Izmijenjeni su članovi lijevo od nejednakosti. Numeričke nejednakosti i njihova svojstva
Sistem nejednačina se obično naziva snimanjem nekoliko nejednakosti pod znakom vitičaste zagrade (u ovom slučaju broj i vrsta nejednakosti uključenih u sistem može biti proizvoljan).
Da bi se riješio sistem, potrebno je pronaći sjecište rješenja svih nejednačina uključenih u njega. U matematici, rješenje nejednakosti je svaka vrijednost promjene za koju je nejednakost istinita. Drugim riječima, morate pronaći skup svih njegovih rješenja - to će se zvati odgovor. Kao primjer, pokušajmo naučiti kako riješiti sistem nejednakosti koristeći intervalnu metodu.
Svojstva nejednakosti
Za rješavanje problema važno je poznavati osnovna svojstva svojstvena nejednačinama, a koja se mogu formulirati na sljedeći način:
- Na obje strane nejednakosti može se dodati jedna te ista funkcija, definirana u rasponu dopuštenih vrijednosti (ADV) ove nejednakosti;
- Ako je f(x) > g(x) i h(x) bilo koja funkcija definirana u ODZ-u nejednakosti, tada je f(x) + h(x) > g(x) + h(x);
- Ako se obje strane nejednakosti pomnože pozitivnom funkcijom definiranom u ODZ-u ove nejednakosti (ili pozitivnim brojem), dobivamo nejednakost koja je ekvivalentna izvornoj;
- Ako se obje strane nejednakosti pomnože negativnom funkcijom definiranom u ODZ-u date nejednakosti (ili negativnim brojem) i predznak nejednakosti promijeni u suprotan, onda je rezultirajuća nejednakost ekvivalentna datoj nejednakosti;
- Nejednakosti istog značenja mogu se dodavati pojam po pojam, a nejednakosti suprotnog smisla mogu se oduzimati pojam po pojam;
- Nejednakosti istog značenja s pozitivnim dijelovima mogu se množiti pojam po član, a nejednakosti formirane nenegativnim funkcijama mogu se podići pojam po član na pozitivan stepen.
Da biste riješili sistem nejednačina, morate svaku nejednakost riješiti posebno i zatim ih uporediti. Rezultat će biti pozitivan ili negativan odgovor, što znači da li sistem ima rješenje ili ne.
Intervalna metoda
Prilikom rješavanja sistema nejednačina matematičari često pribjegavaju intervalnoj metodi, kao jednoj od najefikasnijih. Omogućava nam da smanjimo rješenje na nejednačinu f(x) > 0 (<, <, >) za rješavanje jednačine f(x) = 0.
Suština metode je sljedeća:
- Pronađite raspon prihvatljivih vrijednosti nejednakosti;
- Nejednakost svesti na oblik f(x) > 0(<, <, >), odnosno pomaknuti desnu stranu ulijevo i pojednostaviti;
- Riješite jednačinu f(x) = 0;
- Nacrtajte dijagram funkcije na brojevnoj pravoj. Sve tačke označene na ODZ-u i koje ga ograničavaju dijele ovaj skup na takozvane intervale konstantnog predznaka. U svakom takvom intervalu određuje se predznak funkcije f(x);
- Odgovor napišite kao uniju pojedinačnih skupova na kojima f(x) ima odgovarajući predznak. ODZ tačke koje su granične su uključene (ili nisu uključene) u odgovor nakon dodatne provjere.
Nejednakosti igraju istaknutu ulogu u matematici. U školi se uglavnom bavimo numeričke nejednakosti, s čijom ćemo definicijom započeti ovaj članak. A onda ćemo nabrojati i opravdati svojstva numeričkih nejednačina, na kojoj se zasnivaju svi principi rada sa nejednakostima.
Odmah da primijetimo da su mnoga svojstva numeričkih nejednačina slična. Stoga ćemo materijal predstaviti prema istoj shemi: formuliramo svojstvo, dajemo njegovo opravdanje i primjere, nakon čega prelazimo na sljedeće svojstvo.
Navigacija po stranici.
