk i]. Materiaalsete punktide süsteemile mõjuv jõud on defineeritud kui kõigi süsteemi punktidele mõjuvate jõudude summa, sealhulgas süsteemi punktide vastasmõju jõud: F = Σ [ F i ], kus F i = F i ’ + Σ(j ≠ i) F ji on jõud, mis mõjub süsteemi materiaalsele punktile, mida tähistab indeks i. See koosneb välisest jõust F i ’ ja sisejõud Σ(i ≠ j) [ F ji ], mis toimib punktile vastasmõju tulemusena süsteemi teiste punktidega. Siis: F = Σ (i=1,n) [ F i ’] + Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [ F ji]. Vastavalt Newtoni kolmandale seadusele Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [ F ji ] = 0, seega F = Σ [ F mina']. Materiaalsete punktide süsteemile mõjuv jõumoment on süsteemi punktidele rakendatud jõudude momentide summa M= Σ (i) [ M i ] = Σ (i) [ r mina* F i ] = Σ (i) [ r mina* F mina']. Materiaalsete punktide süsteemi puhul on liikumisvõrrandi kuju d lk/ dt = Σ = Σ [ F i].

Materiaalsete punktide süsteemi massikese on raadiusevektoriga kujuteldav punkt R= 1/m Σ. Tema liikumise kiirus V= d R/dt. Siis liikumisvõrrand m d V/dt= F. Momendi võrrand materiaalsete punktide süsteemi jaoks d L/dt= M. Looduskaitseseadused. Isoleeritud süsteem on selline, mida välised jõud ei mõjuta. Selles F= 0, seega d lk/dt = 0. Siis lk= konst. Isoleeritud süsteemis välisjõudude hetk M= 0. Seetõttu d L/dt = 0, mis tähendab L= konst. Materiaalse punkti kineetilise energia muutumine selle kahe positsiooni vahel liikumisel on võrdne jõu poolt tehtava tööga. m 0 v 2 2/2 – m 0 v 1 2 /2 = ∫(1,2) F d l või m 0 v 2 /2 + E p = konst.

4. Liikumine tsentraalselt sümmeetrilises väljas. Kepleri seadused. Välja nimetatakse tsentraalseks, kui selles oleva keha potentsiaalne energia sõltub ainult kaugusest r teatud kindla punktini. Jõud F= - ∂U(r)/ ∂ r= - dU/dr r/r osakesele mõjuv, absoluutväärtuses sõltub samuti ainult r-st ja on suunatud igasse punkti piki raadiusvektorit. Keskväljal liikudes säilib süsteemi moment välja keskpunkti suhtes. Ühe osakese jaoks hetk M = [r*R]. Kuna vektorid M ja r on üksteisega risti, siis M konstantsus tähendab, et osakese liikumisel jääb tema raadiuse vektor alati ühte tasapinda - M-ga risti olevale tasapinnale. Seega on osakese trajektoor keskväljas täielikult üks lennuk. Olles sisestanud sellesse polaarkoordinaadid r, φ, kirjutame Lagrange'i funktsiooni kujul L = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) - U(r). See funktsioon ei sisalda otseselt φ-koordinaati. Sellise koordinaadi korral on vastav üldistatud impulss p i liikumise integraal. Sel juhul langeb üldistatud impulss p φ = mr 2 φ(∙) kokku momendiga M z = M, seega M = mr 2 φ(∙) (1). Pange tähele, et ühe osakese tasapinnalise liikumise puhul keskväljas võimaldab see seadus lihtsat geomeetrilist tõlgendust. Avaldis 1/2 r r d φ tähistab sektori pindala, mille moodustavad kaks lõpmata lähedal asuvat raadiusvektorit ja trajektoori kaareelementi. Tähistades seda kui df, kirjutame osakese momendi kujul M = 2mf, kus f tuletist nimetatakse sektorikiiruseks. Seetõttu tähendab impulsi jäävus sektoraalse kiiruse püsivust – võrdsetel ajaperioodidel kirjeldab liikuva punkti raadiuse vektor võrdseid alasid ( Kepleri teine ​​seadus). Väljendades φ(∙) kuni M punktist (1) ja asendades selle energia avaldisega, saame: E = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) + U(r) = mr 2 (∙)/2 + M2/2mr2 + U(r). Seega r(∙) = √(2/m (E – U(r)) – M 2 /m 2 r 2) või muutujate eraldamisel ja integreerimisel: t = ∫dr/√(2/m (E – U( r)) - M 2 /m 2 r 2) + konst. Järgmisena kirjutades (1) kujul dφ = M 2 /mr 2 dt, asendades siin dt ja integreerides, leiame: φ = ∫dr (M/r 2)/√(2/m (E – U(r)) ) - M 2 /r 2) + konst. Kepleri esimene seadus. Iga planeet tiirleb ellipsis, mille ühes fookuses on Päike. Kepleri kolmas seadus. Planeetide tähtede pöördeperioodide ruudud on seotud nende orbiitide poolsuurte telgede kuubikutena T 1 2 /T 2 2 = a 1 3 /a 2 3 .

5. Lagrange'i funktsioon ja Lagrange'i võrrandid materiaalsete punktide süsteemist. Liikumise integraalid. Vaatleme materiaalsete punktide suletud süsteemi. Selle Lagrange'i funktsioon on kujul L = Σ(a) – U(r 1 , r 2 , …), kus T = Σ (a) on kineetiline energia ja U on osakeste interaktsiooni potentsiaalne energia. Siis on liikumisvõrrandid d/dt (∂L/∂v a) = ∂L/∂r a kujul m a dv a /dt = - ∂U/∂r a . Neid liikumisvõrrandeid nimetatakse Newtoni võrranditeks. Vektor F a = - ∂U/∂r a nimetatakse jõuks. Kui liikumise kirjeldamiseks ei kasutata punktide Descartes'i koordinaate, vaid suvalisi üldistatud koordinaate q i, siis Lagrange'i funktsiooni saamiseks on vaja teha vastav teisendus: x a = f(q 1, q 2, .., q s) , x a (∙) = Σ(k ) [∂f a /∂q k (∙)] jne. Asendades need avaldised funktsiooniga L= 1 / 2 Σ(a) – U, saame soovitud kujuga Lagrange'i funktsiooni L = 1/2 Σ(i,k) – U(q). Liikumise integraalid. On üldistatud koordinaatide funktsioone, mis säilitavad liikumise ajal konstantsed väärtused, sõltuvalt ainult algtingimustest. Neid nimetatakse liikumisintegraalideks. Aja homogeensuse tõttu on dL/ dt = Σ(i) [∂L/∂q i q i (∙)] + Σ(i) [∂L/∂q i (∙) q i (∙∙)]. Asendades ∂L/∂q i vastavalt Lagrange'i võrranditele d/dt-ga (∂L/∂q i (∙)), saame dL/dt = Σ(i) või d/dt (Σ(i) - L) = 0 Sellest näeme , et suurus E = Σ(i) – L, mida nimetatakse energiaks, ei muutu, s.t. liikumise integraal. Ruumi homogeensuse tõttu lõpmata väikese ülekandega ε, kui süsteemi kõik punktid on nihutatud väärtusega ε = δr, peab Lagrange'i funktsiooni muutus, mis võrdub δL = ε Σ(a) [∂L/∂r a ], olema võrdne nulli, st. Σ(a) [∂L/∂r a ] = 0. Lagrange'i võrrandite abil saame Σ(a) = d/dt (Σ(a)[ ∂L/∂v a ]) = 0. Seejärel suurus R= Σ(a)[ ∂L/∂v a ], mida nimetatakse impulsiks, jääb muutumatuks, st. liikumise integraal. Ruumi isotroopia tõttu lõpmata väikese pöördega läbi nurga δφ muutub Lagrange'i funktsiooni muutus δL = Σ(a) [∂L/∂r a δ r a + ∂L/∂v a δ v a ] peab olema võrdne nulliga. Pärast asendamist ∂L/∂ v a = lk a ja ∂L/∂ r a = lk a (∙) δφ meelevaldsuse tõttu saame d/dt Σ(a) [ r a lk a ] = 0. Väärtus M = Σ(a) [ r a lk a ], mida nimetatakse nurkmomendiks, jääb konstantseks, s.t. liikumise integraal.

