1. Kinematika materijalne tačke. Materijalna tačka je fizički objekat koji je geometrijski ekvivalentan matematičkoj tački, ali ima masu. Kinematika je grana fizike koja proučava vrste kretanja tijela bez razmatranja uzroka kretanja. Položaj tačke u prostoru karakteriše radijus vektor. Radijus vektor tačke je vektor čiji se početak poklapa sa ishodištem koordinatnog sistema, a kraj sa dotičnom tačkom. r = i x+ j y + k z. Brzina je udaljenost koju tijelo prijeđe u jedinici vremena v(t) = d r/dt. v(t) = i dx/dt + j dy/dt + k dz/dt. Ubrzanje je brzina promjene brzine. a=d v/dt = d 2 r/ dt 2 = i d 2 x/dt 2 + j d 2 y/dt 2 + k d 2 z/dt 2 . a = a τ + a n= τ dv/dt + n v 2 /R.

d r = v dt; d v = a dt, dakle v = v 0 + a t; r = r 2 – r 1 = v 0t+ a t 2 /2.

2. Dinamika materijalne tačke. Newtonovi zakoni. Glavni koncepti u dinamici su koncept mase i sile. Sila je uzrok kretanja, tj. pod uticajem sile tela dobijaju brzinu. Sila je vektorska veličina. Masa je mjera inercije tijela. Proizvod mase i brzine naziva se impuls str= m v. Ugaoni moment materijalne tačke je vektor L = r * str. Moment sile koja djeluje na materijalnu tačku naziva se vektor M = r * F. Ako razlikujemo izraz za ugaoni moment, dobijamo: d L/ dt = d r/dt* str + r*d str/dt. Uzimajući u obzir da d r/dt= v I v paralelno str, dobijamo d L/dt= M.Newtonovi zakoni. Prvi Newtonov zakon kaže da tijelo ostaje u stanju mirovanja ili ravnomjernog linearnog kretanja osim ako na njega djeluju druge sile ili se njihovo djelovanje ne kompenzira. Njutnov drugi zakon kaže da je promena impulsa tokom vremena konstantna veličina i jednaka je efektivnoj sili d str/ dt = d / dt (m v) = m d v/dt= F.Ovo je drugi Newtonov zakon, napisan u diferencijalnom obliku. Treći Newtonov zakon kaže da u interakciji dva tijela, svako od njih djeluje na drugo sa silom iste vrijednosti, ali suprotnog smjera. F 1 = - F 2 .

3. Dinamika sistema materijalnih tačaka. Zakoni o očuvanju. Sistem materijalnih tačaka je skup njihovog konačnog broja. Na svaku tačku sistema djeluju unutrašnje (iz drugih tačaka) i vanjske sile. Neka je m masa, r i radijus vektor. x i, y i, z i – kabl. i-ta tačka. Impuls sistema materijalnih tačaka je zbir impulsa materijalnih tačaka koje čine sistem: str= Σ (i=1,n) str i = [ str 1 + str 2 +…+ str n]. Ugaoni moment sistema materijalnih tačaka je zbir ugaonog momenta koji čini sistem materijalnih tačaka: L = Σ [ L i ] = Σ [ r ja* str i]. Sila koja djeluje na sistem materijalnih tačaka definira se kao zbir svih sila koje djeluju na tačke sistema, uključujući sile interakcije između tačaka sistema: F = Σ [ F i ], gdje F i = F i ' + Σ(j ≠ i) F ji je sila koja djeluje na materijalnu tačku sistema, označena indeksom i. Sastoji se od vanjske sile F i ’ i unutrašnja sila Σ(i ≠ j) [ F ji ], koji djeluje na tačku kao rezultat interakcije sa drugim tačkama sistema. Tada: F = Σ (i=1,n) [ F i ’] + Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [ F ji]. Prema trećem Newtonovom zakonu Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [ F ji ] = 0, dakle F = Σ [ F i']. Moment sile koja djeluje na sistem materijalnih tačaka je zbir momenata sila primijenjenih na tačke sistema M= Σ (i) [ M i ] = Σ (i) [ r ja* F i ] = Σ (i) [ r ja* F i']. Za sistem materijalnih tačaka, jednačina kretanja ima oblik d str/ dt = Σ = Σ [ F i].

Centar mase sistema materijalnih tačaka je zamišljena tačka sa radijus vektorom R= 1/m Σ . Brzina njegovog kretanja V=d R/dt. Tada jednačina kretanja m d V/dt= F. Jednačina momenta za sistem materijalnih tačaka d L/dt= M. Zakoni o očuvanju. Izolovani sistem je onaj koji nije pod uticajem spoljnih sila. U tome F= 0, dakle d str/dt = 0. Tada str= konst. U izolovanom sistemu, moment spoljnih sila M= 0. Stoga d L/dt = 0, što znači L= konst. Promjena kinetičke energije materijalne tačke kada se kreće između dva položaja jednaka je radu sile. m 0 v 2 2 /2 – m 0 v 1 2 /2 = ∫(1,2) F d l ili m 0 v 2 /2 + E p = konst.

4. Kretanje u centralno simetričnom polju. Keplerovi zakoni. Polje se naziva centralnim ako potencijalna energija tijela u njemu ovisi samo o udaljenosti r do određene fiksne točke. Force F= - ∂U(r)/ ∂ r= - dU/dr r/r koji djeluje na česticu, u apsolutnoj vrijednosti također zavisi samo od r i usmjeren je na svaku tačku duž radijus vektora. Pri kretanju u centralnom polju, moment sistema u odnosu na centar polja je očuvan. Za jednu česticu trenutak M = [r*R]. Budući da su vektori M i r međusobno okomiti, konstantnost M znači da kada se čestica kreće, njen radijus vektor uvijek ostaje u jednoj ravni - ravni okomitoj na M. Dakle, putanja čestice u središnjem polju leži u potpunosti u jedan avion. Nakon što smo u nju unijeli polarne koordinate r, φ, Lagrangeovu funkciju zapisujemo u obliku L = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) - U(r). Ova funkcija ne sadrži eksplicitno φ koordinate. Za takvu koordinatu, odgovarajući generalizovani impuls p i je integral kretanja. U ovom slučaju, generalizirani impuls p φ = mr 2 φ(∙) poklapa se sa momentom M z = M, pa je M = mr 2 φ(∙) (1). Imajte na umu da za ravno kretanje jedne čestice u centralnom polju ovaj zakon dopušta jednostavnu geometrijsku interpretaciju. Izraz 1/2 r r d φ predstavlja površinu sektora koju čine dva beskonačno bliska vektora radijusa i lučni element putanje. Označavajući ga kao df, zapisujemo moment čestice u obliku M = 2mf, gdje se derivacija f naziva sektorska brzina. Prema tome, očuvanje količine kretanja znači konstantnost sektorske brzine - u jednakim vremenskim periodima, vektor radijusa pokretne tačke opisuje jednake površine ( Keplerov drugi zakon). Izrazivši φ(∙) kroz M iz (1) i zamenivši ga u izraz za energiju, dobijamo: E = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) + U(r) = mr 2 (∙ )/2 + M 2 /2mr 2 + U(r). Dakle, r(∙) = √(2/m (E – U(r)) - M 2 /m 2 r 2) ili, razdvajanje varijabli i integrisanje: t = ∫dr/√(2/m (E – U( r)) - M 2 /m 2 r 2) + konst. Zatim, zapisujući (1) u obliku dφ = M 2 /mr 2 dt, zamjenjujući dt ovdje i integrirajući, nalazimo: φ = ∫dr (M/r 2)/√(2/m (E – U(r) ) - M 2 /r 2) + konst. Keplerov prvi zakon. Svaka planeta se okreće u elipsi, sa Suncem u jednom od fokusa. Keplerov treći zakon. Kvadrati zvjezdanih perioda okretanja planeta povezani su kao kocke velikih poluosi njihovih putanja T 1 2 /T 2 2 = a 1 3 /a 2 3 .

