Površina trougla - Pitagorina teorema. Pitagorina teorema: istorija, dokaz, primjeri praktične primjene

Istorija Pitagorine teoreme seže nekoliko hiljada godina unazad. Izjava koja kaže da je bila poznata mnogo prije rođenja grčkog matematičara. Međutim, Pitagorina teorema, istorija njenog nastanka i njen dokaz za većinu su povezani sa ovim naučnikom. Prema nekim izvorima, razlog za to je bio prvi dokaz teoreme, koji je dao Pitagora. Međutim, neki istraživači poriču ovu činjenicu.

Muzika i logika

Prije nego što ispričamo kako se razvijala istorija Pitagorine teoreme, pogledajmo ukratko biografiju matematičara. Živeo je u 6. veku pre nove ere. Datum rođenja Pitagore smatra se 570. pne. e., mjesto je ostrvo Samos. Malo se pouzdano zna o životu naučnika. Biografski podaci u drevnim grčkim izvorima isprepleteni su s očiglednom fikcijom. Na stranicama rasprava pojavljuje se kao veliki mudrac sa odličnim poznavanjem riječi i sposobnošću uvjeravanja. Inače, zbog toga je grčki matematičar dobio nadimak Pitagora, odnosno „uvjerljivi govor“. Prema drugoj verziji, rođenje budućeg mudraca predskazala je Pitija. Otac je dječaku dao ime Pitagora u njenu čast.

Mudrac je učio od velikih umova tog vremena. Među učiteljima mladog Pitagore su Hermodamantus i Ferekid sa Sirosa. Prvi mu je usadio ljubav prema muzici, drugi ga je naučio filozofiji. Obe ove nauke će ostati u fokusu naučnika tokom njegovog života.

30 godina obuke

Prema jednoj verziji, kao znatiželjan mladić, Pitagora je napustio svoju domovinu. Otišao je da traži znanje u Egipat, gdje je boravio, prema različitim izvorima, od 11 do 22 godine, a zatim je zarobljen i poslan u Babilon. Pitagora je imao koristi od svog položaja. 12 godina studirao je matematiku, geometriju i magiju drevna država. Pitagora se vratio na Samos tek u 56. godini. U to vrijeme ovdje je vladao tiranin Polikrat. Pitagora to nije mogao prihvatiti politički sistem i ubrzo otišao na jug Italije, gdje se nalazila grčka kolonija Croton.

Danas je nemoguće sa sigurnošću reći da li je Pitagora bio u Egiptu i Vavilonu. Možda je kasnije napustio Samos i otišao pravo u Croton.

Pitagorejci

Istorija Pitagorine teoreme povezana je sa razvojem škole koju je stvorio grčki filozof. Ovo religiozno i ​​etičko bratstvo propovedalo je poštovanje posebnog načina života, proučavalo aritmetiku, geometriju i astronomiju i bavilo se proučavanjem filozofske i mistične strane brojeva.

Njemu su pripisivana sva otkrića učenika grčkog matematičara. Međutim, historiju nastanka Pitagorine teoreme drevni biografi povezuju samo sa samim filozofom. Pretpostavlja se da je Grcima prenio znanje stečeno u Babilonu i Egiptu. Postoji i verzija da je on zapravo otkrio teoremu o odnosu između nogu i hipotenuze, a da nije znao za dostignuća drugih naroda.

Pitagorina teorema: istorija otkrića

Neki starogrčki izvori opisuju Pitagorinu radost kada je uspio dokazati teoremu. U čast ovog događaja, naredio je žrtvu bogovima u obliku stotina bikova i održao gozbu. Neki naučnici, međutim, ističu nemogućnost takvog čina zbog posebnosti gledišta Pitagorejaca.

Vjeruje se da u raspravi „Elementi“, koju je kreirao Euklid, autor daje dokaz teoreme, čiji je autor bio veliki grčki matematičar. Međutim, nisu svi podržavali ovu tačku gledišta. Tako je čak i antički neoplatonistički filozof Proklo istakao da je autor dokaza datog u Elementima sam Euklid.

Bilo kako bilo, prva osoba koja je formulirala teoremu nije bila Pitagora.

Stari Egipat i Babilon

Pitagorina teorema, o čijoj se istoriji govori u članku, prema njemačkom matematičaru Cantoru, bila je poznata još 2300. godine prije nove ere. e. u Egiptu. Drevni stanovnici doline Nila za vrijeme vladavine faraona Amenemhata I poznavali su jednakost 3 2 + 4 ² = 5 ². Pretpostavlja se da su uz pomoć trouglova sa stranicama 3, 4 i 5 egipatski „vlakači užeta“ gradili prave uglove.