Numeričke nejednakosti: definicija, primjeri
Kada smo uveli pojam nejednakosti, primijetili smo da se nejednakosti često definiraju načinom na koji su napisane. Stoga smo nejednakosti nazvali smislenim algebarskim izrazima koji sadrže znakove koji nisu jednaki ≠, manje<, больше >, manje ili jednako ≤ ili veće ili jednako ≥. Na osnovu gornje definicije, zgodno je dati definiciju numeričke nejednakosti:
Susret sa brojevnim nejednačinama dolazi na časovima matematike u prvom razredu, neposredno nakon upoznavanja prvih prirodnih brojeva od 1 do 9 i upoznavanja sa operacijom poređenja. Istina, tamo se jednostavno nazivaju nejednakostima, izostavljajući definiciju „numeričke“. Radi jasnoće, ne bi škodilo da navedemo nekoliko primjera najjednostavnijih brojčanih nejednakosti iz te faze njihovog proučavanja: 1<2 , 5+2>3 .
I dalje od prirodnih brojeva, znanje se proširuje i na druge vrste brojeva (cijeli, racionalni, realni brojevi), proučavaju se pravila za njihovo poređenje, a to značajno proširuje raznolikost tipova numeričkih nejednakosti: −5>−72, 3> −0,275 (7−5, 6) , .
Osobine numeričkih nejednačina
U praksi, rad sa nejednakostima omogućava niz svojstva numeričkih nejednačina. One slijede iz koncepta nejednakosti koji smo uveli. U odnosu na brojeve, ovaj koncept je dat sljedećom tvrdnjom, koja se može smatrati definicijom odnosa “manje od” i “više od” na skupu brojeva (često se naziva definicijom razlike nejednakosti):
Definicija.
- broj a je veće od b ako i samo ako je razlika a−b pozitivan broj;
- broj a je manji od broja b ako i samo ako je razlika a−b negativan broj;
- broj a je jednak broju b ako i samo ako je razlika a−b nula.
Ova definicija se može preraditi u definiciju odnosa „manje ili jednako“ i „veće ili jednako“. Evo njegove formulacije:
Definicija.
- broj a je veći ili jednak b ako i samo ako je a−b nenegativan broj;
- a je manje od ili jednako b ako i samo ako je a−b nepozitivan broj.
Ove definicije ćemo koristiti prilikom dokazivanja svojstava numeričkih nejednačina, na čiji pregled nastavljamo.
Osnovna svojstva
Započinjemo pregled sa tri glavna svojstva nejednakosti. Zašto su osnovni? Jer one su odraz svojstava nejednakosti u najopštijem smislu, a ne samo u odnosu na numeričke nejednakosti.
Brojčane nejednačine napisane znakovima< и >, karakteristika:
Što se tiče numeričkih nejednakosti zapisanih pomoću slabih znakova nejednakosti ≤ i ≥, one imaju svojstvo refleksivnosti (a ne antirefleksivnosti), budući da nejednakosti a≤a i a≥a uključuju slučaj jednakosti a=a. Također ih karakterizira antisimetrija i tranzitivnost.
Dakle, numeričke nejednačine zapisane znakovima ≤ i ≥ imaju sljedeća svojstva:
- refleksivnost a≥a i a≤a su prave nejednakosti;
- antisimetrija, ako je a≤b, onda b≥a, a ako je a≥b, onda b≤a.
- tranzitivnost, ako su a≤b i b≤c, onda a≤c, a takođe, ako su a≥b i b≥c, onda a≥c.
Njihov dokaz je vrlo sličan već datim, pa se nećemo zadržavati na njima, već ćemo preći na druga bitna svojstva numeričkih nejednačina.
Ostala bitna svojstva numeričkih nejednakosti
Dopunimo osnovna svojstva numeričkih nejednačina nizom rezultata koji su od velikog praktičnog značaja. Na njima se zasnivaju metode za procjenu vrijednosti izraza, na njima se temelje principi rješenja nejednakosti i tako dalje. Stoga ih je preporučljivo dobro razumjeti.
U ovom dijelu ćemo formulisati svojstva nejednakosti samo za jedan znak stroge nejednakosti, ali vrijedi imati na umu da će slična svojstva vrijediti i za suprotni predznak, kao i za predznake nestrogih nejednakosti. Objasnimo ovo na primjeru. U nastavku formuliramo i dokazujemo sljedeće svojstvo nejednačina: ako je a
Radi praktičnosti prikazat ćemo svojstva numeričkih nejednakosti u obliku liste, dok ćemo dati odgovarajući iskaz, formalno ga napisati slovima, dati dokaz, a zatim pokazati primjere upotrebe. I na kraju članka ćemo sažeti sva svojstva numeričkih nejednakosti u tabeli. Idi!