5. Lagrangeova funkcija i Lagrangeove jednadžbe sistema materijalnih tačaka. Integrali kretanja. Razmotrimo zatvoreni sistem materijalnih tačaka. Lagrangeova funkcija za nju ima oblik L = Σ(a) – U(r 1 , r 2 , …), gdje je T = Σ (a) kinetička energija, a U potencijalna energija interakcije čestica. Tada jednačine kretanja d/dt (∂L/∂v a) = ∂L/∂r a imaju oblik m a dv a /dt = - ∂U/∂r a . Ove jednačine kretanja se nazivaju Newtonove jednačine. Vector F a = - ∂U/∂r a se naziva sila. Ako se za opisivanje kretanja ne koriste kartezijanske koordinate tačaka, već proizvoljne generalizovane koordinate q i, tada je za dobijanje Lagranževe funkcije potrebno izvršiti odgovarajuću transformaciju: x a = f(q 1, q 2, .., q s) , x a (∙) = Σ(k ) [∂f a /∂q k (∙)], itd. Zamjenom ovih izraza u funkciju L= 1 / 2 Σ(a) – U dobijamo željenu Lagrangeovu funkciju oblika L = 1/2 Σ(i,k) – U(q). Integrali kretanja. Postoje funkcije generaliziranih koordinata koje zadržavaju konstantne vrijednosti tijekom kretanja, ovisno samo o početnim uvjetima. Zovu se integrali kretanja. Zbog homogenosti vremena, dL/ dt = Σ(i) [∂L/∂q i q i (∙)] + Σ(i) [∂L/∂q i (∙) q i (∙∙)]. Zamjenom ∂L/∂q i prema Lagrangeovim jednadžbama sa d/dt (∂L/∂q i (∙)), dobijamo dL/dt = Σ(i) ili d/dt (Σ(i) - L) = 0 Iz ovoga vidimo da se veličina E = Σ(i) – L, nazvana energija, ne mijenja, tj. integral kretanja. Zbog homogenosti prostora sa infinitezimalnim prijenosom ε, kada su sve točke sistema pomjerene za ε = δr, promjena Lagrangeove funkcije jednaka δL = ε Σ(a) [∂L/∂r a ] mora biti jednaka na nulu, tj. Σ(a) [∂L/∂r a ] = 0. Koristeći Lagrangeove jednadžbe, dobijamo Σ(a) = d/dt (Σ(a)[ ∂L/∂v a ]) = 0. Tada je veličina R= Σ(a)[ ∂L/∂v a ], nazvan impuls, ostaje nepromijenjen, tj. integral kretanja. Zbog izotropije prostora, sa beskonačno malom rotacijom kroz ugao δφ, promjena Lagrangeove funkcije jednaka je δL = Σ(a) [∂L/∂r a δ r a + ∂L/∂v a δ v a ] mora biti jednak nuli. Nakon što smo izvršili zamjenu ∂L/∂ v a = str a i ∂L/∂ r a = str a (∙) zbog proizvoljnosti δφ dobijamo d/dt Σ(a) [ r a str a ] = 0. Vrijednost M = Σ(a) [ r a str a ], nazvan ugaoni moment, ostaje konstantan, tj. integral kretanja.

6. Dinamika apsolutno krutog tijela. Tenzor inercije. Ojlerove jednačine. Kruto tijelo je sistem materijalnih tačaka, među kojima je rastojanje konstantno. Da bismo u potpunosti opisali kretanje krutog tijela, potrebno je, pored kretanja jedne od njegovih tačaka, poznavati i kretanje tijela oko ove tačke kao tačke fiksacije. Neka je tijelo fiksirano u tački O. Radijus vektor tačke m i označavamo u odnosu na O r ja, w je trenutna ugaona brzina tela, zatim ugaoni moment L= Σ [ r i * m i v i ] = Σ = wΣ – Σ. Ova vektorska jednakost se može napisati u obliku tri projekcije na koordinatne ose L x = w x Σ - Σ ; L y = w y Σ - Σ ; L z = w z Σ - Σ . S obzirom na to ( w r i) = x i w x + y i w y + z i w z dobijamo L x = J xx w x + J xy w y + J xz w z ; L y = J yx w x + J yy w y + J yz w z ; L x = J zx w x + J zy w y + J zz w z, gdje je J xx = Σ, J xy = Σ, ostali slično. Veličine J xx , J yy , J zz nazivaju se aksijalni momenti inercije, a J xy = J yx , J xz = J zx , J yz = J zy – centrifugalni momenti inercije. Skup veličina J ij naziva se tenzor inercije. Elementi J ii nazivaju se dijagonali. Ako su svi nedijagonalni elementi jednaki nuli, onda kažu da su osi tijela koje se poklapaju s koordinatnim osama glavne osi inercije, a veličine J ii nazivaju se glavnim momentima inercije. Takav tenzor se svodi na dijagonalni oblik.

Ojlerove jednačine. Jednačina kretanja centra mase tijela ima oblik m d v 0 /dt = m d/dt ( w * r 0) = F, Gdje r 0 – radijus vektor centra mase tela, povučen iz tačke njegovog pričvršćivanja. Pogodno je usmjeriti ose koordinatnog sistema povezanog s tijelom duž glavnih osi inercije. U ovom slučaju, ugaoni moment poprima jednostavan oblik L 1 = J 1 w 1, L 2 = J 2 w 2, L 3 = J 3 w 3, a w i su projekcije ugaone brzine na koordinatne ose koje se kreću sa telom. Koristeći opštu formulu d A/dt = ∂ A/∂t + w* A, možemo predstaviti jednačinu momenta na sljedeći način ∂ L/∂t + w * L = M. Uzimajući u obzir da je L x = J x w x , L y = J y w y , L z = J z w z , prepisujemo ovu jednačinu u projekcijama na osu pokretnog koordinatnog sistema: J x dw x /dt + (J z - J y )w y w z = M x , J y dw y /dt + (J x – J z)w z w x = M y , J z dw z /dt + (J y – J x)w x w y = M z . Ove jednačine se nazivaju Ojlerove jednačine.

7. Kretanje u odnosu na neinercijalne referentne sisteme. NISO je sistem, u mačku. tijelo se kreće ubrzano u odnosu na mirovanje. sistemi koordinacije Ovdje koncepti homogenosti i izotropije prostora i vremena nisu ispunjeni, jer trajanje i obim u NISO variraju. Osim toga, gubi se sadržaj Njutnovog 3. principa i principa očuvanja. Razlog svemu su sile inercije povezane samo sa koordinatnim sistemom, kat. utiču na kretanje tela. TO. ubrzanje se može promijeniti pomoću vanjske sile ili sile inercije. F=∑Fi=ma (ISO), F=F(ext.)+Fi=ma′(NISO), gdje je Fi inercijalna sila, a je ubrzanje. tijela u ISO, a′-ubrzanje. isto telo u NISO. U NISO, Njutnov 1. zakon nije zadovoljen! Fi=-m(a′-a), tj. inercijalne sile ne poštuju 3. Newtonov zakon, jer oni su kratkog veka. Prilikom prelaska sa ISO na NISO, inercijske sile nestaju. Inercija sile su uvek usmerene na očne kapke. spoljne sile. Sile inercije se mogu dodati vektorski. U ISO-u: v=const, v<

dx/dt=Ux=dx′/dt+dv(t)/dt′=U′x+v(t) dUx/dt=d/dt′(U′x+v(t))=dU′x/ dt′+dv(t)/dt′=a x ' + a 0 = a x . NISO uvodi koncepte apsolutne, relativne i prenosive brzine: u 0 je apsolutna brzina, a 0 je relativno ubrzanje. mirovanje sistemi koordinacije

u x 0 = v + u x 0 '; a x 0 = a’ + a x ; u x ’ a x - relativna brzina i ubrzanje. pokret sistemi koordinacije (relativna) ; v, a′-brzina i ubrzano. na′ se odnosi. do, tj. prenosiva brzina i ubrzanje