Poznavali su i Pitagorinu teoremu u Babilonu. Na glinenim pločama koje datiraju iz 2000. godine prije Krista. a datira iz vremena vladavine, otkriven je približan proračun hipotenuze pravouglog trougla.

Indija i Kina

Istorija Pitagorine teoreme takođe je povezana sa drevnim civilizacijama Indije i Kine. Traktat “Zhou-bi suan jin” sadrži naznake da je (njegove strane povezane kao 3:4:5) bio poznat u Kini još u 12. vijeku. BC e., a do 6. vijeka. BC e. matematičari ove države znali opšti oblik teoreme.

Konstrukcija pravog ugla pomoću egipatskog trougla takođe je opisana u indijskoj raspravi "Sulva Sutra", koja datira iz 7.-5. veka. BC e.

Dakle, istorija Pitagorine teoreme u vreme rođenja grčkog matematičara i filozofa bila je stara već nekoliko stotina godina.

Dokaz

Tokom svog postojanja, teorema je postala jedna od fundamentalnih u geometriji. Istorija dokaza Pitagorine teoreme je vjerovatno počela razmatranjem jednakostraničnog kvadrata. Onaj koji je "izrastao" na hipotenuzi sastojat će se od četiri trougla jednaka prvom. Kvadrati na stranama sastoje se od dva takva trokuta. Jednostavno grafička slika jasno pokazuje valjanost tvrdnje formulisane u obliku čuvene teoreme.

Još jedan jednostavan dokaz kombinuje geometriju sa algebrom. Četiri identična pravokutna trougla sa stranicama a, b, c nacrtana su tako da formiraju dva kvadrata: vanjski sa stranom (a + b) i unutrašnji sa stranom c. U ovom slučaju, površina manjeg kvadrata će biti jednaka c 2. Površina velikog se izračunava iz zbira površina mali kvadrat i svi trokuti (površina pravokutnog trokuta, podsjetimo, izračunava se po formuli (a * b) / 2), odnosno c 2 + 4 * ((a * b) / 2), što je jednako do c 2 + 2ab. Površina velikog kvadrata može se izračunati na drugi način - kao proizvod dviju stranica, odnosno (a + b) 2, što je jednako a 2 + 2ab + b 2. Ispada:

a 2 + 2ab + b 2 = c 2 + 2ab,

a 2 + b 2 = c 2.

Postoji mnogo verzija dokaza ove teoreme. Na njima su radili Euklid, indijski naučnici i Leonardo da Vinči. Često su drevni mudraci citirali crteže, čiji se primjeri nalaze iznad, i nisu ih popratili ikakvim objašnjenjima osim napomene "Pogledaj!" Jednostavnost geometrijskog dokaza, pod uslovom da je neko znanje bilo dostupno, nije zahtijevalo komentare.

Istorija Pitagorine teoreme, ukratko prikazana u članku, razotkriva mit o njenom nastanku. Međutim, teško je i zamisliti da će ime velikog grčkog matematičara i filozofa ikada prestati da se vezuje za njega.

Pitagorina teorema- jedna od temeljnih teorema euklidske geometrije, koja uspostavlja relaciju

između stranica pravokutnog trougla.

Vjeruje se da je to dokazao grčki matematičar Pitagora, po kome je i dobio ime.

Geometrijska formulacija Pitagorine teoreme.

Teorema je prvobitno bila formulirana na sljedeći način:

U pravokutnom trokutu, površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka je zbroju površina kvadrata,

izgrađen na nogama.

Algebarska formulacija Pitagorine teoreme.

U pravokutnom trokutu kvadrat dužine hipotenuze jednak je zbroju kvadrata dužina kateta.

To jest, označavajući dužinu hipotenuze trokuta sa c, i dužine nogu kroz a I b:

Obe formulacije Pitagorina teorema su ekvivalentne, ali druga formulacija je elementarnija, nije

zahtijeva koncept područja. Odnosno, druga tvrdnja se može provjeriti bez znanja o tom području i

mjerenjem samo dužina stranica pravokutnog trougla.

Obratna Pitagorina teorema.

Ako je kvadrat jedne strane trokuta jednak zbiru kvadrata druge dvije stranice, tada

pravougaonog trougla.

Ili, drugim riječima:

Za svaku trojku pozitivnih brojeva a, b I c, takav da

postoji pravougli trougao sa katetama a I b i hipotenuzu c.

Pitagorina teorema za jednakokraki trougao.

Pitagorina teorema za jednakostranični trougao.

Dokazi Pitagorine teoreme.