Posljedica. Termično množenje identičnih pravih nejednačina oblika a
Dodavanje (ili oduzimanje) bilo kojeg broja na obje strane prave numeričke nejednakosti proizvodi pravu numeričku nejednakost. Drugim riječima, ako su brojevi a i b takvi da a
Da bismo to dokazali, napravimo razliku između lijeve i desne strane posljednje brojčane nejednakosti i pokažemo da je negativna pod uvjetom a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Pošto po uslovu a
Ne zadržavamo se na dokazu ovog svojstva numeričkih nejednačina za oduzimanje broja c, jer se na skupu realnih brojeva oduzimanje može zamijeniti dodavanjem −c.
Na primjer, ako dodate broj 15 na obje strane ispravne numeričke nejednakosti 7>3, dobićete ispravnu numeričku nejednakost 7+15>3+15, što je ista stvar, 22>18.
Ako se obje strane važeće brojčane nejednakosti pomnože (ili podijele) sa istim pozitivnim brojem c, dobićete važeću brojčanu nejednakost. Ako se obje strane nejednakosti pomnože (ili podijele) sa negativnim brojem c, a predznak nejednakosti je obrnut, tada će nejednakost biti tačna. U doslovnom obliku: ako brojevi a i b zadovoljavaju nejednakost a b·c.
Dokaz. Počnimo sa slučajem kada je c>0. Napravimo razliku između leve i desne strane numeričke nejednakosti koja se dokazuje: a·c−b·c=(a−b)·c . Pošto po uslovu a 0 , tada će proizvod (a−b)·c biti negativan broj kao proizvod negativnog broja a−b i pozitivnog broja c (koji slijedi iz ). Prema tome, a·c−b·c<0
, откуда a·c Ne zadržavamo se na dokazu razmatranog svojstva za dijeljenje obje strane prave numeričke nejednakosti istim brojem c, budući da se dijeljenje uvijek može zamijeniti množenjem sa 1/c. Pokažimo primjer korištenja analiziranog svojstva na određenim brojevima. Na primjer, možete imati obje strane ispravne numeričke nejednakosti 4<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. Iz upravo razmatranog svojstva množenja obje strane numeričke jednakosti brojem, slijede dva praktično vrijedna rezultata. Stoga ih formulišemo u obliku posljedica. Sva svojstva o kojima je bilo riječi u ovom pasusu objedinjena su činjenicom da se prvo daje ispravna numerička nejednakost, a iz nje se, nekim manipulacijama s dijelovima nejednakosti i znakom, dobija još jedna ispravna brojčana nejednakost. Sada ćemo predstaviti blok svojstava u kojem je inicijalno data ne jedna, već nekoliko ispravnih numeričkih nejednakosti, a novi rezultat se dobija njihovom zajedničkom upotrebom nakon zbrajanja ili množenja njihovih dijelova. Ako brojevi a, b, c i d zadovoljavaju nejednakosti a
Dokažimo da je (a+c)−(b+d) negativan broj, to će dokazati da je a+c Indukcijom, ovo svojstvo se proširuje na pojam sabiranja tri, četiri i, općenito, bilo kojeg konačnog broja numeričkih nejednačina. Dakle, ako su za brojeve a 1, a 2, …, a n i b 1, b 2, …, b n tačne sljedeće nejednakosti: a 1 a 1 +a 2 +…+a n . Na primjer, date su nam tri tačne numeričke nejednačine istog predznaka −5<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. Možete množiti numeričke nejednakosti istog predznaka po članu, čije su obje strane predstavljene pozitivnim brojevima. Konkretno, za dvije nejednakosti a
Da biste to dokazali, možete pomnožiti obje strane nejednakosti a
Ovo svojstvo vrijedi i za množenje bilo kojeg konačnog broja pravih numeričkih nejednačina s pozitivnim dijelovima. To jest, ako su a 1, a 2, ..., a n i b 1, b 2, ..., b n pozitivni brojevi, a a 1 a 1 a 2…a n . Odvojeno, vrijedi napomenuti da ako zapis za numeričke nejednakosti sadrži nepozitivne brojeve, onda njihovo množenje po članu može dovesti do netočnih numeričkih nejednakosti. Na primjer, numeričke nejednakosti 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство.