8. Hamiltonov varijacioni princip. (princip najmanje akcije).

Postoji funkcija generaliziranih koordinata, brzine, vremena. Razmotrimo 2S dimenzionalni prostor, tada je pozicija sistema S = ∫(t 1 , t 2) L(g, g( ), t)dt, L Lagrangeova funkcija; S-akcija. Funkcija akcije naziva se itnegral S=∫ Ldt=0, na kat. uzet duž prave putanje kretanja, sistem će imati minimalnu vrijednost, tj. S=Smin, δS=0. One. sistem od 1 do 2 kreće se takvom putanjom da je njegovo djelovanje minimalno - Hamiltonov princip najmanjeg djelovanja. L = T – U je razlika između kinetičke i potencijalne energije sistema. Prema Hamiltonu, stvarna putanja odgovara minimalnoj akciji. Nađimo putanju. Stvarna putanja je minimalna putanja. S-funkcionalni. Pronađimo min. δS = 0 prva varijacija. δS = ∫(t 1 ,t 2)(Σ[∂L/∂g i δg i ] + Σ[∂L/∂g i ( ) δg i ( )])dt; ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) δg i ( ) dt = ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) dδg i = ∂L/∂g i ( )δg i (t 1 ,t 2) - ∫(t 1 ,t 2) δg i d/dt (∂L/∂g i ( )) dt;

;

δg ne zavisimo jedno od drugog
=0
na stvarnoj putanji mora biti zadovoljena sljedeća jednačina:
- Lagrangeova jednačina (za bilo koje i= 1,…S).

9. Oscilacije sistema sa jednim i više stepeni slobode. Slobodne i prisilne vibracije . Najjednostavniji slučaj je kada sistem ima jedan stepen slobode. Stabilna ravnoteža odgovara ovoj poziciji sistema, u kat. njegov potencijal en. U(q) ima minimum. Odstupanje od ove pozicije dovodi do pojave sile - dU/dq, koja teži da vrati sistem nazad. q 0 - generalizovana koordinata. Proširimo U(q) - U(q0) u stepene i dobijemo U(q) - U(q0) ≈ k/2 (q - q 0) 2 gdje je k = U’’(q 0) pozitivan koeficijent. U(q 0) = 0, označimo x = q - q 0 - odstupanje koordinate od ravnotežne vrijednosti, zatim U(x) = kx 2 /2 – potencijalna energija. 1/2a(q) q' 2 =1/2a(q)x' 2 -kinetička energija pri q = q0 i a(q0) = m dobijamo Lagrangeovu funkciju za sistem koji vrši jednodimenzionalne oscilacije: L = mx 2 (∙) /2 – kx 2 /2. Jednačina kretanja koja odgovara ovoj funkciji će biti: mx(∙∙) + kx = 0 ili x(∙∙) + w 2 x = 0, gdje je w = √(k/m) frekvencija ciklične oscilacije. Rješenje ovih jednačina je x = a cos(wt + α) gdje je a amplituda oscilacija, wt + α faza oscilacija. To. energija sistema koji osciluje biće E = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2. Prisilne vibracije. U ovom slučaju, pored sopstvene potencijalne energije ½ kx 2, sistem ima i potencijalnu energiju U e (x, m) povezanu sa dejstvom spoljašnjeg polja. Prema tome, Lagrangeova funkcija takvog sistema će biti: L = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2 + x F(t), gdje je F(t) vanjska sila.

Odgovarajući nivo kretanja će biti mx(∙∙) + kx = F(t), ili x(∙∙) + w 2 x = F(t)/m. Ako je F(t) jednostavna periodična funkcija vremena sa određenom frekvencijom γ: F(t) = f cos(γt + β) tada će rješenje jednadžbi kretanja biti: X = a cos(wt + α) + f cos(γt + β)/(m(w 2 – γ 2)) a i α se određuju iz početnih uslova. To. pod uticajem pokretačke sile, sistem vrši kretanje koje predstavlja kombinaciju dve oscilacije - sa sopstvenom frekvencijom sistema w i sa frekvencijom pokretačke sile - γ. Oscilacije sistema sa mnogo stepeni slobode . Potentan. en. sistem U(q i) ima minimum na q i =q i 0 . Uvođenjem malih pomaka x i = q i - q i 0 i proširenjem U po njima, do članova 2. reda, dobijamo potencijal. energija: U = 1/2 Σ(i,k) , k ik =k ki . Kinet. en. za takav sistem postojaće 1/2 Σ(i,k) , gde je m ik =m ki . Lagranževa jednačina za takav sistem će biti: L = 1/2 Σ(i,k) . Tada je dL = Σ(i,k) . Tražimo x k (t) u obliku x k = A k exp(-iwt), A k je konstanta. Zamjenom ovoga u Lagrangeovu jednačinu dobijamo sistem linearnih homogenih jednačina. Σ(k) [(-w 2 m ik +k ik)A k ] = 0 - karakteristična jednačina, ima s različitih korijena w 2 α (α=1,2,….,s) w α - prirodne frekvencije sistem. Konkretno rješenje sistema ima oblik: x k = ∆ kα C α exp(-iw α t). Opšte rješenje je zbir svih parcijalnih rješenja: x k = Σ(α) [∆ kα Q α ], gdje je Q = Re (C α exp(-iw α t)).

10. Hamiltonova kanonska jednadžba. Niz prednosti pri proučavanju pitanja mehanike pruža opis pomoću generalizovanih koordinata i impulsa, prelazak sa jednog skupa nezavisnih varijabli na drugi može se ostvariti pomoću Legendreove transformacije. U ovom slučaju se svodi na sljedeće. Ukupni diferencijal Lagrangeovih funkcija kao funkcija koordinata i brzina jednak je: dL = Σ(i) [∂L/∂q i ] + Σ(i) [[∂L/∂q i (∙)]. Ovaj izraz se može napisati kao dL = Σ(i) + Σ(i) . Prepišimo to u obliku: d(Σ(i) – L) = - Σ(i) + Σ(i) . Količina pod predznakom diferencijala predstavlja energiju sistema izraženu u koordinatama i momentima i naziva se Hamiltonova funkcija: H(p,q,t) = Σ(i) – L. Iz diferencijala. jednakosti dH = - Σ(i) + Σ(i) slijede jednačine: q i (∙) = ∂H/∂p i, p i (∙) = - ∂H/∂q i – ovo su Hamiltonove jednačine. Zbog svoje jednostavnosti i simetrije nazivaju se i. kanonski. Poissonove zagrade. Vremenski derivat bilo koje funkcije F generaliziranih koordinata, impulsa i vremena bit će dF/dt = ∂F/∂t + Σ(i) [∂F/∂q i dq i /dt] + Σ(i) [∂F/ ∂p i dp i /dt]. Koristeći Hamiltonove jednačine, ovu jednačinu možemo prepisati u sljedećem obliku: dF/dt = ∂F/∂t + , gdje je = Σ(i) [∂F/∂q i ∂H/∂p i - ∂H/∂q i ∂F /∂ p i ] - pozvan Poissonova zagrada. Očigledno, Hamiltonova jednačina se može napisati pomoću Poissonovih zagrada.