On ovog trenutka U naučnoj literaturi je zabilježeno 367 dokaza ove teoreme. Vjerovatno teorema

Pitagora je jedina teorema sa tako impresivnim brojem dokaza. Takva raznolikost

može se objasniti samo fundamentalnim značajem teoreme za geometriju.

Naravno, konceptualno se svi oni mogu podijeliti u mali broj klasa. Najpoznatije od njih:

dokaz metoda područja, aksiomatski I egzotični dokazi(Na primjer,

korišćenjem diferencijalne jednadžbe).

1. Dokaz Pitagorine teoreme korištenjem sličnih trokuta.

Sljedeći dokaz algebarske formulacije je najjednostavniji od konstruiranih dokaza

direktno iz aksioma. Konkretno, ne koristi koncept površine figure.

Neka ABC postoji pravougaoni trougao sa pravim uglom C. Nacrtajmo visinu iz C i označiti

njegov temelj kroz H.

Trougao ACH slično trokutu AB C na dva ugla. Isto tako, trougao CBH slično ABC.

Uvođenjem notacije:

dobijamo:

,

što odgovara -

Preklopljeno a 2 i b 2, dobijamo:

ili , što je trebalo dokazati.

2. Dokaz Pitagorine teoreme korištenjem metode površine.

Dokazi u nastavku, uprkos njihovoj prividnoj jednostavnosti, uopšte nisu tako jednostavni. Svi oni

koristiti svojstva površine, čiji su dokazi složeniji od dokaza same Pitagorine teoreme.

• Dokaz kroz ekvikomplementarnost.

Složimo četiri jednaka pravougaonika

trougao kao što je prikazano na slici

desno.

Četvorougao sa stranicama c- kvadrat,

pošto je zbir dva oštra ugla 90°, i

rasklopljeni ugao - 180°.

S jedne strane, površina cijele figure je jednaka

površina kvadrata sa stranom ( a+b), a s druge strane, zbir površina četiri trougla i

Q.E.D.

3. Dokaz Pitagorine teoreme infinitezimalnom metodom.

​

Gledajući crtež prikazan na slici i

gledajući kako se strana mijenjaa, možemo

napišite sljedeću relaciju za beskonačno

mala bočni prirastWith I a(koristeći sličnost

trokuti):

Koristeći metodu razdvajanja varijabli, nalazimo:

Više opšti izraz za promjenu hipotenuze u slučaju povećanja oba kraka:

Integracija zadata jednačina i koristeći početne uslove, dobijamo:

Tako dolazimo do željenog odgovora:

Kao što je lako vidjeti, kvadratna ovisnost u konačnoj formuli se pojavljuje zbog linearne

proporcionalnost između stranica trokuta i priraštaja, dok je zbir povezan sa nezavisnom

doprinose prirasta različitih nogu.

Jednostavniji dokaz se može dobiti ako pretpostavimo da jedan od krakova ne doživi porast

(V u ovom slučaju nogu b). Tada za integracijsku konstantu dobijamo:

Uvjerite se da je trokut koji ste dobili pravokutni trokut, jer Pitagorina teorema vrijedi samo za pravokutne trokute. Kod pravouglog trougla, jedan od tri ugla je uvek 90 stepeni.

• Pravi ugao u pravokutnom trokutu je označen kvadratnim simbolom, a ne simbolom krive koji predstavlja kose uglove.

Označite stranice trougla. Označite katete kao "a" i "b" (katete su stranice koje se sijeku pod pravim uglom), a hipotenuzu kao "c" (hipotenuza je najveća stranica pravokutnog trokuta, koja leži nasuprot pravog ugla).

Odredite koju stranu trougla želite pronaći. Pitagorina teorema vam omogućava da pronađete bilo koju stranu pravokutnog trougla (ako su druge dvije strane poznate). Odredite koju stranu (a, b, c) trebate pronaći.

• Na primjer, za hipotenuzu jednaku 5, a za katet jednak 3. U ovom slučaju, potrebno je pronaći drugi krak. Kasnije ćemo se vratiti na ovaj primjer.
• Ako su druge dvije strane nepoznate, morate pronaći dužinu jedne od nepoznatih stranica da biste mogli primijeniti Pitagorinu teoremu. Da biste to učinili, koristite osnovne trigonometrijske funkcije (ako vam je data vrijednost jednog od kosih uglova).

Zamijenite vrijednosti koje su vam date (ili vrijednosti koje ste pronašli) u formulu a 2 + b 2 = c 2. Zapamtite da su a i b noge, a c hipotenuza.

• U našem primjeru napišite: 3² + b² = 5².

Kvadrirajte svaku poznatu stranu. Ili ostavite ovlaštenja - kasnije možete kvadrirati brojeve.

• U našem primjeru napišite: 9 + b² = 25.