Na kraju članka, kao što smo obećali, prikupit ćemo sva proučavana svojstva tabela svojstava numeričkih nejednačina:
Bibliografija.
- Moro M.I.. Matematika. Udžbenik za 1 razred. početak škola U 2 sata, deo 1. (prva polovina godine) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova. - 6. izd. - M.: Obrazovanje, 2006. - 112 str.: ilustr.+Add. (2 odvojena l. ilustr.). - ISBN 5-09-014951-8.
- Matematika: udžbenik za 5. razred. opšte obrazovanje institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str.: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
- algebra: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 2 sata. Dio 1. Udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
Nejednakost je zapis u kojem su brojevi, varijable ili izrazi povezani znakom<, >, ili . To jest, nejednakost se može nazvati poređenjem brojeva, varijabli ili izraza. Znakovi < , > , ⩽ I ⩾ su pozvani znakova nejednakosti.
Vrste nejednakosti i kako se čitaju:
Kao što se može vidjeti iz primjera, sve nejednakosti se sastoje iz dva dijela: lijevog i desnog, povezanih jednim od znakova nejednakosti. Ovisno o predznaku koji povezuje dijelove nejednakosti, dijele se na stroge i nestroge.
Stroge nejednakosti- nejednačine čiji su dijelovi povezani znakom< или >. Nestriktne nejednakosti- nejednakosti u kojima su dijelovi povezani znakom ili.
Razmotrimo osnovna pravila poređenja u algebri:
- Bilo koji pozitivan broj veći od nule.
- Bilo koji negativan broj je manji od nule.
- Od dva negativna broja veći je onaj čija je apsolutna vrijednost manja. Na primjer, -1 > -7.
- a I b pozitivno:
a - b > 0,
To a više b (a > b).
- Ako je razlika dva nejednaka broja a I b negativan:
a - b < 0,
To a manje b (a < b).
- Ako je broj veći od nule, onda je pozitivan:
a> 0, što znači a- pozitivan broj.
- Ako je broj manji od nule, onda je negativan:
a < 0, значит a- negativan broj.
Ekvivalentne nejednakosti- nejednakosti koje su posljedica drugih nejednakosti. Na primjer, ako a manje b, To b više a:
a < b I b > a- ekvivalentne nejednakosti
Svojstva nejednakosti
- Ako objema stranama nejednakosti dodate isti broj ili oduzmete isti broj s obje strane, dobit ćete ekvivalentnu nejednakost, tj.
Ako a > b, To a + c > b + c I a - c > b - c
Iz ovoga slijedi da je moguće prenijeti članove nejednakosti iz jednog dijela u drugi sa suprotnim predznakom. Na primjer, dodavanje obje strane nejednakosti a - b > c - d By d, dobijamo:
a - b > c - d
a - b + d > c - d + d
a - b + d > c
- Ako se obje strane nejednakosti pomnože ili podijele sa istim pozitivnim brojem, onda se dobije ekvivalentna nejednakost, tj.
- Ako se obje strane nejednakosti pomnože ili podijele istim negativnim brojem, onda će se dobiti nejednakost suprotna datoj, odnosno, kada se oba dijela nejednakosti množe ili dijele negativnim brojem, predznak nejednakost se mora promijeniti u suprotno.
Ovo svojstvo se može koristiti za promjenu predznaka svih članova nejednakosti množenjem obje strane sa -1 i promjenom predznaka nejednakosti na suprotan:
-a + b > -c
(-a + b) · -1< (-c) · -1
a - b < c
Nejednakost -a + b > -c jednako nejednakosti a - b < c
1 . Ako a>b, To b< a ; naprotiv, ako A< b , To b > a.
Primjer. Ako 5x – 1 > 2x + 1, To 2x +1< 5x — 1 .
2 . Ako a>b I b > c, To a > c. Slično, A< b I b< с , To a< с .