6. Absoluutselt jäiga keha dünaamika. Inertsi tensor. Euleri võrrandid. Jäik keha on materiaalsete punktide süsteem, mille vaheline kaugus jääb muutumatuks. Jäiga keha liikumise täielikuks kirjeldamiseks on lisaks selle ühe punkti liikumisele vaja teada keha liikumist selle punkti ümber kui fikseerimispunkti. Olgu keha fikseeritud punktis O. Tähistame punkti m i raadiusvektorit O suhtes r mina, w on keha hetkeline nurkkiirus, siis nurkimpulss L= Σ [ r ma * ma olen v i ] = Σ = wΣ – Σ. Selle vektori võrdsuse saab kirjutada kolme projektsiooni kujul koordinaattelgedele L x = w x Σ - Σ ; L y = w y Σ - Σ ; L z = w z Σ - Σ . Võttes arvesse, et ( w r i) = x i w x + y i w y + z i w z saame L x = J xx w x + J xy w y + J xz w z ; L y = J yx w x + J yy w y + J yz w z ; L x = J zx w x + J zy w y + J zz w z, kus J xx = Σ, J xy = Σ, teised sarnaselt. Suurusi J xx , J yy , J zz nimetatakse aksiaalseteks inertsimomentideks ja J xy = J yx , J xz = J zx , J yz = J zy – tsentrifugaalinertsimomentideks. Suuruste hulka J ij nimetatakse inertsi tensoriks. J ii elemente nimetatakse diagonaalideks. Kui kõik mittediagonaalsed elemendid on võrdsed nulliga, siis nad ütlevad, et keha teljed, mis langevad kokku koordinaattelgedega, on peamised inertsi teljed ja suurusi J ii nimetatakse peamisteks inertsimomentideks. Selline tensor taandatakse diagonaaliks.

Euleri võrrandid. Keha massikeskme liikumisvõrrand on kujul m d v 0 /dt = m d/dt ( w * r 0) = F, Kus r 0 – keha massikeskme raadiuse vektor, mis on tõmmatud selle kinnituspunktist. Kehaga seotud koordinaatsüsteemi telgi on mugav suunata mööda inertsi põhitelgi. Sel juhul saab nurkimpulss lihtkuju L 1 = J 1 w 1, L 2 = J 2 w 2, L 3 = J 3 w 3 ja w i on nurkkiiruse projektsioonid liikuvatele koordinaattelgedele kehaga. Kasutades üldvalemit d A/dt = ∂ A/∂t + w* A, saame momendivõrrandit esitada järgmiselt ∂ L/∂t + w * L = M. Võttes arvesse, et L x = J x w x, L y = J y w y, L z = J z w z, kirjutame selle võrrandi ümber projektsioonides liikuva koordinaatsüsteemi teljele: J x dw x /dt + (J z - J y )w y w z = M x , J y dw y /dt + (J x – J z)w z w x = M y , J z dw z /dt + (J y – J x)w x w y = M z . Neid võrrandeid nimetatakse Euleri võrranditeks.

7. Liikumine mitteinertsiaalsete tugisüsteemide suhtes. NISO on süsteem, kassis. keha liigub puhkeoleku suhtes kiirendusega. koordineerimissüsteemid Siin ei täitu ruumi ja aja homogeensuse ja isotroopia mõisted, sest kestus ja ulatus NISO-s erinevad. Lisaks läheb kaotsi Newtoni 3. printsiibi sisu ja alalhoiu põhimõtted. Kõige põhjuseks on ainult koordinaatsüsteemiga seotud inertsjõud, kat. mõjutada keha liikumist. SEE. kiirendust saab muuta välisjõu või inertsjõu abil. F=∑Fi=ma (ISO), F=F(ext.)+Fi=ma′(NISO), kus Fi on inertsiaaljõud, a on kiirendus. kehad ISO-s, a′-kiirendus. sama keha NISOS. NISO-s ei ole Newtoni 1. seadus täidetud! Fi=-m(a'-a), st. inertsiaaljõud ei allu Newtoni 3. seadusele, sest need on lühiajalised. ISO-lt NISO-le üleminekul inertsiaalsed jõud kaovad. Inerts jõud on alati suunatud silmalaugude vastu. välised jõud. Inertsjõude saab vektoraalselt liita. ISO-s: v=const, v<

dx/dt=Ux=dx′/dt+dv(t)/dt′=U′x+v(t) dUx/dt=d/dt′(U′x+v(t))=dU′x/ dt′+dv(t)/dt′=a x ' + a 0 = a x . NISO tutvustab absoluutse, suhtelise ja kaasaskantava kiiruse kontseptsioone: u 0 on absoluutne kiirus ja 0 on suhteline kiirendus. puhkamas koordineerimissüsteemid

u x 0 = v + u x 0 '; a x 0 = a’ + a x ; u x ’ a x - kiiruse ja kiirenduse suhteline. liikumine koordineerimissüsteemid (sugulane) ; v, a′-kiirus ja kiirendatud. to′ viitab. juurde, s.t. kaasaskantav kiirus ja kiirendus

8. Hamiltoni variatsiooniprintsiip. (vähima tegevuse põhimõte).

Seal on üldistatud koordinaatide, kiiruse, aja funktsioon. Vaatleme 2S-mõõtmelist ruumi, siis süsteemi asukoht S = ∫(t 1 , t 2) L(g, g( ), t)dt, L on Lagrange'i funktsioon; S- tegevus. Toimingu funktsiooni nimetatakse itnegraliks S=∫ Ldt=0, kat. võetuna mööda tegelikku liikumistrajektoori, on süsteemil minimaalne väärtus, st. S = Smin, δS = 0. Need. süsteem 1-st 2 liigub mööda sellist trajektoori, et tema tegevus on minimaalne – Hamiltoni vähima tegevuse põhimõte. L = T – U on süsteemi kineetilise ja potentsiaalse energia vahe. Hamiltoni sõnul vastab tegelik trajektoor minimaalsele tegevusele. Leiame trajektoori. Tegelik trajektoor on minimaalne trajektoor. S-funktsionaalne. Leiame selle min. δS = 0 esimene variatsioon. δS = ∫(t1,t2)(Σ[∂L/∂g i δg i ] + Σ[∂L/∂g i ( ) δg i ( )])dt; ∫(t 1 , t 2) ∂L/∂g i ( ) δg i ( ) dt = ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) dδg i = ∂L/∂g i ( ) δg 1 ,t 2) - ∫(t 1,t 2) δg i d/dt (∂L/∂g i ( )) dt;

;

δg i ei sõltu üksteisest
=0
tegelikul trajektooril peab olema täidetud järgmine võrrand:
- Lagrange'i võrrand (mis tahes i= 1,…S korral).