11. Hamilton–Jacobijeva jednadžba . Po principu najmanjeg djelovanja imamo S = ∫(t 1 ,t 2)Ldt. Razmotrimo akciju (S) kao veličinu koja karakteriše kretanje duž pravih putanja. Na osnovu Lagrangeove jednačine za promjenu akcije pri kretanju s jedne putanje na drugu putanju blizu nje (na jednom stepenu slobode), dobijamo: δS = pδq ili za bilo koji broj stupnjeva slobode: δS = Σ(i) . Iz toga slijedi da su parcijalne derivacije djelovanja u odnosu na koordinate jednake odgovarajućim impulsima: ∂S/∂q i = p i (1). Po definiciji, dS/dt = L, s druge strane, posmatrajući S kao funkciju koordinata i vremena i koristeći formulu (1) imamo: dS/dt = ∂S/∂t + Σ(i) [∂S/ ∂q i q i (∙)] = ∂S/∂t + Σ(i) . Upoređujući oba izraza, dobijamo ∂S/∂t = L - Σ(i) ili ∂S/∂t = - H(p,q,t) (2). Formule (1), (2) se mogu zapisati zajedno kao dS = Σ(i) – Hdt. A sama akcija (S) će biti S = ∫ (Σ(i) – Hdt). Kada je H nezavisno od t – S(q,t)=S 0 (q) - Et, gde je S 0 (q) = Σ(i) [∫p i dq i ] skraćena akcija i Et se zamenjuje sa H( p,q) . Funkcija S(q,t) zadovoljava određeni diferencijal. jednadžba koju dobijamo zamjenom impulsa P u odnosu (2) sa derivatima ∂S/∂q: ∂S/∂t + H(∂S/∂q 1 ,…, ∂S/∂q s ;q 1 ,… ,q s ,t) = 0 je parcijalna diferencijalna jednadžba 1. reda koja se zove. Hamilton-Jacobijeva jednadžba. Dakle, za jednu česticu u vanjskom polju U(x,y,z,t) ona ima oblik: ∂S/∂t + 1/(2m)((∂S/∂x) 2 + (∂S/∂ y) 2 + (∂S/∂z) 2) + U(x,y,z,t) = 0.

12. Deformacije i naprezanja u čvrstim tijelima. Youngovi moduli, smicanje. Poissonov omjer . Deformacija je promjena oblika i zapremine tijela pod utjecajem vanjskih sila. Pod uticajem spoljne sile menja se oblik tela. Sve deformacije u prirodi mogu se svesti na 3 m glavne deformacije: 1) napetost, kompresija; 2) smena; 3) torzija. Postoje homogene i nehomogene deformacije. Ako su svi dijelovi jednako deformisani, onda je ovo homogeno deformisan. Ako su svi dijelovi tijela nejednako deformisani, onda ovo heterogeno deformisan. Hookeov zakon je zadovoljen u području samo elastične deformacije.  = E’. F/S = E ∆l/l 0 ; F kontrola = ES∆l/l 0 = kx; k = ES/l 0 ; F kontrola = ESx/l 0 . Hookeov zakon definira odnos između  i . k je koeficijent elastičnosti, zavisi od geometrijskih dimenzija, materijala i od čega je tijelo napravljeno. E-Youngov modul. Youngov modul jednak je sili koja se mora primijeniti na tijelo jediničnog poprečnog presjeka da bi se njegovo tijelo udvostručilo. Druga vrsta deformacije je posmična deformacija, koja se uočava kada se površina nanese tangencijalno; ona je paralelna sa površinom posmične deformacije i posmatra se pod dejstvom tangencijalnih sila, tj. sile se primenjuju tangencijalno. Ψ~F t /S (ugao pomaka). Ψ = nF t /S; n je koeficijent pomaka. F t = nS. (E>N, E~ 4N).

Kvantitativni odnos između E i N je specificiran kroz Poissonov omjer. N = E/(2(1+μ)), gdje je  Poissonov omjer. μ = |∆d/d 0 |/|∆l/l 0 |. Poissonov omjer određuje promjenu poprečnih dimenzija tokom napetosti ili kompresije.  0,5.

13. Mehanika tečnosti i gasova. Za sve tečnosti i gasove objedinjujući parametar je: gustina ρ, pritisak P=F n /S. U tečnostima i gasovima postoji Youngov modul, ali modul smicanja |σ|=|P| se ne dešava, σ je napon. Ako je tečnost (gas) nepomična, onda imamo posla sa hidrostatikom (aerostatikom). Karakteristični zakoni: Pascalov zakon: višak pritiska stvoren u gasovima i tečnostima prenosi se podjednako u svim pravcima. Arhimedov princip važi i za tečnosti i za gasove. Arhimedova sila uvijek djeluje protiv gravitacije. Razlog za pojavu Arhimedove sile je prisustvo u telu zapremine V. Arhimedov princip: Na telo koje se nalazi u tečnosti ili gasu uvek deluje sila jednaka težini tečnosti ili gasa koji je istisnuo uronjen dio tijela, i usmjeren vertikalno prema gore. Ako je F A >F GRAVITACIJA, tada tijelo lebdi, ako naprotiv, onda tone. Ako tečnost (gas) teče, tada se ovim jednačinama dodaje jednačina kontinuiteta mlaza. Putanja čestice u tečnosti naziva se. trenutna linija. Poziva se dio prostora ograničen trenutnom linijom. strujna cijev. Tečnost u strujnoj cevi može teći stacionarno ili nestabilno. Struja se zove statički ako kroz dati dio cijevi teče struja po jedinici. vremena prođe ista količina tečnosti (gasa), inače je tok nestalan. Neka nam je strujna cijev sljedećeg oblika: Ako je tok fluida statičan. Tada je m 1 =m 2 =…=m n po jedinici vremena, ako je fluid nestišljiv, tada je ρ 1 V 1 =ρ 2 V 2 =…; =ρ n V n , ρ 1 Δx 1 = ρ 2 Δx 2 =…; = ρ n Δx n, ρ 1 υ 1 ΔtS 1 =ρ 2 υ 2 ΔtS 2 =…= ρ n υ n ΔtS n, pošto je fluid nestišljiv ρ je konstantan υ 1 S 1 =υ 2 S 2 =…= υ n S n , υS=const; υ=const/S – jednačina kontinuiteta mlaza. ρ d v/dt = ρ g– grad P – ek. Euler - 2. reda. Njutn za tečnosti i gasove. Zakon očuvan Energija u tečnostima i gasovima. Lv. Bernoulli. ID. Ime Nestišljiva tekućina u kojoj se sile viskoznog trenja mogu zanemariti. Kinetička energija se ne troši na rad protiv sila trenja. Ρυ 2 /2+ρgh + P = const – eq. Bernuli, ρυ 2 /2 – dinamički pritisak, ρgh – hidrostat. Pritisak, P – molekularni pritisak. Mυ 2 /2 = E K ; mυ 2 /2V= E K /V= ρυ 2 /2. Viskozna sila trenja F A = ​​- ηΔυΔS/ΔZ  6 π r η υ – Stoksova sila. Η - koeficijent viskozitet, Δυ/ΔZ – grad υ, r – dimenzije karoserije. Ovo je Newtonova formula za sile viskoznog trenja. Ako u tečnosti postoje sile trenja, onda id. Tečnost postaje viskozna. ρ v 1 2 /2 + ρgh 1 + P 1 = ρ v 2 2 /2 + ρgh 2 + P 2 ; (P 1 – P 2) = ρ(υ 2 2 – υ 1 2)/2. Ako je ΔP = 0, onda je υ 2 2 – υ 1 2 = 0 i neće biti protoka fluida. Gdje je P veće, tu je i brzina. Manje je struje. Ako se poprečni presjek S povećava, tada se P povećava, a υ smanjuje. Ako strujna cijev ne leži horizontalno, tada je υ 2 2 -υ 1 2 =2g (h 1 -h 2); υ = sqrt(2g (h 1 -h 2)) – Toričelijeva formula.

Oni ga se povinuju i stoga je ovaj princip jedna od ključnih odredbi moderne fizike. Jednačine kretanja koje se dobijaju uz pomoć nazivaju se Euler-Lagrangeove jednačine.

Prvu formulaciju principa dao je P. Maupertuis godine, odmah ukazujući na njegovu univerzalnost, smatrajući ga primenljivim na optiku i mehaniku. Iz ovog principa izveo je zakone refleksije i prelamanja svjetlosti.