Primjer. Od nejednakosti x > 2u, 2g > 10 sledi to x >10.
3
. Ako a > b, To a + c > b + c I a – c > b – c. Ako A< b
, To a + c
Primjer 1. S obzirom na nejednakost x + 8>3. Oduzimajući broj 8 od obje strane nejednakosti, nalazimo x > - 5.
Primjer 2. S obzirom na nejednakost x – 6< — 2 . Dodajući 6 na obje strane, nalazimo X< 4 .
4 . Ako a>b I c > d, To a + c >b + d; potpuno isto ako A< b I With< d , To a + c< b + d , odnosno dvije nejednakosti istog značenja) mogu se dodati pojam po pojam. Ovo vrijedi za bilo koji broj nejednakosti, na primjer ako a1 > b1, a2 > b2, a3 > b3, To a1 + a2 + a3 > b1+b2 +b3.
Primjer 1. Nejednakosti — 8 > — 10 I 5 > 2 su istinite. Sabirajući ih pojam po član, nalazimo pravu nejednakost — 3 > — 8 .
Primjer 2. Dat sistem nejednakosti ( 1/2)x + (1/2)y< 18 ; (1/2)x - (1/2)y< 4 . Zbrajajući ih pojam po pojam, nalazimo x< 22 .
Komentar. Dve nejednakosti istog značenja ne mogu se oduzimati jedna od druge pojam po pojam, jer rezultat može biti tačan, ali može biti i netačan. Na primjer, ako iz nejednakosti 10 > 8 2 > 1 , tada dobijamo ispravnu nejednakost 8 > 7 ali ako iz iste nejednakosti 10 > 8 oduzimati nejednakost pojam po član 6 > 1 , onda dobijamo apsurd. Uporedite sledeću tačku.
5 . Ako a>b I c< d , To a – c > b – d; Ako A< b I c - d, To a - c< b — d , tj. od jedne nejednakosti može se oduzeti, pojam po pojam, druga nejednakost suprotnog značenja), ostavljajući znak nejednakosti od koje je druga oduzeta.
Primjer 1. Nejednakosti 12 < 20 I 15 > 7 su istinite. Oduzimajući drugi član po član od prvog i ostavljajući predznak prvog, dobijamo tačnu nejednakost — 3 < 13 . Oduzimajući prvi od drugog člana po članu i ostavljajući znak drugog, nalazimo tačnu nejednakost 3 > — 13 .
Primjer 2. Dat sistem nejednakosti (1/2)x + (1/2)y< 18; (1/2)х — (1/2)у > 8 . Oduzimanjem druge od prve nejednakosti, nalazimo y< 10 .
6 . Ako a > b I m je onda pozitivan broj ma > mb I a/n > b/n, tj. obje strane nejednakosti mogu se podijeliti ili pomnožiti istim pozitivnim brojem (znak nejednakosti ostaje isti). a>b I n je onda negativan broj N / A< nb I a/n< b/n , odnosno obje strane nejednakosti mogu se pomnožiti ili podijeliti istim negativnim brojem, ali se predznak nejednakosti mora promijeniti u suprotan.
Primjer 1. Podjela obje strane prave nejednakosti 25 > 20 on 5 , dobijamo tačnu nejednakost 5 > 4 . Ako podijelimo obje strane nejednakosti 25 > 20 on — 5 , onda morate promijeniti znak > on < , i tada dobijamo ispravnu nejednakost — 5 < — 4 .
Primjer 2. Od nejednakosti 2x< 12 sledi to X< 6 .
Primjer 3. Od nejednakosti -(1/3)h — (1/3)h > 4 sledi to x< — 12 .
Primjer 4. S obzirom na nejednakost x/k > y/l; iz toga proizilazi da lx > ky, ako su znakovi brojeva l I k isti su, pa šta lx< ky , ako su znakovi brojeva l I k suprotno.
Polje realnih brojeva ima svojstvo reda (odjeljak 6, str. 35): za bilo koje brojeve a, b vrijedi jedna i samo jedna od tri relacije: ili . U ovom slučaju, unos a > b znači da je razlika pozitivna, a ulazna razlika negativna. Za razliku od polja realnih brojeva, polje kompleksnih brojeva nije uređeno: za kompleksne brojeve pojmovi „više“ i „manje“ nisu definisani; Stoga se ovo poglavlje bavi samo realnim brojevima.