9. Ühe ja mitme vabadusastmega süsteemide võnkumised. Vabad ja sunnitud vibratsioonid . Lihtsaim juhtum on siis, kui süsteemil on üks vabadusaste. Stabiilne tasakaal vastab süsteemi sellele asendile kassil. selle potentsiaal et. U(q) on miinimum. Sellest asendist kõrvalekaldumine toob kaasa jõu – dU/dq – tekkimise, mis kipub süsteemi tagasi viima. q 0 - üldistatud koordinaat. Laiendame U(q) - U(q0) astmeteks ja saame U(q) - U(q0) ≈ k/2 (q - q 0) 2 kus k = U’’(q 0) on positiivne koefitsient. U(q 0) = 0, tähistame x = q - q 0 - koordinaadi kõrvalekallet tasakaaluväärtusest, siis U(x) = kx 2 /2 – potentsiaalne energia. 1/2a(q) q' 2 =1/2a(q)x' 2 -kineetiline energia q = q0 ja a(q0) = m juures saame Lagrange'i funktsiooni ühemõõtmelisi võnkumisi sooritavale süsteemile: L = mx 2 (∙) /2 – kx 2 /2. Sellele funktsioonile vastav liikumisvõrrand on: mx(∙∙) + kx = 0 või x(∙∙) + w 2 x = 0, kus w = √(k/m) on tsüklilise võnkesagedus. Nende võrrandite lahendus on x = a cos(wt + α), kus a on võnkumiste amplituud, wt + α on võnkumiste faas. See. võnkuva süsteemi energia on E = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2. Sunnitud vibratsioonid. Sel juhul on süsteemil koos oma potentsiaalse energiaga ½ kx 2 ka välisvälja toimega seotud potentsiaalne energia U e (x, m). Vastavalt sellele on sellise süsteemi Lagrange'i funktsioon: L = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2 + x F(t), kus F(t) on välisjõud.

Vastav liikumise tase on mx(∙∙) + kx = F(t) või x(∙∙) + w 2 x = F(t)/m. Kui F(t) on lihtne perioodiline ajafunktsioon teatud sagedusega γ: F(t) = f cos(γt + β), siis on liikumisvõrrandi lahendus: X = a cos(wt + α) + f cos(γt + β)/(m(w 2 – γ 2)) a ja α määratakse algtingimustest. See. liikuva jõu mõjul teeb süsteem liikumist, mis kujutab endast kahe võnke kombinatsiooni - süsteemi loomuliku sagedusega w ja liikuva jõu sagedusega - γ. Mitme vabadusastmega süsteemide võnkumised . Tugev. et. süsteemil U(q i) on miinimum q i =q i 0 juures. Tuues sisse väikesed nihked x i = q i - q i 0 ja laiendades U nende mõistes, kuni 2. järku liikmeteni, saame potentsiaali. energia: U = 1/2 Σ(i,k) , k ik =k ki . Kinet. et. sellise süsteemi jaoks on 1/2 Σ(i,k) , kus m ik =m ki . Lagrange'i võrrand sellise süsteemi jaoks on: L = 1/2 Σ(i,k) . Siis dL = Σ(i,k) . Otsime x k (t) kujul x k = A k exp(-iwt), A k on konstant. Asendades selle Lagrange'i võrrandiga, saame lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemi. Σ(k) [(-w 2 m ik +k ik)A k ] = 0 - iseloomulik võrrand, sellel on s erinevad juured w 2 α (α=1,2,….,s) w α - omasagedused süsteem. Süsteemi konkreetne lahendus on kujul: x k = ∆ kα C α exp(-iw α t). Üldlahend on kõigi osalahenduste summa: x k = Σ(α) [∆ kα Q α ], kus Q = Re (C α exp(-iw α t)).

10. Hamiltoni kanooniline võrrand. Mehaanika küsimuste uurimisel annab mitmeid eeliseid üldistatud koordinaatide ja impulsside kirjeldus, üleminek sõltumatute muutujate hulgast teise saab teostada Legendre teisenduse abil. Sel juhul taandub see järgmisele. Lagrange'i funktsioonide summaarne diferentsiaal koordinaatide ja kiiruste funktsioonina on võrdne: dL = Σ(i) [∂L/∂q i ] + Σ(i) [[∂L/∂q i (∙)]. Selle avaldise saab kirjutada kujul dL = Σ(i) + Σ(i) . Kirjutame selle ümber kujul: d(Σ(i) – L) = - Σ(i) + Σ(i) . Diferentsiaalmärgi all olev suurus tähistab süsteemi energiat, mida väljendatakse koordinaatide ja momentidena ning seda nimetatakse Hamiltoni funktsiooniks: H(p,q,t) = Σ(i) – L. Diferentsiaalist. võrrandid dH = - Σ(i) + Σ(i) järgivad võrrandeid: q i (∙) = ∂H/∂p i, p i (∙) = - ∂H/∂q i – need on Hamiltoni võrrandid. Lihtsuse ja sümmeetria tõttu kutsutakse neid ka. kanooniline. Poissoni sulud.Üldistatud koordinaatide, impulsside ja aja mis tahes funktsiooni F ajatuletis on dF/dt = ∂F/∂t + Σ(i) [∂F/∂q i dq i /dt] + Σ(i) [∂F/ ∂p i dp i /dt]. Kasutades Hamiltoni võrrandeid, saame selle võrrandi ümber kirjutada järgmisel kujul: dF/dt = ∂F/∂t + , kus = Σ(i) [∂F/∂q i ∂H/∂p i - ∂H/∂q i ∂F /∂ p i ] - kutsus Poissoni sulg. Ilmselgelt saab Hamiltoni võrrandi kirjutada Poissoni sulgudes.

11. Hamiltoni-Jacobi võrrand . Väikseima tegevuse põhimõttel on S = ∫(t 1 ,t 2)Ldt. Vaatleme tegevust (S) kui suurust, mis iseloomustab liikumist mööda tõelisi trajektoore. Tuginedes Lagrange'i võrrandile tegevuse muutmiseks ühelt trajektoorilt teisele selle lähedasele trajektoorile liikumisel (ühel vabadusastmel) saame: δS = pδq või suvalise arvu vabadusastmete korral: δS = Σ(i) . Sellest järeldub, et tegevuse osatuletised koordinaatide suhtes on võrdsed vastavate impulssidega: ∂S/∂q i = p i (1). Definitsiooni järgi on dS/dt = L, teisest küljest, võttes S-i koordinaatide ja aja funktsioonina ning kasutades valemit (1), saame: dS/dt = ∂S/∂t + Σ(i) [∂S/ ∂q i q i (∙)] = ∂S/∂t + Σ(i) . Mõlemat avaldist võrreldes saame ∂S/∂t = L - Σ(i) või ∂S/∂t = - H(p,q,t) (2). Valemid (1), (2) saab kokku kirjutada kujul dS = Σ(i) – Hdt. Ja tegevus (S) ise on S = ∫ (Σ(i) – Hdt). Kui H ei sõltu t-st – S(q,t)=S 0 (q) - Et, kus S 0 (q) = Σ(i) [∫p i dq i ] on lühendatud tegevus ja Et asendatakse H( p,q) . Funktsioon S(q,t) rahuldab teatud diferentsiaali. võrrand, mille saame, asendades impulsid P seoses (2) tuletistega ∂S/∂q: ∂S/∂t + H(∂S/∂q 1 ,…, ∂S/∂q s ;q 1 ,… ,q s ,t) = 0 on esimest järku osadiferentsiaalvõrrand. Hamiltoni-Jacobi võrrand. Seega on ühe osakese jaoks välisväljas U(x,y,z,t) järgmine kuju: ∂S/∂t + 1/(2m)((∂S/∂x) 2 + (∂S/∂) y) 2 + (∂S/∂z) 2) + U(x,y,z,t) = 0.