Izolirajte nepoznatu stranu na jednoj strani jednačine. Da biste to učinili, prenesite poznate vrijednosti na drugu stranu jednačine. Ako pronađete hipotenuzu, onda je u Pitagorinoj teoremi ona već izolovana na jednoj strani jednačine (tako da ne morate ništa da radite).

• U našem primjeru, pomaknite 9 na desna strana jednadžbe za izolaciju nepoznatog b². Dobićete b² = 16.

Uzmite kvadratni korijen obje strane jednadžbe nakon što imate nepoznanicu (kvadrat) na jednoj strani jednadžbe i presek (broj) na drugoj strani.

• U našem primjeru, b² = 16. Uzmite kvadratni korijen obje strane jednačine i dobijete b = 4. Dakle, drugi krak je 4.

Koristite Pitagorinu teoremu u Svakodnevni život, jer se može koristiti u velikom broju praktičnih situacija. Da biste to učinili, naučite prepoznati pravokutne trokute u svakodnevnom životu - u bilo kojoj situaciji u kojoj se dva objekta (ili prave) sijeku pod pravim kutom, a treći objekt (ili linija) povezuje (dijagonalno) vrhove prva dva objekta (ili linije), možete koristiti Pitagorinu teoremu da pronađete nepoznatu stranu (ako su druge dvije strane poznate).

• Primjer: dato je stepenište naslonjeno na zgradu. Donji dio Stepenice se nalaze 5 metara od podnožja zida. Gornji dio Stepenice se nalaze 20 metara od tla (uz zid). Koja je dužina stepenica?
  • “5 metara od osnove zida” znači da je a = 5; „nalazi se 20 metara od zemlje“ znači da je b = 20 (to jest, date su vam dvije krake pravouglog trokuta, jer se zid zgrade i površina Zemlje sijeku pod pravim uglom). Dužina stepeništa je dužina hipotenuze, koja je nepoznata.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20,6. Dakle, približna dužina stepenica je 20,6 metara.

Jedna stvar u koju možete biti stopostotno sigurni je da će na pitanje koliki je kvadrat hipotenuze, svaka odrasla osoba hrabro odgovoriti: "Zbroj kvadrata nogu." Ova teorema je čvrsto ukorijenjena u svijesti svih. obrazovana osoba, ali sve što treba da uradite je da tražite od nekoga da to dokaže i mogu nastati poteškoće. Pa setimo se i razmotrimo Različiti putevi dokaz Pitagorine teoreme.

Kratka biografija

Pitagorina teorema poznata je gotovo svima, ali iz nekog razloga biografija osobe koja ju je donijela na svijet nije toliko popularna. Ovo se može popraviti. Stoga, prije nego što istražite različite načine dokazivanja Pitagorine teoreme, morate nakratko upoznati njegovu ličnost.

Pitagora - filozof, matematičar, mislilac porijeklom iz Danas je vrlo teško razlikovati njegovu biografiju od legendi koje su se razvile u spomen na ovog velikog čovjeka. Ali, kao što slijedi iz djela njegovih sljedbenika, Pitagora sa Samosa rođen je na ostrvu Samos. Otac mu je bio običan kamenorezac, ali majka je bila iz plemićke porodice.

Sudeći po legendi, Pitagorino je rođenje predskazala žena po imenu Pitija, u čiju je čast dečak i dobio ime. Prema njenom predviđanju, rođeni dečak je trebalo da donese mnogo koristi i dobra čovečanstvu. To je upravo ono što je on uradio.

Rođenje teoreme

U mladosti, Pitagora se preselio u Egipat kako bi tamo upoznao poznate egipatske mudrace. Nakon susreta s njima, dozvoljeno mu je studiranje, gdje je naučio sva velika dostignuća egipatske filozofije, matematike i medicine.

Verovatno je u Egiptu Pitagora bio inspirisan veličanstvenošću i lepotom piramida i stvorio svoju veliku teoriju. Ovo može šokirati čitaoce, ali savremeni istoričari veruju da Pitagora nije dokazao svoju teoriju. Ali on je samo prenio svoje znanje svojim sljedbenicima, koji su kasnije završili sve potrebne matematičke proračune.

Kako god bilo, danas nije poznata jedna metoda dokazivanja ove teoreme, već nekoliko odjednom. Danas možemo samo nagađati kako su tačno stari Grci izvodili svoje proračune, pa ćemo ovdje pogledati različite načine dokazivanja Pitagorine teoreme.

Pitagorina teorema

Prije nego počnete s bilo kakvim proračunima, morate shvatiti koju teoriju želite dokazati. Pitagorina teorema glasi ovako: "U trokutu u kojem je jedan od uglova 90°, zbir kvadrata kateta jednak je kvadratu hipotenuze."