Priča

Maupertuis je došao do ovog principa iz osjećaja da savršenstvo Univerzuma zahtijeva određenu ekonomičnost u prirodi i da je u suprotnosti sa svakim beskorisnim trošenjem energije. Prirodno kretanje mora biti takvo da određenu količinu čini minimalnom. Sve što je trebalo da uradi je da pronađe ovu vrednost, što je nastavio da radi. To je bio proizvod trajanja (vremena) kretanja unutar sistema za dvostruku vrijednost, koju sada nazivamo kinetičkom energijom sistema.

Euler (in "Reflexions sur quelques loix générales de la nature", 1748) usvaja princip najmanje akcije, nazivajući akciju "naporom". Njegov izraz u statici odgovara onome što bismo sada nazvali potencijalnom energijom, tako da je njegova izjava o najmanjem djelovanju u statici ekvivalentna uvjetu minimalne potencijalne energije za ravnotežnu konfiguraciju.

U klasičnoj mehanici

Načelo najmanjeg djelovanja služi kao temeljna i standardna osnova Lagranžijeve i Hamiltonove formulacije mehanike.

Prvo pogledajmo konstrukciju ovako: Lagranževa mehanika. Na primjeru fizičkog sistema s jednim stepenom slobode, podsjetimo da je akcija funkcionalna u odnosu na (generalizovane) koordinate (u slučaju jednog stepena slobode - jednu koordinatu), odnosno izražava se kroz to da je svaka zamisliva verzija funkcije povezana je s određenim brojem - akcijom (u tom smislu, možemo reći da je akcija kao funkcija pravilo koje dozvoljava bilo kojoj datoj funkciji da izračuna dobro definiran broj - također se naziva akcija). Akcija izgleda ovako:

gde je Lagranžijan sistema, zavisno od generalizovane koordinate, njegov prvi izvod u odnosu na vreme, a takođe, moguće, eksplicitno po vremenu. Ako sistem ima veći broj stupnjeva slobode, onda Lagranžijan ovisi o većem broju generaliziranih koordinata i njihovih prvih izvoda s obzirom na vrijeme. Dakle, djelovanje je skalarna funkcija ovisno o putanji tijela.

Činjenica da je akcija skalarna olakšava je zapisivanje u bilo kojim generaliziranim koordinatama, glavna stvar je da se njima nedvosmisleno karakterizira pozicija (konfiguracija) sistema (na primjer, umjesto kartezijanskih koordinata, one mogu biti polarne koordinate, udaljenosti između tačaka sistema, uglovi ili njihove funkcije, itd. .d.).

Akcija se može izračunati za potpuno proizvoljnu putanju, ma koliko ona bila “divlja” i “neprirodna”. Međutim, u klasičnoj mehanici, među cijelim skupom mogućih putanja, postoji samo jedna duž koje će tijelo zapravo ići. Princip stacionarnog djelovanja upravo daje odgovor na pitanje kako će se tijelo zapravo kretati:

To znači da ako je zadan Lagranžijan sistema, onda pomoću računa varijacija možemo tačno utvrditi kako će se telo kretati tako što ćemo prvo dobiti jednačine kretanja - Euler-Lagrangeove jednačine, a zatim ih rešiti. Ovo omogućava ne samo da se ozbiljno generalizira formulacija mehanike, već i da se izaberu najpogodnije koordinate za svaki konkretni problem, ne ograničavajući se na kartezijanske, što može biti vrlo korisno za dobivanje najjednostavnijih i najlakše rješivih jednačina.

gdje je Hamiltonova funkcija ovog sistema; - (generalizovane) koordinate, - konjugirani (generalizovani) impulsi, koji zajedno karakterišu u svakom datom trenutku vremena dinamičko stanje sistema i, svaki je funkcija vremena, karakterišući tako evoluciju (kretanje) sistema. U ovom slučaju, da bi se dobile jednačine kretanja sistema u obliku Hamiltonovih kanonskih jednačina, potrebno je ovako napisanu akciju varirati nezavisno za sve i .

Treba napomenuti da ako je iz uslova problema u principu moguće pronaći zakon kretanja, onda je to automatski Ne znači da je moguće konstruirati funkcional koji uzima stacionarnu vrijednost tokom istinskog kretanja. Primjer je zajedničko kretanje električnih naboja i monopola - magnetnih naboja - u elektromagnetnom polju. Njihove jednadžbe kretanja ne mogu se izvesti iz principa stacionarnog djelovanja. Slično tome, neki Hamiltonovi sistemi imaju jednačine kretanja koje se ne mogu izvesti iz ovog principa.

Primjeri

Trivijalni primjeri pomažu da se procijeni korištenje principa rada kroz Euler-Lagrangeove jednačine. Slobodna čestica (mas m i brzinu v) u euklidskom prostoru kreće se pravolinijski. Koristeći Euler-Lagrangeove jednačine, to se može prikazati u polarnim koordinatama na sljedeći način. U nedostatku potencijala, Lagrangeova funkcija je jednostavno jednaka kinetičkoj energiji

u ortogonalnom koordinatnom sistemu.

U polarnim koordinatama kinetička energija, a time i Lagrangeova funkcija, postaje

Radijalne i ugaone komponente jednadžbe postaju, respektivno:

Rješavanje ove dvije jednačine

Ovdje je uvjetna notacija za beskonačno višestruku funkcionalnu integraciju po svim putanjama x(t), a to je Planckova konstanta. Naglašavamo da se, u principu, akcija u eksponencijalu pojavljuje (ili se može pojaviti) sama kada se proučava evolucijski operator u kvantnoj mehanici, ali za sisteme koji imaju tačan klasični (nekvantni) analog, ona je potpuno jednaka uobičajenom klasična akcija.

Matematička analiza ovog izraza u klasičnoj granici - za dovoljno velike , odnosno za vrlo brze oscilacije imaginarne eksponencijale - pokazuje da se ogromna većina svih mogućih putanja u ovom integralu međusobno poništava u granici (formalno za ). Za skoro svaku putanju postoji putanja na kojoj će fazni pomak biti upravo suprotan, a oni će dati nulti doprinos. Samo one putanje za koje je djelovanje blizu ekstremne vrijednosti (za većinu sistema - na minimum) se ne smanjuju. Ovo je čisto matematička činjenica iz teorije funkcija kompleksne varijable; Na primjer, metoda stacionarne faze zasnovana je na tome.

Kao rezultat toga, čestica se, u potpunoj saglasnosti sa zakonima kvantne mehanike, kreće istovremeno duž svih putanja, ali u normalnim uslovima samo trajektorije bliske stacionarnim (odnosno klasičnim) doprinose posmatranim vrednostima. Pošto se kvantna mehanika transformiše u klasičnu mehaniku na granici visokih energija, možemo pretpostaviti da je to kvantnomehaničko izvođenje klasičnog principa stacionarnosti djelovanja.

U kvantnoj teoriji polja

U kvantnoj teoriji polja takođe se uspešno primenjuje princip stacionarnog delovanja. Lagranžijeva gustina ovdje uključuje operatore odgovarajućih kvantnih polja. Iako je ovdje u suštini ispravnije (s izuzetkom klasične granice i dijelom kvazi-klasike) govoriti ne o principu stacionarnosti djelovanja, već o Feynmanovoj integraciji duž putanja u konfiguraciji ili faznom prostoru ovih polja – koristeći upravo pomenuta Lagranžijeva gustina.

Dalje generalizacije

Šire gledano, akcija se shvata kao funkcija koja definira preslikavanje iz konfiguracijskog prostora u skup realnih brojeva i, općenito, ne mora biti integral, jer su nelokalne akcije u principu moguće, barem teoretski. Štaviše, konfiguracijski prostor nije nužno funkcionalni prostor jer može imati nekomutativnu geometriju.

HAMILTON - OSTROGRADSKI PRINCIP

Princip stacionarnog djelovanja - opći integral varijacioni princip klasične mehanike, instalirao U.