12. Deformatsioonid ja pinged tahketes ainetes. Youngi moodul, nihke. Poissoni suhe . Deformatsioon on keha kuju ja mahu muutumine välisjõudude mõjul. Välise jõu mõjul muutub keha kuju. Kõiki looduses esinevaid deformatsioone saab vähendada 3-ni m peamised deformatsioonid: 1) pinge, surve; 2) vahetus; 3) torsioon. Esineb homogeenseid ja ebahomogeenseid deformatsioone. Kui kõik osad on võrdselt deformeerunud, siis see homogeenselt deformeerunud. Kui kõik kehaosad on ebaühtlaselt deformeerunud, siis see heterogeenselt deformeerunud. Hooke'i seadus on täidetud ainult elastse deformatsiooni piirkonnas.  = E’. F/S = E ∆l/l 0 ; F kontroll = ES∆l/l 0 = kx; k = ES/l0; F kontroll = ESx/l 0 . Hooke'i seadus määratleb suhte  ja  vahel. k on elastsuse koefitsient, see sõltub geomeetrilistest mõõtmetest, materjalist ja sellest, millest korpus on valmistatud. E-Youngi moodul. Youngi moodul on võrdne jõuga, mis tuleb rakendada ühikulise ristlõikega kehale, et selle keha suurus kahekordistuks. Teine deformatsiooniliik on nihkedeformatsioon, mida täheldatakse pinna tangentsiaalsel rakendamisel; see on paralleelne nihkedeformatsioonipinnaga ja seda täheldatakse tangentsiaalsete jõudude toimel, st jõud rakenduvad tangentsiaalselt. Ψ~F t /S (nihkenurk). Ψ = nF t/S; n on nihketegur. F t = nS. (E>N, E~ 4N).

Kvantitatiivset seost E ja N vahel täpsustatakse Poissoni suhte kaudu. N = E/(2(1+μ)), kus  on Poissoni koefitsient. μ = |∆d/d 0 |/|∆l/l 0 |. Poissoni suhe määrab põikmõõtmete muutumise pinge või kokkusurumise ajal.  0,5.

13. Vedelike ja gaaside mehaanika. Kõikide vedelike ja gaaside puhul on ühendavaks parameetriks: tihedus ρ, rõhk P=F n /S. Vedelikes ja gaasides toimub Youngi moodul, kuid nihkemoodulit |σ|=|P| ei toimu, σ on pinge. Kui vedelik (gaas) on liikumatu, siis on meil tegemist hüdrostaatikaga (aerostaatikaga). Iseloomulikud seadused: Pascali seadus: gaasides ja vedelikes tekkiv liigrõhk kandub kõikidesse suundadesse võrdselt. Archimedese põhimõte kehtib nii vedelike kui ka gaaside puhul. Archimedese jõud toimib alati gravitatsiooni vastu. Archimedese jõu ilmnemise põhjuseks on ruumala V olemasolu kehas Archimedese põhimõte: Vedelikus või gaasis paiknevale kehale mõjub alati jõud, mis on võrdne vedeliku või gaasi massiga, mis on tõrjutud kehas. sukeldatud kehaosa ja suunatud vertikaalselt ülespoole. Kui F A >F GRAVITSIOON, siis keha hõljub, kui vastupidi, siis vajub. Kui vedelik (gaas) voolab, lisatakse nendele võrranditele juga pidevuse võrrand. Osakese trajektoori vedelikus nimetatakse. praegune rida. Nimetatakse jooksva reaga piiratud ruumi osa. voolutoru. Voolutorus olev vedelik võib voolata paigal või mittepüsivalt. Voolu nimetatakse staatiline kui läbi antud toruosa on voolu ühiku kohta. aja jooksul läbib sama kogus vedelikku (gaasi), vastasel juhul on vool ebakindel. Olgu meil järgmise kujuga voolutoru: Kui vedeliku vool on staatiline. Siis m 1 =m 2 =…=m n ajaühiku kohta, kui vedelik on kokkusurumatu, siis ρ 1 V 1 =ρ 2 V 2 =…; =ρ n V n, ρ 1 Δx 1 = ρ 2 Δx 2 =…; = ρ n Δx n, ρ 1 υ 1 ΔtS 1 =ρ 2 υ 2 ΔtS 2 =…= ρ n υ n ΔtS n, kuna vedelik on kokkusurumatu ρ on konstantne υ 1 S 1 =υ= υ2 n Sn, υS=konst; υ=const/S – joa pidevuse võrrand. ρ d v/dt = ρ g– grad P – ekv. Euler - 2. järk. Newton vedelike ja gaaside jaoks. Seadus säilinud Energia vedelikes ja gaasides. Lv. Bernoulli. ID. Nimi Kokkusurumatu vedelik, milles viskoosseid hõõrdejõude saab tähelepanuta jätta. Kineetilist energiat ei raisata hõõrdejõudude vastu töö tegemiseks. Ρυ 2 /2+ρgh + P = konst – ekv. Bernoulli, ρυ 2 /2 – dünaamiline rõhk, ρgh – hüdrostaat. Surve, P – molekulaarrõhk. Mυ2/2 = EK; mυ 2 /2V= E K /V= ρυ 2 /2. Viskoosne hõõrdejõud F A = ​​​​- ηΔυΔS/ΔZ  6 π r η υ – Stokesi jõud. Η - koefitsient viskoossus, Δυ/ΔZ – grad υ, r – kere mõõtmed. See on Newtoni viskoossete hõõrdejõudude valem. Kui vedelikus on hõõrdejõud, siis id. Vedelik muutub viskoosseks. ρ v 1 2 / 2 + ρgh 1 + P 1 = ρ v 2 2 / 2 + ρgh 2 + P 2 ; (P 1 – P 2) = ρ(υ 2 2 – υ 1 2)/2. Kui ΔP = 0, siis υ 2 2 – υ 1 2 = 0 ja vedeliku voolu ei toimu. Kus P on suurem, seal on kiirus. Voolu on vähem. Kui ristlõige S suureneb, siis P suureneb ja υ väheneb. Kui voolutoru ei asu horisontaalselt, siis υ 2 2 -υ 1 2 =2g (h 1 -h 2); υ = sqrt(2g (h 1 -h 2)) – Torricelli valem.

Nad järgivad seda ja seetõttu on see põhimõte üks kaasaegse füüsika põhisätteid. Selle abil saadud liikumisvõrrandeid nimetatakse Euleri-Lagrange'i võrranditeks.

Põhimõtte esimese sõnastuse andis aastal P. Maupertuis, tuues kohe välja selle universaalse olemuse, pidades seda kohaldatavaks optika ja mehaanika osas. Sellest põhimõttest tuletas ta valguse peegelduse ja murdumise seadused.

Lugu

Maupertuis jõudis selle põhimõtteni tundest, et Universumi täiuslikkus nõuab looduses teatud ökonoomsust ja on vastuolus igasuguse asjatu energiakuluga. Loomulik liikumine peab olema selline, et teatud kogus oleks minimaalne. Ta pidi vaid selle väärtuse üles leidma, mida ta jätkas. See oli süsteemisisese liikumise kestuse (aja) korrutis kahekordse väärtusega, mida me nüüd nimetame süsteemi kineetiliseks energiaks.

Euler (in "Reflexions sur quelques loix générales de la nature", 1748) võtab kasutusele vähima tegevuse põhimõtte, nimetades tegevust pingutuseks. Selle väljendus staatikas vastab sellele, mida me praegu nimetaksime potentsiaalseks energiaks, nii et selle väide vähima toime kohta staatikas on võrdne tasakaalukonfiguratsiooni minimaalse potentsiaalse energia tingimusega.

Klassikalises mehaanikas

Väikseima tegevuse põhimõte on Lagrangi ja Hamiltoni mehaanika formulatsioonide põhiline ja standardne alus.

Kõigepealt vaatame konstruktsiooni järgmiselt: Lagrangi mehaanika. Ühe vabadusastmega füüsilise süsteemi näitel tuletagem meelde, et toiming on (üldistatud) koordinaatide (ühe vabadusastme korral - ühe koordinaadi) suhtes funktsionaalne, st seda väljendatakse nii, et funktsiooni iga mõeldav versioon on seotud kindla arvuga – toiminguga (selles mõttes võime öelda, et toiming kui funktsioon on reegel, mis võimaldab mis tahes funktsioonil arvutada täiesti kindla arvu – nn. tegevus). Toiming näeb välja selline:

kus on süsteemi Lagrange, olenevalt üldistatud koordinaadist, selle esimene tuletis aja ja võib-olla ka eksplitsiitselt aja suhtes. Kui süsteemil on suurem hulk vabadusastmeid, siis Lagrange sõltub suuremast hulgast üldistatud koordinaatidest ja nende esimestest tuletistest aja suhtes. Seega on tegevus skalaarne funktsionaalne sõltuvalt keha trajektoorist.