Postoji ukupno 15 različitih načina da se dokaže Pitagorina teorema. Ovo je prilično velik broj, pa ćemo obratiti pažnju na najpopularnije od njih.

Prvi metod

Prvo, hajde da definišemo šta nam je dato. Ovi podaci će se primijeniti i na druge metode dokazivanja Pitagorine teoreme, pa je vrijedno odmah zapamtiti sve dostupne notacije.

Pretpostavimo da nam je dat pravokutni trokut sa katetama a, b i hipotenuzom jednakom c. Prva metoda dokaza temelji se na činjenici da morate nacrtati kvadrat iz pravokutnog trokuta.

Da biste to učinili, potrebno je da kraku dužine a dodate segment jednak kraku b i obrnuto. Ovo bi trebalo da bude dva jednake strane kvadrat. Ostaje samo nacrtati dvije paralelne linije i kvadrat je spreman.

Unutar rezultirajuće figure morate nacrtati još jedan kvadrat sa stranom jednakom hipotenuzi izvornog trokuta. Da biste to učinili, iz vrhova as i sv morate nacrtati dva paralelna segmenta jednaka s. Tako dobijamo tri stranice kvadrata, od kojih je jedna hipotenuza prvobitnog pravokutnog trokuta. Ostaje samo nacrtati četvrti segment.

Na osnovu rezultirajuće figure možemo zaključiti da je površina vanjskog kvadrata (a + b) 2. Ako pogledate unutar figure, možete vidjeti da pored unutrašnjeg kvadrata postoje četiri pravokutna trokuta. Površina svake je 0,5av.

Dakle, površina je jednaka: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2

Dakle (a+c) 2 =2ab+c 2

I, prema tome, c 2 =a 2 +b 2

Teorema je dokazana.

Drugi metod: slični trouglovi

Ova formula za dokazivanje Pitagorine teoreme izvedena je na osnovu iskaza iz odeljka geometrije o sličnim trouglovima. Kaže da je krak pravokutnog trokuta prosjek proporcionalan njegovoj hipotenuzi i segmentu hipotenuze koji izlazi iz vrha ugla od 90°.

Početni podaci ostaju isti, pa krenimo odmah s dokazom. Nacrtajmo segment CD okomit na stranicu AB. Na osnovu gornje tvrdnje, noge trokuta su jednake:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

Da bi se odgovorilo na pitanje kako dokazati Pitagorinu teoremu, dokaz se mora završiti kvadriranjem obje nejednačine.

AC 2 = AB * AD i CB 2 = AB * DV

Sada moramo sabrati rezultirajuće nejednakosti.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), gdje je AD + DV = AB

Ispada da:

AC 2 + CB 2 =AB*AB

I zbog toga:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Dokaz Pitagorine teoreme i razne načine njegova rješenja zahtijevaju višestrani pristup ovom problemu. Međutim, ova opcija je jedna od najjednostavnijih.

Druga metoda izračunavanja

Opisi različitih načina dokazivanja Pitagorine teoreme možda neće značiti ništa dok je sami ne počnete prakticirati. Mnoge tehnike uključuju ne samo matematičke proračune, već i konstrukciju novih figura iz originalnog trougla.

U ovom slučaju, potrebno je popuniti još jedan pravougli trokut VSD iz kraka BC. Dakle, sada postoje dva trougla sa zajedničkim krakom BC.

Znajući da površine sličnih figura imaju isti omjer kao i kvadrati njihovih sličnih figura linearne dimenzije, To:

S avs * s 2 - S avd *v 2 = S avd *a 2 - S vsd *a 2

S avs *(od 2 - do 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

od 2 - do 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

Budući da od različitih metoda dokazivanja Pitagorine teoreme za 8. razred, ova opcija nije prikladna, možete koristiti sljedeću metodu.

Najlakši način da se dokaže Pitagorina teorema. Recenzije

Prema istoričarima, ova metoda je prvi put korištena za dokazivanje teoreme antičke Grčke. Najjednostavniji je, jer ne zahtijeva apsolutno nikakve proračune. Ako pravilno nacrtate sliku, onda će se jasno vidjeti dokaz tvrdnje da a 2 + b 2 = c 2.

Uslovi za ovu metodu bit će malo drugačiji od prethodnog. Da bismo dokazali teoremu, pretpostavimo da je pravougli trokut ABC jednakokrak.

Uzimamo hipotenuzu AC kao stranu kvadrata i nacrtamo njegove tri stranice. Osim toga, potrebno je nacrtati dvije dijagonalne linije u rezultirajućem kvadratu. Tako da unutar njega dobijete četiri jednakokračna trougla.