Relacije nazivamo nejednakostima, brojevi a i b su članovi (ili dijelovi) nejednakosti, znaci > (veći od) i nejednakosti a > b i c > d se nazivaju nejednakosti istog (ili istog) značenja; nejednakosti a > b i c Iz definicije nejednakosti odmah slijedi da
1) svaki pozitivan broj veći od nule;
2) bilo koji negativan broj manji od nule;
3) svaki pozitivan broj je veći od bilo kojeg negativnog broja;
4) od dva negativna broja, veći je onaj čija je apsolutna vrijednost manja.
Sve ove izjave dopuštaju jednostavnu geometrijsku interpretaciju. Neka pozitivni smjer brojevne ose ide desno od početne točke; onda, bez obzira na predznake brojeva, veći od njih je predstavljen tačkom koja leži desno od tačke koja predstavlja manji broj.
Nejednakosti imaju sljedeća osnovna svojstva.
1. Asimetrija (nepovratnost): ako , onda , i obrnuto.
Zaista, ako je razlika pozitivna, onda je razlika negativna. Kažu da se prilikom preuređivanja pojmova nejednakosti značenje nejednakosti mora promijeniti u suprotno.
2. Tranzitivnost: ako , onda . Zaista, iz pozitivnosti razlika proizilazi da
Pored znakova nejednakosti koriste se i znaci nejednakosti i. Oni se definiraju na sljedeći način: unos znači da ili ili Dakle, na primjer, možete pisati i također. Obično se nejednakosti napisane znakovima nazivaju strogim nejednakostima, a one koje su napisane znakovima nazivaju se nestroge nejednakosti. U skladu s tim, sami znakovi se nazivaju znakovima stroge ili nestroge nejednakosti. Osobine 1 i 2 o kojima je bilo riječi gore vrijede i za ne-stroge nejednakosti.
Razmotrimo sada radnje koje se mogu izvesti na jednoj ili više nejednakosti.
3. Dodavanje istog broja pojmovima nejednakosti ne mijenja značenje nejednakosti.
Dokaz. Neka su date nejednakost i proizvoljan broj. Po definiciji, razlika je pozitivna. Dodajmo ovom broju dva suprotna broja, koji ga neće promijeniti, tj.
Ova jednakost se može prepisati na sljedeći način:
Iz ovoga proizilazi da je razlika pozitivna, tj
i to je bilo ono što je trebalo dokazati.
Ovo je osnova za mogućnost da bilo koji član nejednakosti bude iskrivljen s jednog dijela na drugi sa suprotnim predznakom. Na primjer, iz nejednakosti
sledi to
4. Kada se članovi nejednačine množe sa istim pozitivnim brojem, značenje nejednakosti se ne mijenja; Kada se članovi nejednakosti pomnože sa istim negativnim brojem, značenje nejednakosti se mijenja u suprotno.
Dokaz. Neka je onda Ako je onda proizvod pozitivnih brojeva pozitivan. Otvarajući zagrade na lijevoj strani posljednje nejednakosti, dobijamo , tj. Slučaj se razmatra na sličan način.
Potpuno isti zaključak se može izvući u pogledu dijeljenja dijelova nejednakosti bilo kojim brojem osim nule, budući da je dijeljenje brojem ekvivalentno množenju brojem i brojevi imaju iste predznake.
5. Neka su uslovi nejednakosti pozitivni. Zatim, kada se njeni članovi podignu na istu pozitivnu snagu, značenje nejednakosti se ne mijenja.
Dokaz. Neka u ovom slučaju, po svojstvu tranzitivnosti, i . Tada ćemo, zbog monotonog povećanja funkcije snage za i pozitivnu, imati
Konkretno, ako je gdje je prirodan broj, onda dobijamo
to jest, kada se izvuče korijen iz obje strane nejednakosti sa pozitivnim članovima, značenje nejednakosti se ne mijenja.
Neka su uslovi nejednakosti negativni. Tada nije teško dokazati da kada se njeni pojmovi podignu na neparan prirodni stepen, značenje nejednakosti se ne mijenja, ali kada se podignu na paran prirodni stepen, mijenja se u suprotno. Iz nejednačina sa negativnim članovima može se izvući i korijen neparnog stepena.