Asjaolu, et tegu on skalaar, muudab selle kirjutamise mis tahes üldistatud koordinaatideks lihtsaks, peaasi, et süsteemi asukoht (konfiguratsioon) on nende abil üheselt iseloomustatud (näiteks Descartes'i koordinaatide asemel võivad need olla polaarsed koordinaadid, süsteemi punktide vahelised kaugused, nurgad või nende funktsioonid jne. .d.).

Tegevust saab arvutada täiesti suvalise trajektoori jaoks, ükskõik kui "metsik" ja "ebaloomulik" see ka poleks. Kuid klassikalises mehaanikas on kogu võimalike trajektooride hulgast ainult üks, mida mööda keha tegelikult liigub. Statsionaarse tegevuse põhimõte annab täpselt vastuse küsimusele, kuidas keha tegelikult liigub:

See tähendab, et kui süsteemi Lagrange on antud, siis variatsiooniarvutuse abil saame täpselt kindlaks teha, kuidas keha liigub, hankides esmalt liikumisvõrrandid – Euleri-Lagrange’i võrrandid ja seejärel need lahendades. See võimaldab mitte ainult tõsiselt üldistada mehaanika sõnastust, vaid ka valida iga konkreetse ülesande jaoks kõige mugavamad koordinaadid, mitte ainult Descartes'i koordinaadid, mis võivad olla väga kasulikud kõige lihtsamate ja hõlpsamini lahendatavate võrrandite saamiseks.

kus on selle süsteemi Hamiltoni funktsioon; - (üldistatud) koordinaadid, - konjugeeritud (üldistatud) impulsid, mis koos iseloomustavad igal ajahetkel süsteemi dünaamilist olekut ja, olles igaüks aja funktsioon, iseloomustavad seega süsteemi arengut (liikumist). Sel juhul on süsteemi liikumisvõrrandite saamiseks Hamiltoni kanooniliste võrrandite kujul vaja sellisel viisil kirjutatud tegevust kõigi ja .

Tuleb märkida, et kui ülesande tingimustest on põhimõtteliselt võimalik leida liikumisseadust, siis on see automaatselt Mitte tähendab, et on võimalik konstrueerida funktsionaal, mis võtab tõelise liikumise ajal statsionaarse väärtuse. Näiteks võib tuua elektrilaengute ja monopooluste – magnetlaengute – ühise liikumise elektromagnetväljas. Nende liikumisvõrrandeid ei saa tuletada statsionaarse tegevuse põhimõttest. Samuti on mõnel Hamiltoni süsteemil liikumisvõrrandid, mida ei saa sellest põhimõttest tuletada.

Näited

Triviaalsed näited aitavad hinnata tööpõhimõtte kasutamist Euleri-Lagrange'i võrrandite kaudu. Vaba osake (mass m ja kiirust v) eukleidilises ruumis liigub sirgjooneliselt. Kasutades Euleri-Lagrange'i võrrandeid, saab seda polaarkoordinaatides näidata järgmiselt. Potentsiaali puudumisel on Lagrange'i funktsioon lihtsalt võrdne kineetilise energiaga

ortogonaalses koordinaatsüsteemis.

Polaarkoordinaatides muutub kineetiline energia ja seega ka Lagrange'i funktsioon

Võrrandite radiaal- ja nurkkomponendid muutuvad vastavalt:

Nende kahe võrrandi lahendamine

Siin on tingimuslik tähis lõpmatult mitmekordse funktsionaalse integratsiooni jaoks kõigi trajektooride x(t) ulatuses ja see on Plancki konstant. Rõhutame, et põhimõtteliselt ilmneb (või võib ilmneda) tegevus eksponentsiaalis kvantmehaanikas evolutsioonioperaatorit uurides ise, kuid süsteemide puhul, millel on täpne klassikaline (mitte-kvant) analoog, on see täpselt võrdne tavapärasega. klassikaline tegevus.

Selle avaldise matemaatiline analüüs klassikalises piiris - piisavalt suurte, st kujuteldava eksponentsiaali väga kiirete võnkumiste korral - näitab, et valdav enamus selle integraali kõigist võimalikest trajektooridest tühistab üksteist piiris (formaalselt . Peaaegu iga tee jaoks on olemas tee, millel faasinihe on täpselt vastupidine ja nende panus on null. Ainult neid trajektoore, mille puhul tegevus on äärmusliku väärtuse lähedal (enamiku süsteemide puhul - miinimumini), ei vähendata. See on puhtalt matemaatiline fakt kompleksmuutuja funktsioonide teooriast; Näiteks statsionaarse faasi meetod põhineb sellel.

Selle tulemusena liigub osake, täielikult kooskõlas kvantmehaanika seadustega, samaaegselt mööda kõiki trajektoore, kuid tavatingimustes aitavad vaadeldavatel väärtustel kaasa ainult statsionaarsele (st klassikalisele) lähedased trajektoorid. Kuna kvantmehaanika muundub suurte energiate piiril klassikaliseks mehaanikaks, võime eeldada, et see on klassikalise tegevuse statsionaarsuse printsiibi kvantmehaaniline tuletus.

Kvantväljateoorias

Kvantväljateoorias rakendatakse edukalt ka statsionaarse toime põhimõtet. Lagrangi tihedus hõlmab siin vastavate kvantväljade operaatoreid. Kuigi siin on sisuliselt õigem (kui klassikaline piir ja osaliselt kvaasiklassika välja arvata) rääkida mitte tegevuse statsionaarsuse põhimõttest, vaid Feynmani integratsioonist mööda trajektoore nende väljade konfiguratsioonis või faasiruumis - kasutades äsja mainitud Lagrangi tihedus.

Edasised üldistused

Laiemalt mõistetakse toimingut kui funktsionaalset, mis määratleb vastenduse konfiguratsiooniruumist reaalarvude hulka ja üldiselt ei pea see olema integraal, sest mittelokaalsed toimingud on põhimõtteliselt võimalikud, vähemalt teoreetiliselt. Lisaks ei ole konfiguratsiooniruum tingimata funktsiooniruum, kuna sellel võib olla mittekommutatiivne geomeetria.

HAMILTON – OSTROGRADSKY PÕHIMÕTE

Statsionaarse tegevuse põhimõte - üldine integraal klassikalise mehaanika variatsioonipõhimõte, paigaldas U.

Hamilton holonoomiliste süsteemide jaoks, mida piiravad ideaalsed statsionaarsed ühendused ja mille M. V. Ostrogradsky on üldistanud mittestatsionaarseteks ühendusteks. Vastavalt G. - O.

omab statsionaarset väärtust võrreldes sarnaste kinemaatiliselt võimalike liikumistega, mille puhul süsteemi alg- ja lõppasend ning liikumise aeg on samad, mis tegeliku liikumise puhul. Siin T - kineetiline, U- potentsiaalne energia, L-T-U Süsteemi Lagrange'i funktsioon. Mõnel juhul ei vasta tõele mitte ainult funktsionaalse statsionaarne punkt S, kuid annab sellele ka vähima tähtsuse. Seetõttu G. -O. n. sageli kutsutakse vähima tegevuse põhimõte. Mittepotentsiaalsete aktiivsete jõudude korral F v tegevuse paigalseisu tingimus d S= 0 asendatakse tingimusega

Valgus: Hamilton W., Briti Teaduse Edendamise Ühingu neljanda koosoleku aruanne, L., 1835, lk. 513-18; Оstrоgradsky M., "Mem. de 1" Acad. des Sci. de St-Petershourg", 1850, t. 8, nr 3, lk 33-48.