Također trebate nacrtati kvadrat na katete AB i CB i nacrtati po jednu dijagonalnu pravu liniju u svakoj od njih. Prvu liniju povlačimo iz temena A, drugu iz C.

Sada morate pažljivo pogledati rezultirajući crtež. Kako na hipotenuzi AC postoje četiri trokuta jednaka originalnom, a na stranicama dva, to ukazuje na istinitost ove teoreme.

Inače, zahvaljujući ovoj metodi dokazivanja Pitagorine teoreme, rođena je poznata fraza: "Pitagorine pantalone su jednake u svim smjerovima."

Dokaz J. Garfielda

James Garfield je dvadeseti predsjednik Sjedinjenih Američkih Država. Osim što je ostavio trag u istoriji kao vladar Sjedinjenih Država, bio je i nadareni samodidakt.

Na početku svoje karijere bio je običan nastavnik u javnoj školi, ali je ubrzo postao direktor jedne od najviših obrazovne institucije. Želja za samorazvojom omogućila mu je da predloži novu teoriju za dokazivanje Pitagorine teoreme. Teorema i primjer njenog rješenja su sljedeći.

Prvo morate nacrtati dva pravokutna trokuta na komadu papira tako da krak jednog od njih bude nastavak drugog. Vrhovi ovih trouglova moraju biti povezani da bi se na kraju formirao trapez.

Kao što znate, površina trapeza jednaka je umnošku polovine zbira njegovih baza i visine.

S=a+b/2 * (a+b)

Ako dobijeni trapez smatramo figurom koja se sastoji od tri trokuta, tada se njegova površina može naći na sljedeći način:

S=av/2 *2 + s 2 /2

Sada treba da izjednačimo dva originalna izraza

2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2

c 2 =a 2 +b 2

O Pitagorinoj teoremi i metodama njenog dokazivanja moglo bi se napisati više od jedne knjige. nastavno pomagalo. Ali ima li smisla u tome kada se to znanje ne može primijeniti u praksi?

Praktična primjena Pitagorine teoreme

Nažalost, u modernom školski programi Ova teorema je namijenjena za korištenje samo u geometrijskim problemima. Maturanti će uskoro napustiti školu ne znajući kako svoje znanje i vještine primijeniti u praksi.

Zapravo, svako može koristiti Pitagorinu teoremu u svom svakodnevnom životu. I ne samo u profesionalna aktivnost, ali i u običnim kućnim poslovima. Razmotrimo nekoliko slučajeva kada Pitagorina teorema i metode njenog dokazivanja mogu biti izuzetno potrebni.

Odnos između teoreme i astronomije

Čini se kako se zvijezde i trouglovi na papiru mogu povezati. U stvari, astronomija je naučna oblast u kojoj se Pitagorina teorema široko koristi.

Na primjer, razmotrite kretanje svjetlosni snop u svemiru. Poznato je da se svjetlost kreće u oba smjera istom brzinom. Nazovimo putanju AB duž koje se svjetlosni zrak kreće l. I nazovimo pola vremena koje je potrebno svjetlosti da stigne od tačke A do tačke B t. I brzina zraka - c. Ispada da: c*t=l

Ako pogledate ovu istu zraku iz druge ravni, na primjer, iz svemirske linije koja se kreće brzinom v, tada će se pri promatranju tijela na ovaj način njihova brzina promijeniti. U ovom slučaju, čak i nepokretni elementi će se početi kretati brzinom v u suprotnom smjeru.

Recimo da strip brod plovi udesno. Tada će se tačke A i B, između kojih snop juri, početi pomicati ulijevo. Štaviše, kada se snop kreće od tačke A do tačke B, tačka A ima vremena da se pomeri i, u skladu s tim, svetlost će već stići u novu tačku C. Da biste pronašli polovinu udaljenosti za koju se tačka A pomerila, morate pomnožiti brzina košuljice za polovinu vremena putovanja snopa (t").

A da biste pronašli koliko daleko zrak svjetlosti može putovati za to vrijeme, trebate označiti pola puta novim slovom s i dobiti sljedeći izraz:

Ako zamislimo da su svjetlosne tačke C i B, kao i linija prostora, vrhovi jednakokraki trougao, tada će ga segment od tačke A do linije podijeliti na dva pravokutna trougla. Stoga, zahvaljujući Pitagorinoj teoremi, možete pronaći udaljenost koju zrak svjetlosti može prijeći.

Ovaj primjer, naravno, nije najuspješniji, jer će samo rijetki imati sreću da ga isprobaju u praksi. Stoga, hajde da razmotrimo uobičajenije primene ove teoreme.