Neka, nadalje, članovi nejednakosti imaju različite predznake. Tada se pri podizanju na neparan stepen značenje nejednakosti ne mijenja, ali pri podizanju na paran stepen, u opštem slučaju, ne može se reći ništa određeno o značenju rezultirajuće nejednakosti. U stvari, kada se broj podigne na neparan stepen, predznak broja je sačuvan i stoga se značenje nejednakosti ne mijenja. Kada se nejednakost podigne na paran stepen, formira se nejednakost s pozitivnim članovima, čije će značenje ovisiti o apsolutnim vrijednostima pojmova izvorne nejednakosti; nejednakost sa istim značenjem kao i izvorna, nejednakost suprotnog značenja, pa se čak može postići i jednakost!
Korisno je provjeriti sve što je rečeno o podizanju nejednakosti na stepene koristeći sljedeći primjer.
Primjer 1. Sljedeće nejednakosti podići na naznačeni stepen, mijenjajući znak nejednakosti u suprotan ili znak jednakosti, ako je potrebno.
a) 3 > 2 na stepen 4; b) do stepena 3;
c) do stepena 3; d) do stepena 2;
e) na stepen 5; e) do stepena 4;
g) 2 > -3 na stepen 2; h) na stepen 2,
6. Od nejednakosti možemo prijeći na nejednakost između ako su uvjeti nejednakosti oba pozitivni ili oba negativna, onda između njihovih recipročnih vrijednosti postoji nejednakost suprotnog značenja:
Dokaz. Ako su a i b istog predznaka, onda je njihov proizvod pozitivan. Podijelite nejednakošću
tj. šta je trebalo dobiti.
Ako članovi nejednakosti imaju suprotne predznake, onda nejednakost između njihovih recipročnih vrijednosti ima isto značenje, budući da su predznaci recipročnih vrijednosti isti kao i predznaci samih veličina.
Primjer 2. Provjerite posljednje svojstvo 6 koristeći sljedeće nejednakosti:
7. Logaritam nejednačina se može uraditi samo u slučaju kada su članovi nejednačina pozitivni (negativni brojevi i nula logaritmi nemaju).
Neka . Onda će biti
i kada ce biti
Ispravnost ovih tvrdnji zasniva se na monotonosti logaritamske funkcije, koja raste ako je baza i opada sa
Dakle, kada se logaritam nejednakosti koja se sastoji od pozitivnih članova uzme na bazu veću od jedan, formira se nejednakost istog značenja kao i data, a kada se logaritam uzme na pozitivnu bazu manju od jedan, nejednakost formira se suprotno značenje.
8. Ako, onda ako, ali, onda.
Ovo odmah proizilazi iz monotonosti svojstva eksponencijalne funkcije (odjeljak 42), koja raste u slučaju i opada ako
Kada se dodaju terminske nejednakosti istog značenja, formira se nejednakost istog značenja kao i podaci.
Dokaz. Dokažimo ovu tvrdnju za dvije nejednačine, iako je tačna za bilo koji broj dodatih nejednačina. Neka su date nejednakosti
Po definiciji, brojevi će biti pozitivni; tada i njihov zbir ispada pozitivan, tj.
Grupisanjem pojmova drugačije, dobijamo
i zbog toga
i to je bilo ono što je trebalo dokazati.
Nemoguće je u opštem slučaju reći bilo šta određeno o značenju nejednakosti dobijene dodavanjem dve ili više nejednakosti različitog značenja.
10. Ako od jedne nejednakosti oduzmemo, pojam po pojam, drugu nejednakost suprotnog značenja, onda se formira nejednakost istog značenja kao i prva.
Dokaz. Neka se daju dvije nejednakosti s različitim značenjima. Drugi od njih, prema svojstvu nepovratnosti, može se prepisati na sljedeći način: d > c. Dodajmo sada dvije nejednakosti istog značenja i dobijemo nejednakost
isto značenje. Iz potonjeg nalazimo
i to je bilo ono što je trebalo dokazati.
Nemoguće je u opštem slučaju reći bilo šta određeno o značenju nejednakosti dobijene oduzimanjem od jedne nejednakosti druge nejednakosti istog značenja.