V. V. Rumjantsev.

Matemaatiline entsüklopeedia. - M.: Nõukogude entsüklopeedia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Vaadake, mis on "HAMILTON – OSTROGRADI PÕHIMÕTE" teistes sõnaraamatutes:

Fisheri printsiip on evolutsiooniline mudel, mis selgitab, miks elusorganismide liikide valdav sugude suhe looduses on ligikaudu 1:1; milles geenid tootmiseks rohkem isendeid mõlemast soost ... ... Wikipedia

Hamilton (ka lihtsalt Hamiltoni printsiip), täpsemalt tegevuse statsionaarsuse printsiip, meetod füüsilise süsteemi liikumisvõrrandite saamiseks statsionaarse (sageli äärmusliku, tavaliselt seoses väljakujunenud traditsiooniga... ... Vikipeedia

Laine murdumine Huygensi järgi ... Wikipedia

Teaduse metoodikas on väide, et igasugune uus teaduslik teooria vana, hästi testitud teooria olemasolul ei ole sellega täielikus vastuolus, vaid annab mingis äärmuslikus lähenduses (erijuhtum) samad tagajärjed. Näiteks seadus... ... Vikipeedia

Pontrjagini diskreetse maksimumi põhimõte aja-diskreetsete juhtimisprotsesside jaoks. Sellise protsessi puhul ei pruugi lõpliku erinevuse operaator kehtida, kuigi selle pideva analoogi puhul, mis saadakse lõpliku erinevuse operaatori asendamisel diferentsiaaloperaatoriga... ... Matemaatiline entsüklopeedia

Või Hamiltoni põhimõte mehaanikas ja matemaatilises füüsikas aitab saada liikumiste diferentsiaalvõrrandeid. See põhimõte kehtib kõigi materiaalsete süsteemide kohta, olenemata sellest, millistele jõududele nad alluvad; Kõigepealt väljendame seda selles... Entsüklopeediline sõnaraamat F.A. Brockhaus ja I.A. Efron

Kvantpostulaat. mehaanika, mis nõuab selle füüsikaliste omaduste kokkulangemist. tagajärjed suurte kvantarvude piiramisel klassikaliste tulemustega. teooriad. S. p.-s selgub tõsiasi, et kvant. mõju on märkimisväärne ainult mikroobjektide puhul, kui... ... Füüsiline entsüklopeedia

Hamiltoni variatsiooniprintsiip- Hamiltono variacinis principas statusas T valdkond fizika vastavusmenys: engl. Hamiltoni variatsiooniprintsiip vok. Hamiltonsches Variationsprinzip, n rus. Hamiltoni variatsiooniprintsiip, m pranc. principe variationnel d’Hamilton, m … Fizikos terminų žodynas

Kvantmehaanika postulaat (vt Kvantmehaanika), mis nõuab, et selle füüsikalised tagajärjed suurte kvantarvude piiramisel (vt kvantarvud) langeksid kokku klassikalise teooria tulemustega. S. p-s ilmneb tõsiasi, et ... ... Suur Nõukogude entsüklopeedia

- (lainemehaanika), teooria, mis paneb paika mikroosakeste (elemendid, aatomid, molekulid, aatomituumad) ja nende süsteemide (näiteks kristallide) kirjeldamise meetodi ja liikumisseadused, samuti osakesi iseloomustavate suuruste seose süsteemid, füüsilised suurused...... Füüsiline entsüklopeedia

Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt Tegevus (füüsika). Tegevuse mõõde L2MT−1 Tegevus füüsikas on skalaarne füüsikaline suurus, mis on ... Wikipedia

Raamatud

• Majandussüsteemi liikumise põhimõtted. Monograafia, Kusner Juri Semenovitš, Tsarev Igor Gennadievitš. Majandussüsteemi liikumisvõrrandid esitatakse analüütilisel kujul ja lahendatakse adekvaatsete meetodite leidmine selle liikumise kontrollimiseks. Kasutati matemaatilist aparaati...

1. Hamilton-Ostrogradski põhimõte

Sellest on nüüdseks saanud üks mehaanika põhiprintsiipe. Holonoomiliste mehaaniliste süsteemide puhul saab selle otse saada D'Alembert-Lagrange'i põhimõtte tulemusena. Kõik holonoomiliste mehaaniliste süsteemide liikumisomadused saab omakorda saada Hamiltoni-Ostrogradski põhimõttest.

Vaatleme materiaalsete punktide süsteemi liikumist mõne inertsiaalse võrdlussüsteemi suhtes aktiivsete jõudude toimel.. Olgu süsteemi punktide võimalikud liikumised piiratud ideaalsete holonoomiliste piirangutega. Tähistame punkti Descartes'i koordinaate ja sõltumatuid Lagrange'i koordinaate tähega Descartes'i ja Lagrange'i koordinaatide vaheline sõltuvus on antud seostega

Järgnevalt eeldame, et koordinaate esitavad muutujate üheväärtuslikud, pidevad ja suvaliselt diferentseeruvad funktsioonid, lisaks eeldame, et süsteemi igast asendist võivad parameetrid muutuda nii positiivses kui ka negatiivses suunas. Vaatleme süsteemi liikumist alates teatud ajahetkest kuni hetkeni, kus süsteemi algpositsioon vastab väärtustele

Lagrangi koordinaadid ja süsteemi asukoht hetkel - väärtused Tutvustame koordinaatide ja aja -mõõtmelist laiendatud ruumi, milles üks punkt vastab süsteemi igale konkreetsele asukohale. Sellises laiendatud -mõõtmelises ruumis kujutab süsteemi liikumist teatud kõver, mida nimetame edaspidi süsteemi trajektooriks. Süsteemi alg- ja lõppasendid vastavad siin kahele punktile. Süsteemi tegelikul liikumisel positsioonist positsiooni muutuvad Lagrangi koordinaadid pidevalt, määratledes kõvera -mõõtmelises ruumis, mida me nimetame süsteemi tegelikuks trajektooriks. Saate panna süsteemi liikuma vastavalt süsteemile kehtestatud ühendustele positsioonist positsiooni sama ajaintervalli jooksul, kuid erinevat trajektoori pidi, tegeliku lähedal, muretsemata liikumisvõrrandite täitmise pärast. Sellist trajektoori -dimensioonilises ruumis nimetame ringtee trajektooriks. Võrreldes liikumisi mööda reaalset ja ringristmiku trajektoori, seadsime endale eesmärgiks määrata ringristmike hulgast tegelik trajektoor. Olgu süsteemi asukoht tegelikul trajektooril hetkel tähistatud punktiga P ja süsteemi asukohta samal ajahetkel ringristmiku trajektooril punkt P (joonis 252).

Segment, mis ühendab kahte punkti erinevatel trajektooridel samal ajahetkel, kujutab süsteemi võimalikku liikumist hetkel. See vastab Lagrangi koordinaatide muutusele hetkel, kui liigutakse positsioonist P positsiooni P. süsteemi võimalik liikumine vastab Descartes'i koordinaatide variatsioonidele, mida saab väljendada Lagrange'i koordinaatide variatsioonide kaudu võrduste kujul

Mõelge suvalisele üheparameetrilisele trajektooride perekonnale

millest igaüks ühendab neid ajahetkedel läbivaid punkte ja laseb parameetri väärtusel vastata tegelikule trajektoorile (otsele teele), mille süsteem aja jooksul positsioonist positsiooni läbib. A väärtused, mis erinevad null vastab "ringtee" trajektooridele (põllumajanduslikele teedele), st kõigile teistele aja jooksul punkte ühendavatele trajektooridele. Süsteemi liikumine piki mis tahes trajektoori vastab Lagrangi koordinaatide muutusele ajamuutuse tõttu, kui parameeter a jääb muutumatuks. Parameeter a muutub ainult ühelt trajektoorilt teisele liikumisel. Koordinaatide variatsioon defineeritakse nüüd järgmiselt:

ja koordinaadi ajatuletisel on vorm

Olgu Lagrangi koordinaadid ühe väärtusega pidevad diferentseeruvad funktsioonid. Siis

Saadud seoseid mehaanikas nimetatakse kommutatsiooniks. Diferentseerimistehted on kommuteeritavad ainult siis, kui kõik koordinaadid on sõltumatud ega ole ühendatud mitteintegreeritavate suhetega.