Domet prijenosa mobilnog signala

Savremeni život se više ne može zamisliti bez postojanja pametnih telefona. Ali kolika bi im bila korist da ne mogu povezati pretplatnike putem mobilnih komunikacija?!

Kvaliteta mobilnih komunikacija direktno ovisi o visini na kojoj se nalazi antena mobilnog operatera. Da biste izračunali koliko daleko od mobilnog tornja telefon može primiti signal, možete primijeniti Pitagorinu teoremu.

Recimo da trebate pronaći približnu visinu stacionarnog tornja kako bi mogao distribuirati signal u radijusu od 200 kilometara.

AB (visina tornja) = x;

BC (radijus prijenosa signala) = 200 km;

OS (radijus globusa) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Primjenom Pitagorine teoreme saznajemo da bi minimalna visina tornja trebala biti 2,3 kilometra.

Pitagorina teorema u svakodnevnom životu

Začudo, Pitagorina teorema može biti korisna čak i u kućni poslovi, kao što je određivanje visine ormara, na primjer. Na prvi pogled, nema potrebe za korištenjem tako složenih proračuna, jer možete jednostavno izvršiti mjerenja pomoću mjerne trake. Ali mnogi ljudi se pitaju zašto nastaju određeni problemi tokom procesa montaže ako su sva mjerenja uzeta više nego precizno.

Činjenica je da se ormar sastavlja u horizontalnom položaju, a tek onda podiže i postavlja uza zid. Stoga, tokom procesa podizanja konstrukcije, strana ormara mora se slobodno kretati i po visini i po dijagonali prostorije.

Pretpostavimo da postoji ormar sa dubinom od 800 mm. Udaljenost od poda do stropa - 2600 mm. Iskusni proizvođač namještaja će reći da visina ormarića treba biti 126 mm manja od visine prostorije. Ali zašto baš 126 mm? Pogledajmo primjer.

Sa idealnim dimenzijama ormara, provjerimo rad Pitagorine teoreme:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - sve odgovara.

Recimo da visina ormarića nije 2474 mm, već 2505 mm. onda:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Stoga ovaj ormar nije pogodan za ugradnju u ovu prostoriju. Od kada sam ga odgajao vertikalni položaj može doći do oštećenja njegovog tijela.

Možda, razmatrajući različite načine dokazivanja Pitagorine teoreme od strane različitih naučnika, možemo zaključiti da je to više nego istinito. Sada možete koristiti primljene informacije u svom svakodnevnom životu i biti potpuno sigurni da će svi proračuni biti ne samo korisni, već i ispravni.

Pitagorina teorema je najvažnija izjava geometrije. Teorema je formulirana na sljedeći način: površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednaka je zbroju površina kvadrata izgrađenih na njegovim kracima.

Otkriće ove izjave obično se pripisuje starogrčkom filozofu i matematičaru Pitagori (VI vek pre nove ere). Ali proučavanje babilonskih klinopisnih ploča i drevnih kineskih rukopisa (kopije još starijih rukopisa) pokazalo je da je ova izjava bila poznata mnogo prije Pitagore, možda milenijum prije njega. Pitagorina zasluga je u tome što je otkrio dokaz ove teoreme.

Vjerovatno je da je činjenica navedena u Pitagorinoj teoremi prvo ustanovljena za jednakokračne pravokutne trougle. Pogledajte samo mozaik crnih i svijetlih trouglova prikazan na Sl. 1, da se provjeri valjanost teoreme za trokut: kvadrat izgrađen na hipotenuzi sadrži 4 trokuta, a kvadrat koji sadrži 2 trokuta izgrađen je na svakoj strani. Da dokažem opšti slučaj u Ancient India postavljeni su na dva načina: u kvadratu sa stranicom prikazali su četiri pravougaona trougla sa kracima dužine i (sl. 2, a i 2, b), nakon čega su napisali jednu riječ "Pogledaj!" I zaista, gledajući ove crteže, vidimo da se na lijevoj strani nalazi lik bez trokuta, koji se sastoji od dva kvadrata sa stranicama i, shodno tome, njegova površina je jednaka , a desno je kvadrat sa stranom - njegova površina je jednaka . To znači da ovo predstavlja izjavu Pitagorine teoreme.

Međutim, dve hiljade godina nije se koristio ovaj vizuelni dokaz, već složeniji dokaz koji je izmislio Euklid, a koji se nalazi u njegovoj čuvenoj knjizi "Elementi" (vidi Euklid i njegovi "Elementi"), Euklid je spustio visinu iz vrha pravog ugla na hipotenuzu i dokazao , da njegov nastavak dijeli kvadrat izgrađen na hipotenuzi na dva pravokutnika, čije su površine jednake površinama odgovarajućih kvadrata izgrađenih na katetama (slika 3). Crtež koji se koristi za dokazivanje ove teoreme u šali se naziva "pitagorine pantalone". Dugo se smatrao jednim od simbola matematičke nauke.