Hamilton za holonomske sisteme ograničene idealnim stacionarnim vezama, a generalizovane od strane M. V. Ostrogradskog na nestacionarne veze. Prema G. - O.

ima stacionarnu vrijednost u odnosu na slična kinematički moguća kretanja, za koja su početni i konačni položaji sistema i vrijeme kretanja isti kao i za stvarno kretanje. Evo T - kinetički, U- potencijalna energija, L-T-U Lagrangeova funkcija sistema. U nekim slučajevima, istina ne odgovara samo stacionarnoj tački funkcionala S, ali mu pridaje i najmanji značaj. Stoga G. -O. n. često nazivan princip najmanje akcije. U slučaju nepotencijalnih aktivnih sila F v uvjet za stacionarnost djelovanja d S= 0 se zamjenjuje uslovom

Lit.: Hamilton W., Izvještaj sa četvrtog sastanka Britanskog udruženja za unapređenje nauke, L., 1835, str. 513-18; Ostrogradsku M., "Mem. de 1" Akad. des Sci. de St-Petershourg", 1850, t. 8, br. 3, str. 33-48.

V. V. Rumjancev.

Matematička enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Pogledajte šta je "HAMILTON - OSTROGRADSKI PRINCIP" u drugim rječnicima:

Fisherov princip je evolucijski model koji objašnjava zašto je preovlađujući omjer spolova vrsta živih organizama u prirodi otprilike 1:1; u kojoj geni za proizvodnju više jedinki oba spola ... ... Wikipedia

Hamilton (takođe jednostavno Hamiltonov princip), tačnije princip stacionarnosti delovanja, metoda dobijanja jednačina kretanja fizičkog sistema traženjem stacionarnog (često ekstremnog, obično u vezi sa ustaljenom tradicijom... .. Wikipedia

Refrakcija talasa prema Hajgensu ... Wikipedia

U metodologiji nauke, tvrdnja je da svaka nova naučna teorija, u prisustvu stare, dobro proverene teorije, nije u potpunoj suprotnosti sa njom, već daje iste posledice u nekoj ekstremnoj aproksimaciji (poseban slučaj). Na primjer, zakon... ... Wikipedia

Pontrijaginov diskretni princip maksimuma za vremensko diskretne procese upravljanja. Za takav proces, operator konačne razlike možda neće vrijediti, iako za njegov kontinuirani analog, dobiven zamjenom operatora konačne razlike diferencijalnim... ... Mathematical Encyclopedia

Ili Hamiltonov princip, u mehanici i matematičkoj fizici, služi za dobijanje diferencijalnih jednačina kretanja. Ovaj princip se primenjuje na sve materijalne sisteme, bez obzira na to kojim silama su podložni; Prvo ćemo to izraziti u tome... Enciklopedijski rječnik F.A. Brockhaus i I.A. Efron

Kvantni postulat. mehanike, koja zahtijeva podudarnost svojih fizičkih. posljedice u graničnom slučaju velikih kvantnih brojeva s rezultatima klasičnih. teorije. U S. p. otkriva se činjenica da kvan. efekti su značajni samo kada se razmatraju mikro objekti, kada ... ... Fizička enciklopedija

Hamiltonov varijacioni princip- Hamiltono variacinis principas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. Hamiltonov princip varijacije vok. Hamiltonsches Variationsprinzip, n rus. Hamiltonov varijacioni princip, m pranc. principe variationnel d’Hamilton, m … Fizikos terminų žodynas

Postulat kvantne mehanike (vidi kvantna mehanika), koji zahtijeva da se njegove fizičke posljedice u graničnom slučaju velikih kvantnih brojeva (vidi kvantni brojevi) poklapaju s rezultatima klasične teorije. U S. p. manifestuje se činjenica da ... ... Velika sovjetska enciklopedija

- (valna mehanika), teorija koja uspostavlja metodu opisa i zakone kretanja mikročestica (elemenata, atoma, molekula, atomskih jezgara) i njihovih sistema (na primjer kristala), kao i odnos između veličina koje karakteriziraju čestice i sistema, sa fizičkim veličine..... Fizička enciklopedija

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Akcija (fizika). Dimenzija akcije L2MT−1 Akcija u fizici je skalarna fizička veličina koja je ... Wikipedia

Knjige

• Principi kretanja ekonomskog sistema. Monografija, Kusner Yuri Semenovich, Tsarev Igor Gennadievich. U analitičkom obliku su prikazane osnovne jednačine kretanja ekonomskog sistema i riješen je problem pronalaženja adekvatnih metoda za upravljanje njegovim kretanjem. Korišćen je matematički aparat...

1. Hamilton-Ostrogradsky princip

To je sada postalo jedan od osnovnih principa mehanike. Za holonomske mehaničke sisteme može se direktno dobiti kao posljedica D'Alembert-Lagrangeovog principa. Zauzvrat, sva svojstva kretanja holonomskih mehaničkih sistema mogu se dobiti iz Hamilton-Ostrogradskog principa.

Razmotrimo kretanje sistema materijalnih tačaka u odnosu na neki inercijalni referentni sistem pod dejstvom aktivnih sila. Neka su moguća kretanja tačaka sistema ograničena idealnim holonomskim ograničenjima. Označimo kartezijanske koordinate tačke sa, a nezavisne Lagranževe koordinate sa Zavisnost između kartezijanske i Lagranževe koordinate data je relacijama

U nastavku ćemo pretpostaviti da su koordinate predstavljene jednovrijednim, kontinuiranim i proizvoljno diferenciranim funkcijama varijabli, a uz to ćemo pretpostaviti da se iz svake pozicije sistema parametri mogu mijenjati u pozitivnom i negativnom smjeru. Razmotrićemo kretanje sistema počevši od određenog trenutka do trenutka Neka početni položaj sistema odgovara vrednostima

Lagranževe koordinate i položaj sistema u ovom trenutku - vrijednosti Uvedemo u razmatranje -dimenzionalni prošireni prostor koordinata i vremena u kojem svakoj specifičnoj poziciji sistema odgovara jedna tačka. U tako proširenom -dimenzionalnom prostoru, kretanje sistema je predstavljeno određenom krivom, koju ćemo dalje zvati putanjom sistema. Početna i konačna pozicija sistema ovde će odgovarati dvema tačkama. U stvarnom kretanju sistema od pozicije do pozicije, Lagranžijeve koordinate se kontinuirano mijenjaju, definirajući krivu u -dimenzionalnom prostoru, koju ćemo nazvati stvarna putanja sistema. Možete natjerati sistem da se kreće u skladu sa vezama nametnutim sistemu od pozicije do pozicije u istom vremenskom intervalu, ali duž druge putanje, blizu stvarnoj, bez brige o zadovoljavanju jednačina kretanja. Takvu putanju u -dimenzionalnom prostoru nazivamo kružnom putanjom. Uspoređujući kretanja po stvarnim i kružnim putanjama, postavili smo sebi cilj da odredimo stvarnu putanju među kružnim. Neka je pozicija sistema u trenutku na stvarnoj putanji označena tačkom P, a pozicija sistema u istom trenutku na putanji kružnog toka tačkom P (sl. 252).