Näitame, et variatsiooni- ja diferentseerimistehette muutlikkus kehtib ka Descartes'i koordinaatide puhul. Lase

Vaatleme aja tuletist

Teisel pool,

Lahutades esimesest teise võrdsuse, saame

kust järgneb

st. diferentseerimise ja variatsiooni tehted on ka Descartes'i koordinaatide puhul kommuteeritavad, kui materiaalsete punktide süsteemile peale panna vaid holonoomilised ideaalseosed.

Liigume edasi tegeliku trajektoori määramisega kõigi ringristmike vahel. Süsteemi tegelik liikumine toimub vastavalt D'Alembert-Lagrange'i põhimõttele

mis määrab igal ajahetkel tõelise liikumise (tegeliku liikumise) "trendi". Mõelge integraalile

mööda süsteemi tegelikku trajektoori. Kõik süsteemi võrreldavad trajektoorid algavad samal ajahetkel ja samast punktist mõõtmelises ruumis. Kõik need lõpevad samal ajahetkel. Seetõttu on trajektooride otstes tingimused täidetud

Teisendame saadud võrrandi, integreerides avaldise osade kaupa

ja kuna variatsioonid kaovad trajektoori otstes, saame

Tulenevalt diferentseerumise ja varieerumise tehte kompenseeritavusest on meil

mille järel võrrand saab kuju

Sellisel kujul väljendab saadud võrrand Hamiltoni "väikseima tegevuse põhimõtet" üldiste mehaaniliste süsteemide jaoks. Süsteemi tegelikul trajektooril funktsiooni integraal kaob

Kui süsteemile mõjuvatel jõududel on jõufunktsioon , siis seos kehtib

ja ülaltoodud võrrand muutub

Kuna variatsioon ei ole seotud aja muutumisega, saab variatsiooni ja integreerimise toiminguid omavahel vahetada:

st. reaaltrajektooril oleval integraalil on statsionaarne väärtus.

Oleme näidanud integraali statsionaarse väärtuse vajalikkust reaalsel trajektooril. Näitame, et integraali variatsiooni nulliks pööramine on piisav tingimus süsteemi tegelikuks liikumiseks. Selleks piisab süsteemi liikumisvõrrandite hankimisest Hamiltoni põhimõttest.

Vaatleme holonoomiliste ideaalpiirangutega mehaanilist süsteemi, mille asukoha määravad Lagrangi koordinaadid ja elav jõud

sõltub üldistest kiirustest, koordinaatidest ja ajast. Võttes arvesse teadaolevat seost

Kirjutame Hamiltoni põhimõtte vormis ümber

Tööjõu variatsiooni teostamine

ja seejärel osade kaupa integreerimine

kuna intervalli lõpus on koordinaatide variatsioonid võrdsed nulliga, saame Hamiltoni põhimõttest

Variatsioonid on intervalli piires suvalised ja sõltumatud ning variatsiooniarvutuse põhilemma kohaselt on võrdsus võimalik ainult siis, kui kõik koefitsiendid kaovad, st kui tingimused on täidetud.

Saadud võrrandid peavad olema täidetud mehaanilise süsteemi tegelikus liikumises. Hamiltoni printsiibi piisavust tõestab asjaolu, et need võrrandid on teist tüüpi Lagrange'i võrrandid, mis kirjeldavad mehaanilise süsteemi liikumist, millele on kehtestatud holonoomilised ideaalsed piirangud.

Hamiltoni põhimõtte holonoomiliste ideaalsete piirangutega mehaaniliste süsteemide jaoks saab nüüd sõnastada järgmiselt:

Kahe etteantud positsiooni vahel holonoomiliste ideaalühendustega süsteemi tegelik liikumine erineb kinemaatiliselt võimalikest liikumistest nende positsioonide vahel sama aja jooksul selle poolest, et integraal kaob tegelikul liikumisel

kõikide väärtuste jaoks, mis vastavad kindlaksmääratud tingimustele.

Kui ma esimest korda sellest põhimõttest teada sain, tekkis mul mingi müstika tunne. Tundub, et loodus läbib müstiliselt kõik süsteemi võimalikud liikumisteed ja valib neist parima.

Täna tahan veidi rääkida ühest kõige tähelepanuväärsemast füüsika põhimõttest – vähima tegevuse põhimõttest.

Taust

Galilei ajast on teada, et kehad, millele ükski jõud ei mõju, liiguvad sirgjooneliselt ehk mööda lühimat teed. Valguskiired liiguvad ka sirgjooneliselt.

Peegeldudes liigub valgus ka nii, et jõuaks ühest punktist teise võimalikult lühikese teekonnaga. Pildil on lühim tee roheline tee, mille langemisnurk on võrdne peegeldusnurgaga. Mis tahes muu tee, näiteks punane, on pikem.

Seda on lihtne tõestada, peegeldades lihtsalt peegli vastasküljel olevate kiirte teed. Pildil on need näidatud punktiirjoontega.

On näha, et roheline tee ACB muutub sirgeks ACB'. Ja punane tee muutub katkendlikuks jooneks ADB’, mis on loomulikult pikem kui roheline.

1662. aastal väitis Pierre Fermat, et valguse kiirus tihedas aines, näiteks klaasis, on väiksem kui õhus. Enne seda oli üldtunnustatud Descartes’i versioon, mille kohaselt peab valguse kiirus aines olema suurem kui õhus, et saada õige murdumisseadus. Fermati jaoks tundus oletus, et valgus võib tihedamas keskkonnas kiiremini liikuda kui haruldases keskkonnas, ebaloomulik. Seetõttu eeldas ta, et kõik oli täpselt vastupidine ja osutus hämmastavaks asjaks - selle eelduse korral murdub valgus nii, et see jõuab sihtkohta minimaalse ajaga.

Jällegi näitab roheline värv teed, mida mööda valguskiir tegelikult liigub. Punasega tähistatud tee on kõige lühem, kuid mitte kõige kiirem, sest valgusel on läbi klaasi pikem tee ja see on seal aeglasem. Kiireim tee on valguskiire tegelik tee.

Kõik need faktid viitasid sellele, et loodus tegutseb mingil ratsionaalsel viisil, valgus ja kehad liiguvad kõige optimaalsemal viisil, kulutades võimalikult vähe jõupingutusi. Kuid millised jõupingutused need on ja kuidas neid arvutada, jäi saladuseks.

1744. aastal võttis Maupertuis kasutusele mõiste "tegevus" ja sõnastas põhimõtte, mille kohaselt osakese tõeline trajektoor erineb kõigist teistest selle poolest, et selle tegevus on minimaalne. Maupertuis ise ei suutnud aga kunagi anda selget definitsiooni, mida see tegevus endast kujutab. Väikseima tegevuse põhimõtte range matemaatilise sõnastuse töötasid välja juba teised matemaatikud - Euler, Lagrange ja lõpuks andis selle William Hamilton:

Matemaatilises keeles on vähima tegevuse põhimõte sõnastatud üsna lühidalt, kuid mitte kõik lugejad ei pruugi kasutatava tähise tähendusest aru saada. Ma tahan proovida seda põhimõtet selgemalt ja lihtsamalt selgitada.

Vaba keha

Niisiis, kujutage ette, et istud punktis autos ja antud hetkel antakse teile lihtne ülesanne: selleks hetkeks peate autoga punkti juhtima.