Danas je poznato nekoliko desetina različitih dokaza Pitagorine teoreme. Neki od njih se zasnivaju na podjeli kvadrata, u kojoj se kvadrat izgrađen na hipotenuzi sastoji od dijelova uključenih u pregrade kvadrata izgrađenih na katetama; ostali - na dopuni jednakim ciframa; treći - na činjenici da visina spuštena od vrha pravog ugla do hipotenuze dijeli pravokutni trokut na dva njemu slična trokuta.

Pitagorina teorema leži u osnovi većine geometrijskih proračuna. Čak se i u starom Babilonu koristio za izračunavanje dužine visine jednakokračnog trokuta iz dužine osnove i stranice, strelice segmenta iz prečnika kruga i dužine tetive i uspostavljanje odnosa između elemenata nekih pravilnih poligona. Koristeći Pitagorinu teoremu, dokazujemo njegovu generalizaciju, koja nam omogućava da izračunamo dužinu stranice koja leži nasuprot oštrom ili tupom kutu:

Iz ove generalizacije proizilazi da prisustvo pravog ugla u nije samo dovoljan, već i neophodan uslov da bi jednakost bila zadovoljena. Iz formule (1) slijedi relacija između dužina dijagonala i stranica paralelograma, uz pomoć kojih je lako pronaći dužinu medijane trokuta iz dužina njegovih stranica.

Na osnovu Pitagorine teoreme, izvedena je formula koja izražava površinu bilo kojeg trokuta kroz dužine njegovih stranica (vidi Heronovu formulu). Naravno, Pitagorina teorema je također korištena za rješavanje raznih praktičnih problema.

Umjesto kvadrata, možete izgraditi bilo koje slične figure (jednakostranične trokute, polukrugove, itd.) na stranicama pravokutnog trokuta. U ovom slučaju, površina figure izgrađene na hipotenuzi jednaka je zbroju površina figura izgrađenih na nogama. Još jedna generalizacija povezana je s prijelazom iz ravni u prostor. Formulira se na sljedeći način: kvadrat dužine dijagonale pravokutnog paralelepipeda jednak je zbroju kvadrata njegovih dimenzija (dužine, širine i visine). Slična teorema je istinita u višedimenzionalnim, pa čak i beskonačno-dimenzionalnim slučajevima.

Pitagorina teorema postoji samo u euklidskoj geometriji. Ne javlja se ni u geometriji Lobačevskog ni u drugim neeuklidskim geometrijama. Ne postoji analog Pitagorine teoreme o sferi. Dva meridijana koji formiraju ugao od 90°, a ekvator na sferi vezuje jednakostranični sferni trougao, od kojih su sva tri ugla pravi uglovi. Za njega, ne kao u avionu.

Koristeći Pitagorinu teoremu, izračunajte udaljenost između tačaka i koordinatne ravni koristeći formulu

.

Nakon što je otkrivena Pitagorina teorema, postavilo se pitanje kako pronaći sve trojke prirodnih brojeva koji mogu biti stranice pravokutnih trougla (vidi Fermatov posljednji teorem). Otkrili su ih Pitagorejci, ali neke opće metode za pronalaženje takvih trojki brojeva već su bile poznate Babiloncima. Jedna od klinastih tableta sadrži 15 trojki. Među njima ima trojki koje se sastoje od brojeva toliko velikih da ne može biti govora o njihovom pronalaženju odabirom.

Hipokratova jama

Hipokratove lune su figure omeđene lukovima dva kruga, i, osim toga, takve da se pomoću poluprečnika i dužine zajedničke tetive ovih krugova, pomoću šestara i ravnala, mogu konstruisati kvadrati jednake veličine.

Iz generalizacije Pitagorine teoreme na polukrugove, slijedi da je zbir površina ružičastih grudica prikazanih na slici lijevo jednak površini plavog trokuta. Stoga, ako uzmete jednakokraki pravokutni trokut, dobit ćete dvije rupe, od kojih će površina svake biti jednaka polovini površine trokuta. Pokušavajući da reši problem kvadrature kruga (vidi Klasični problemi antike), starogrčki matematičar Hipokrat (5. vek pre nove ere) pronašao je još nekoliko rupa, čije su površine izražene kao površine pravolinijskih figura.

Potpuna lista hipomarginalnih lunula dobijena je tek u 19.-20. stoljeću. zahvaljujući korištenju metoda Galoisove teorije.