Segment koji povezuje dvije tačke na različitim putanjama u istom trenutku u vremenu predstavljat će moguće kretanje sistema u ovom trenutku. To odgovara promjeni Lagranžijevih koordinata u trenutku kada se kreće iz pozicije P u poziciju P za određenu količinu. moguće kretanje sistema će odgovarati varijacijama u kartezijanskim koordinatama koje se mogu izraziti kroz varijacije Lagrangeovih koordinata u obliku jednakosti

Razmotrimo proizvoljnu familiju "putanja" sa jednim parametrom

od kojih svaka povezuje tačke koje prolaze kroz njih u trenucima vremena, odnosno, i neka vrijednost parametra odgovara stvarnoj putanji (direktnoj putanji) koju sistem prelazi od pozicije do pozicije tokom vremena. Vrijednosti a koje su različite od nula odgovara "kružnim" putanjama (zaobilazne staze) , tj. svim ostalim putanjama koje povezuju tačke tokom vremena. Kretanje sistema duž bilo koje trajektorije će odgovarati promjeni Lagranžijevih koordinata zbog promjene vremena kada parametar a ostane nepromijenjen. Parametar a će se promijeniti samo pri prelasku s jedne putanje na drugu. Varijacija koordinata će se sada definirati na sljedeći način:

a vremenski izvod koordinate će imati oblik

Neka su Lagranžijeve koordinate jednovrijedne kontinuirane diferencijabilne funkcije od . Onda

Rezultirajuće relacije u mehanici nazivaju se „komutacija“. Operacije diferencijacije su promjenjive samo kada su sve koordinate nezavisne i nisu povezane neintegrabilnim relacijama.

Pokažimo da permutabilnost operacija varijacije i diferencijacije vrijedi i za kartezijanske koordinate. Neka

Razmotrimo vremenski derivat od

Na drugoj strani,

Oduzevši drugu jednakost od prve, dobijamo

odakle sledi

tj. operacije diferencijacije i varijacije su takođe promenljive za kartezijanske koordinate, ako su samo holonomske idealne veze nametnute sistemu materijalnih tačaka.

Prijeđimo na određivanje stvarne putanje među svim kružnim tokovima. Stvarno kretanje sistema odvija se u skladu sa D'Alembert-Lagrangeovim principom

koji određuje "trend" pravog kretanja (stvarnog kretanja) u svakom trenutku vremena. Razmotrimo integral

uzeti duž stvarne putanje sistema. Sve uspoređene putanje sistema počinju u istom trenutku vremena i iz iste tačke u -dimenzionalnom prostoru. Svi završavaju u istoj tački u istom trenutku. Stoga će na krajevima putanja biti ispunjeni uslovi

Transformirajmo rezultirajuću jednačinu integracijom po dijelovima izraza

a pošto varijacije nestaju na krajevima putanje, imaćemo

Zbog komutabilnosti operacija diferencijacije i varijacije imamo

nakon čega jednačina poprima oblik

U ovom obliku, rezultirajuća jednačina izražava Hamiltonov “princip najmanjeg djelovanja” za opšte mehaničke sisteme. Na realnoj putanji sistema, integral funkcije nestaje

Ako sile koje djeluju na sistem imaju funkciju sile , tada relacija vrijedi

i gore izvedena jednačina postaje

Budući da varijacija nije povezana s promjenom vremena, operacije varijacije i integracije mogu se zamijeniti:

tj. integral na realnoj putanji ima stacionarnu vrijednost.

Pokazali smo neophodnost stacionarne vrijednosti integrala na realnoj putanji. Pokažimo da je okretanje varijacije integrala na nulu dovoljan uslov za stvarno kretanje sistema. Da biste to učinili, dovoljno je dobiti jednačine kretanja sistema iz Hamiltonovog principa.

Razmotrimo mehanički sistem sa holonomskim idealnim ograničenjima, čiji je položaj određen Lagranžijevim koordinatama i živom silom

zavisi od generalizovanih brzina, koordinata i vremena. Uzimajući u obzir poznatu relaciju

Prepišimo Hamiltonov princip u obliku

Izvođenje varijacije radne snage

a zatim integraciju po dijelovima

pošto su na krajevima intervala varijacije koordinata jednake nuli, iz Hamiltonovog principa dobijamo

Varijacije su proizvoljne i nezavisne unutar intervala, a onda će, na osnovu glavne leme varijacionog računa, jednakost biti moguća samo kada svi koeficijenti nestanu, tj. kada su ispunjeni uslovi

Rezultirajuće jednačine moraju biti zadovoljene u stvarnom kretanju mehaničkog sistema. Dovoljnost Hamiltonovog principa dokazuje činjenica da su ove jednačine Lagrangeove jednačine druge vrste, koje opisuju kretanje mehaničkog sistema na koji su nametnuta holonomska idealna ograničenja.

Hamiltonov princip za mehaničke sisteme s holonomskim idealnim ograničenjima sada se može formulirati na sljedeći način:

Stvarno kretanje sistema sa holonomskim idealnim vezama između dva data položaja razlikuje se od kinematički mogućih kretanja između ovih pozicija u istom vremenskom periodu po tome što integral nestaje pri stvarnom kretanju

za sve vrijednosti koje zadovoljavaju navedene uslove.

Kada sam prvi put saznao za ovaj princip, imao sam osećaj neke vrste misticizma. Čini se da priroda misteriozno prolazi kroz sve moguće puteve kretanja sistema i bira najbolji.

Danas želim malo govoriti o jednom od najistaknutijih principa fizike - principu najmanjeg djelovanja.

Pozadina

Još od Galilejevog vremena poznato je da se tijela na koja ne djeluju nikakve sile kreću pravolinijski, odnosno najkraćim putem. Svetlosni zraci takođe putuju pravim linijama.

Kada se reflektuje, svetlost se takođe kreće tako da od jedne tačke do druge stigne na najkraći mogući način. Na slici će najkraća putanja biti zelena staza, na kojoj je upadni ugao jednak kutu refleksije. Bilo koja druga staza, na primjer, crvena, bit će duža.

To je lako dokazati jednostavnim reflektiranjem putanja zraka na suprotnoj strani ogledala. Na slici su prikazani isprekidanim linijama.

Vidi se da zeleni put ACB prelazi u pravi ACB'. A crvena staza se pretvara u isprekidanu liniju ADB’, koja je, naravno, duža od zelene.

Godine 1662. Pierre Fermat je sugerirao da je brzina svjetlosti u gustoj materiji, kao što je staklo, manja nego u zraku. Prije toga je bila općenito prihvaćena Descartesova verzija prema kojoj brzina svjetlosti u materiji mora biti veća nego u zraku da bi se dobio ispravan zakon prelamanja. Za Ferma, pretpostavka da bi se svjetlost mogla kretati brže u gušćem mediju nego u rijetkom, činila se neprirodnom. Stoga je pretpostavio da je sve bilo upravo suprotno i dokazao nevjerovatnu stvar – uz ovu pretpostavku, svjetlost se prelama na način da za minimalno vrijeme stigne do svog odredišta.

Opet, zelena boja pokazuje putanju duž koje svjetlosni snop zapravo putuje. Put koji je označen crvenom bojom je najkraći, ali ne i najbrži, jer svjetlost ima duži put da putuje kroz staklo i tamo je sporija. Najbrži put je stvarna putanja svjetlosnog snopa.

Sve ove činjenice upućuju na to da priroda djeluje na neki racionalan način, svjetlost i tijela se kreću na najoptimalniji način, trošeći što manje napora. Ali o kakvim se naporima radi i kako ih izračunati ostala je misterija.

Godine 1744. Maupertuis je uveo koncept "akcije" i formulirao princip prema kojem se prava putanja čestice razlikuje od bilo koje druge po tome što je djelovanje za nju minimalno. Međutim, sam Maupertuis nikada nije bio u stanju dati jasnu definiciju o čemu ova akcija znači. Rigoroznu matematičku formulaciju principa najmanje akcije već su razvili drugi matematičari - Euler, Lagrange, a na kraju ju je dao William Hamilton:

Matematičkim jezikom, princip najmanje akcije je formulisan prilično kratko, ali ne mogu svi čitaoci razumjeti značenje korištene notacije. Želim da pokušam da objasnim ovaj princip jasnije i jednostavnije.

Slobodno tijelo

Dakle, zamislite da sjedite u automobilu u određenom trenutku i u ovom trenutku vam je dat jednostavan zadatak: do trenutka kada trebate odvesti auto do tačke.