Auto kütus on kallis ja loomulikult tahetakse seda võimalikult vähe kulutada. Teie auto on valmistatud uusimate supertehnoloogiate abil ja võib kiirendada või pidurdada nii kiiresti kui soovite. See on aga disainitud nii, et mida kiiremini läheb, seda rohkem kütust kulub. Lisaks on kütusekulu võrdeline kiiruse ruuduga. Kui sõidate kaks korda kiiremini, tarbite sama aja jooksul 4 korda rohkem kütust. Lisaks kiirusele mõjutab kütusekulu loomulikult ka sõiduki kaal. Mida raskem on meie auto, seda rohkem kütust see kulutab. Meie auto kütusekulu igal ajahetkel on võrdne, s.t. täpselt võrdne auto kineetilise energiaga.

Kuidas siis sõita, et täpselt määratud ajal sihtkohta jõuda ja võimalikult vähe kütust kasutada? On selge, et peate minema sirgjooneliselt. Läbitud vahemaa kasvades ei kulu vähem kütust. Ja siis saab valida erinevaid taktikaid. Näiteks saab kiiresti punkti ette jõuda ja lihtsalt istuda ja oodata, kuni aeg tuleb. Sõidukiirus ja seega ka kütusekulu igal ajahetkel on suur, kuid väheneb ka sõiduaeg. Võib-olla ei ole üldine kütusekulu nii suur. Või võite sõita ühtlaselt, sama kiirusega, nii et ilma kiirustamata jõuate täpselt õigel hetkel. Või sõitke osa teest kiiresti ja osa aeglasemalt. Milline on parim viis?

Selgub, et kõige optimaalsem, ökonoomsem on sõita ühtlase kiirusega, nii et jõuaksite sihtkohta täpselt määratud ajal. Iga muu variant kulutab rohkem kütust. Saate seda ise kontrollida mitme näite abil. Põhjus on selles, et kütusekulu suureneb kiiruse ruuduga. Seetõttu suureneb kiiruse kasvades kütusekulu kiiremini kui sõiduaeg väheneb ning suureneb ka üldine kütusekulu.

Nii saime teada, et kui auto tarbib igal ajahetkel kütust võrdeliselt oma kineetilise energiaga, siis kõige ökonoomsem viis täpselt määratud ajal punktist punkti jõudmiseks on sõita ühtlaselt ja sirgjooneliselt, täpselt. keha liikumisviis sellele mõjuvate jõudude puudumisel.tugevus Mis tahes muu sõiduviis toob kaasa suurema kütusekulu.

Gravitatsiooni valdkonnas

Nüüd parandame oma autot veidi. Kinnitame selle külge reaktiivmootorid, et see saaks vabalt lennata igas suunas. Üldiselt jäi disain samaks, nii et kütusekulu jäi jällegi rangelt proportsionaalseks auto kineetilise energiaga. Kui nüüd on antud ülesanne lennata punktist ajahetkel ja jõuda ajahetkesse, siis kõige ökonoomsem viis, nagu varemgi, on loomulikult lennata ühtlaselt ja sirgjooneliselt, et lõpetada. üles täpselt määratud ajal. See vastab jällegi keha vabale liikumisele kolmemõõtmelises ruumis.

Viimasesse automudelisse paigaldati aga ebatavaline seade. See seade suudab toota kütust sõna otseses mõttes mitte millestki. Kuid disain on selline, et mida kõrgem on auto, seda rohkem kütust seade igal ajahetkel toodab. Kütuse tootmine on otseselt võrdeline kõrgusega, millel auto hetkel asub. Samuti, mida raskem on auto, seda võimsam seade on sellele paigaldatud ja seda rohkem kütust toodab ning toodang on otseselt võrdeline auto kaaluga. Seade osutus selliseks, mille kütusetoodang on täpselt võrdne (kus on vabalangemise kiirendus), st. auto potentsiaalne energia.

Kütusekulu igal ajahetkel on võrdne kineetilise energiaga, millest on lahutatud auto potentsiaalne energia (miinus potentsiaalne energia, sest paigaldatud seade toodab kütust ja ei tarbi seda). Nüüd muutub meie ülesanne võimalikult tõhusalt autot punktide vahel liigutada. Sirgjooneline ühtlane liikumine ei osutu sel juhul kõige tõhusamaks. Selgub, et optimaalsem on tõsta veidi kõrgust, jääda sinna mõnda aega, kulutades rohkem kütust ja seejärel laskuda punkti . Õige lennutrajektoori korral katab tõusust tulenev kütuse kogutoodang täiendavad kütusekulud marsruudi pikkuse suurendamiseks ja kiiruse suurendamiseks. Kui hoolikalt arvutada, on auto jaoks kõige ökonoomsem viis lennata paraboolis, täpselt sama trajektoori mööda ja täpselt sama kiirusega, nagu lendaks kivi Maa gravitatsiooniväljas.

Siin tasub teha täpsustus. Muidugi saab kivi punktist visata mitmel erineval viisil, nii et see punkti tabab. Aga tuleb visata nii, et hetkel punktist õhku tõustes tabab ta täpselt hetkel punkti. Just see liigutus on meie auto jaoks kõige ökonoomsem.

Lagrange'i funktsioon ja vähima tegevuse põhimõte

Nüüd saame selle analoogia üle kanda reaalsetele füüsilistele kehadele. Kerede kütusekulu määra analoogi nimetatakse Lagrange'i funktsiooniks või Lagrange'i funktsiooniks (Lagrange'i auks) ja seda tähistatakse tähega . Lagrange näitab, kui palju “kütust” keha teatud ajahetkel tarbib. Potentsiaalses väljas liikuva keha puhul on Lagrange võrdne tema kineetilise energiaga, millest on lahutatud potentsiaalne energia.

Kogu liikumisperioodi jooksul tarbitud kütuse koguhulga analoog, s.o. kogu liikumisaja jooksul kogunenud Lagrangi väärtust nimetatakse "tegevuseks".

Väikseima tegevuse põhimõte on see, et keha liigub nii, et tegevus (mis sõltub liikumise trajektoorist) on minimaalne. Samas ei tohi unustada, et täpsustatakse alg- ja lõpptingimusi, s.o. kus keha on ajahetkel ja ajahetkel.

Sel juhul ei pea kere tingimata liikuma ühtlases gravitatsiooniväljas, mida me oma auto puhul arvestasime. Kaaluda võib täiesti erinevaid olukordi. Keha võib võnkuda elastsel ribal, kõikuda pendlil või lennata ümber Päikese, kõigil neil juhtudel liigub ta nii, et minimeerida “kogu kütusekulu” s.t. tegevust.

Kui süsteem koosneb mitmest kehast, siis on sellise süsteemi Lagrange võrdne kõigi kehade kogu kineetilise energiaga, millest on lahutatud kõigi kehade potentsiaalne koguenergia. Ja jällegi, kõik kehad liiguvad kooskõlastatult, nii et kogu süsteemi mõju sellise liikumise ajal on minimaalne.

Mitte nii lihtne

Tegelikult ma petsin natuke, öeldes, et kehad liiguvad alati viisil, mis minimeerib tegevust. Kuigi see on paljudel juhtudel tõsi, on võimalik mõelda olukordadele, kus tegevus ei ole ilmselgelt minimaalne.

Näiteks võtame palli ja asetame selle tühjale kohale. Mõnel kaugusel sellest asetame elastse seina. Oletame, et tahame, et pall jõuaks mõne aja pärast samasse kohta. Nendel tingimustel võib pall liikuda kahel erineval viisil. Esiteks võib see lihtsalt paigale jääda. Teiseks saate selle seina poole lükata. Pall lendab seinale, põrkab sellelt ja tuleb tagasi. Selge see, et seda saab lükata sellise kiirusega, et see täpselt õigel ajal tagasi tuleb.

Võimalikud on mõlemad palli liikumise variandid, kuid teisel juhul on tegevus suurem, kuna kogu selle aja liigub pall nullist erineva kineetilise energiaga.

Kuidas säästa vähima tegevuse põhimõtet, et see sellistes olukordades kehtiks? Me räägime sellest sisse.