Gorivo za automobil je skupo i, naravno, želite da ga potrošite što je manje moguće. Vaš automobil je napravljen korištenjem najnovijih super tehnologija i može ubrzavati ili kočiti koliko god želite. Međutim, dizajniran je na način da što brže ide, troši više goriva. Štaviše, potrošnja goriva je proporcionalna kvadratu brzine. Ako vozite duplo brže, potrošit ćete 4 puta više goriva u istom vremenskom periodu. Osim brzine, na potrošnju goriva, naravno, utiče i težina vozila. Što je naš auto teži, to više goriva troši. Potrošnja goriva našeg automobila u svakom trenutku je jednaka, tj. tačno jednaka kinetičkoj energiji automobila.

Kako onda voziti da stignete na odredište u tačno zakazano vrijeme i trošite što manje goriva? Jasno je da treba ići pravolinijski. Kako se pređena udaljenost povećava, neće se trošiti manje goriva. I tada možete birati različite taktike. Na primjer, možete brzo stići na tačku unaprijed i samo sjediti i čekati da dođe vrijeme. Brzina vožnje, a samim tim i potrošnja goriva u svakom trenutku će biti visoka, ali će se i vrijeme vožnje smanjiti. Možda ukupna potrošnja goriva neće biti tako velika. Ili možete voziti ravnomjerno, istom brzinom, tako da, bez žurbe, stignete tačno u trenutku. Ili vozite dio puta brzo, a dio sporije. Koji je najbolji put?

Ispostavilo se da je najoptimalniji, najekonomičniji način vožnje voziti konstantnom brzinom, tako da na odredište stignete tačno u zakazano vrijeme. Svaka druga opcija će trošiti više goriva. Možete to sami provjeriti na nekoliko primjera. Razlog je taj što potrošnja goriva raste sa kvadratom brzine. Stoga, kako se brzina povećava, potrošnja goriva raste brže nego što se smanjuje vrijeme vožnje, a povećava se i ukupna potrošnja goriva.

Dakle, otkrili smo da ako automobil u svakom trenutku vremena troši gorivo proporcionalno svojoj kinetičkoj energiji, onda je najekonomičniji način da dođete od tačke do tačke u tačno određeno vrijeme da vozite ravnomjerno i pravolinijski, tačno način na koji se tijelo kreće u odsustvu sila koje na njega djeluju.snaga Bilo koji drugi način vožnje rezultirat će većom ukupnom potrošnjom goriva.

U polju gravitacije

Hajdemo sada malo poboljšati naš auto. Pričvrstimo mlazne motore na njega kako bi mogao slobodno letjeti u bilo kojem smjeru. Generalno, dizajn je ostao isti, pa je potrošnja goriva opet ostala striktno proporcionalna kinetičkoj energiji automobila. Ako se sada daje zadatak da se leti iz tačke u trenutku i stigne do tačke u trenutku, onda će najekonomičniji način, kao i ranije, naravno, biti da se leti jednoliko i pravolinijski kako bi se završilo gore u tački u tačno određeno vrijeme. Ovo opet odgovara slobodnom kretanju tijela u trodimenzionalnom prostoru.

Međutim, u najnoviji model automobila ugrađen je neobičan uređaj. Ovaj uređaj može proizvesti gorivo doslovno iz ničega. Ali dizajn je takav da što je automobil viši, uređaj proizvodi više goriva u svakom trenutku. Proizvodnja goriva je direktno proporcionalna nadmorskoj visini na kojoj se automobil trenutno nalazi. Takođe, što je automobil teži, to je uređaj snažniji na njega ugrađen i proizvodi više goriva, a proizvodnja je direktno proporcionalna težini automobila. Uređaj se pokazao takvim da je proizvodnja goriva tačno jednaka (gdje je ubrzanje slobodnog pada), tj. potencijalna energija automobila.

Potrošnja goriva u svakom trenutku jednaka je kinetičkoj energiji minus potencijalnoj energiji automobila (minus potencijalnoj energiji, jer ugrađeni uređaj proizvodi gorivo, a ne troši ga). Sada naš zadatak da što efikasnije pomeramo automobil između tačaka postaje teži. Ispostavlja se da pravolinijsko ravnomjerno kretanje nije najefikasnije u ovom slučaju. Ispostavilo se da je optimalnije dobiti malo nadmorske visine, ostati tamo neko vrijeme, potrošiti više goriva, a zatim se spustiti do točke . Uz pravilnu putanju leta, ukupna proizvodnja goriva uslijed uspona će pokriti dodatne troškove goriva za povećanje dužine puta i povećanje brzine. Ako pažljivo izračunate, najekonomičniji način za automobil će biti da leti u paraboli, duž potpuno iste putanje i potpuno istom brzinom kojom bi kamen letio u Zemljinom gravitacionom polju.

Ovdje je vrijedno pojasniti. Naravno, možete baciti kamen iz tačke na mnogo različitih načina tako da pogodi tačku. Ali morate ga baciti na takav način da, nakon što poleti sa tačke u trenutku, pogodi tačku tačno u trenutku vremena. Upravo će ovaj pokret biti najekonomičniji za naš automobil.

Lagrangeova funkcija i princip najmanjeg djelovanja

Sada ovu analogiju možemo prenijeti na stvarna fizička tijela. Analog stope potrošnje goriva za tijela naziva se Lagrangeova funkcija ili Lagrangeov (u čast Lagrangea) i označava se slovom . Lagranžijan pokazuje koliko “goriva” tijelo troši u datom trenutku. Za tijelo koje se kreće u potencijalnom polju, Lagranžijan je jednak njegovoj kinetičkoj energiji umanjenoj za potencijalnu energiju.

Analog ukupne količine goriva potrošenog tokom čitavog perioda kretanja, tj. Lagranževa vrijednost akumulirana tokom cijelog vremena kretanja naziva se “akcija”.

Princip najmanjeg djelovanja je da se tijelo kreće na način da je radnja (koja ovisi o putanji kretanja) minimalna. Istovremeno, ne smijemo zaboraviti da su početni i konačni uslovi specificirani, tj. gde se telo nalazi u trenutku i u trenutku vremena.

U ovom slučaju, tijelo ne mora nužno da se kreće u jednoličnom gravitacionom polju, što smo smatrali za naš automobil. Mogu se razmatrati potpuno različite situacije. Tijelo može oscilirati na elastičnoj traci, ljuljati se na klatnu, ili letjeti oko Sunca, u svim tim slučajevima kreće se tako da minimizira „ukupnu potrošnju goriva“, tj. akcija.

Ako se sistem sastoji od više tijela, onda će Lagranžijan takvog sistema biti jednak ukupnoj kinetičkoj energiji svih tijela umanjenoj za ukupnu potencijalnu energiju svih tijela. I opet, sva tela će se kretati usklađeno, tako da je efekat čitavog sistema tokom takvog kretanja minimalan.

Nije tako jednostavno

Zapravo, malo sam prevario rekavši da se tijela uvijek kreću na način koji minimizira akciju. Iako je to istina u mnogim slučajevima, moguće je zamisliti situacije u kojima akcija očigledno nije minimalna.

Na primjer, uzmimo loptu i stavimo je u prazan prostor. Na određenoj udaljenosti od njega postavićemo elastični zid. Recimo da želimo da lopta nakon nekog vremena završi na istom mjestu. Pod ovim datim uslovima, lopta se može kretati na dva različita načina. Prvo, može jednostavno ostati na mjestu. Drugo, možete ga gurnuti prema zidu. Lopta će odletjeti do zida, odbiti se od nje i vratiti se. Jasno je da ga možete gurati takvom brzinom da se vrati u pravo vrijeme.

Obje opcije za kretanje lopte su moguće, ali će akcija u drugom slučaju biti veća, jer će se cijelo ovo vrijeme lopta kretati s kinetičkom energijom različitom od nule.

Kako možemo sačuvati princip najmanje akcije da on vrijedi u takvim situacijama? Pričaćemo o ovome u.