Aplikacija

Rješavanje bilo koje vrste jednačina online na sajtu za studente i školarce za konsolidaciju proučenog materijala.. Rješavanje jednačina online. Jednačine online. Postoje algebarske, parametarske, transcendentalne, funkcionalne, diferencijalne i druge vrste jednadžbi. formulu, koja može uključivati ​​parametre. Analitički izrazi omogućavaju ne samo izračunavanje korijena, već i analizu njihovog postojanja i količine u zavisnosti od vrijednosti parametara, što je često čak i važnije za praktična primjena, kako specifične vrijednosti korijenje. Rješavanje jednadžbi online.. Jednačine online. Rješavanje jednadžbe je zadatak pronalaženja takvih vrijednosti argumenata pri kojima se ova jednakost postiže. On moguće vrijednosti mogu se nametnuti argumenti dodatni uslovi(cijeli, realni, itd.). Rješavanje jednadžbi online.. Jednačine online. Jednadžbinu možete riješiti online odmah i s velikom preciznošću rezultata. Argumenti specificiranih funkcija (ponekad se nazivaju "varijable") u slučaju jednačine nazivaju se "nepoznatima". Vrijednosti nepoznanica kod kojih se ova jednakost postiže nazivaju se rješenjima ili korijenima ove jednadžbe. Kaže se da korijeni zadovoljavaju ovu jednačinu. Rješavanje jednadžbe na mreži znači pronalaženje skupa svih njenih rješenja (korijena) ili dokazivanje da nema korijena. Rješavanje jednadžbi online.. Jednačine online. Jednačine čiji se skupovi korijena poklapaju nazivaju se ekvivalentne ili jednake. Jednačine koje nemaju korijen se također smatraju ekvivalentnim. Ekvivalentnost jednačina ima svojstvo simetrije: ako je jedna jednačina ekvivalentna drugoj, onda je druga jednačina ekvivalentna prvoj. Ekvivalentnost jednačina ima svojstvo tranzitivnosti: ako je jedna jednačina ekvivalentna drugoj, a druga je ekvivalentna trećoj, tada je prva jednačina ekvivalentna trećoj. Svojstvo ekvivalencije jednačina omogućava nam da s njima provodimo transformacije na kojima se zasnivaju metode za njihovo rješavanje. Rješavanje jednadžbi online.. Jednačine online. Stranica će vam omogućiti da riješite jednačinu na mreži. Jednačine za koje su poznata analitička rješenja uključuju algebarske jednadžbe ne većeg od četvrtog stepena: linearne jednačine, kvadratna jednačina, kubna jednačina i jednačina četvrtog stepena. Algebarske jednadžbe viših stupnjeva u opštem slučaju nemaju analitičko rješenje, iako se neke od njih mogu svesti na jednačine nižih stupnjeva. Jednačine koje uključuju transcendentalne funkcije nazivaju se transcendentalnim. Među njima su nekima poznata analitička rješenja trigonometrijske jednačine, pošto su nule trigonometrijskih funkcija dobro poznate. U opštem slučaju, kada se analitičko rešenje ne može naći, koriste se numeričke metode. Numeričke metode ne daju tačno rješenje, već samo omogućavaju da se interval u kojem leži korijen suzi na unaprijed određeno. postavljena vrijednost. Rješavanje jednačina online.. Jednačine online.. Umjesto jednačine na mreži, zamislit ćemo kako isti izraz formira linearni odnos, ne samo duž prave tangente, već i na samoj tački fleksije grafa. Ova metoda je neophodna u svakom trenutku u proučavanju predmeta. Često se dešava da se rješavanje jednačina približava konačnoj vrijednosti korištenjem beskonačnih brojeva i pisanjem vektora. Potrebno je provjeriti početne podatke i to je suština zadatka. Inače lokalno stanje pretvoren u formulu. Inverzija u pravoj liniji od date funkcije, koju će kalkulator jednačine izračunati bez većeg odlaganja u izvršenju, pomak će služiti kao privilegija prostora. Razgovaraćemo o uspjehu studenata u naučnom okruženju. Međutim, kao i sve gore navedeno, pomoći će nam u procesu pronalaženja i kada u potpunosti riješite jednadžbu, pohraniti rezultirajući odgovor na krajeve pravocrtnog segmenta. Prave u prostoru seku se u tački i ova tačka se naziva presečena linijama. Interval na liniji je naznačen kao što je prethodno navedeno. Najviše radno mjesto za studij matematike će biti objavljeno. Dodjeljivanje vrijednosti argumenta iz parametarski specificirane površine i rješavanje jednadžbe na mreži će moći ocrtati principe produktivnog pristupa funkciji. Möbiusova traka, ili beskonačnost kako je zovu, izgleda kao osmica. Ovo je jednostrana površina, a ne dvostrana. Po principu opšte poznatom, mi ćemo objektivno prihvatiti linearne jednačine za osnovnu oznaku kakva jeste iu oblasti studija. Samo dvije vrijednosti sekvencijalno datih argumenata mogu otkriti smjer vektora. Pod pretpostavkom da je drugo rješenje onlajn jednačina mnogo više od samog rješavanja znači dobivanje punopravne verzije invarijante kao rezultat. Bez integrisani pristup Učenicima je teško naučiti ovo gradivo. Kao i do sada, za svaki poseban slučaj, naš zgodan i pametan online kalkulator jednadžbi pomoći će svima u teškim vremenima, jer samo trebate navesti ulazne parametre i sistem će sam izračunati odgovor. Prije nego počnemo unositi podatke, trebat će nam alat za unos, što se može učiniti bez većih poteškoća. Broj svake procjene odgovora će dovesti do kvadratne jednadžbe za naše zaključke, ali to nije tako lako učiniti, jer je lako dokazati suprotno. Teorija, zbog svojih karakteristika, nije potkrijepljena praktičnim znanjem. Videti kalkulator razlomaka u fazi objavljivanja odgovora nije lak zadatak u matematici, jer alternativa pisanja broja na skupu pomaže da se poveća rast funkcije. Međutim, ne bi bilo korektno ne govoriti o obuci studenata, pa ćemo svako reći onoliko koliko treba. Prethodno pronađena kubična jednačina će s pravom pripadati domenu definicije i sadržavati prostor numeričkih vrijednosti, kao i simboličke varijable. Nakon što su naučili ili zapamtili teoremu, naši učenici će se dokazati samo sa najbolja strana, a mi ćemo im se radovati. Za razliku od višestrukih ukrštanja polja, naše online jednadžbe su opisane ravninom kretanja množenjem dvije i tri numeričke kombinovane linije. Skup u matematici nije jednoznačno definisan. Najbolje rješenje, prema mišljenju studenata, je potpuno snimanje izraza. Kako je rečeno naučnim jezikom, apstrakcija simboličkih izraza ne ulazi u stanje stvari, ali rješenje jednačina daje nedvosmislen rezultat u svim poznatim slučajevima. Trajanje nastave nastavnika zavisi od potreba za ovim prijedlogom. Analiza je pokazala neophodnost svih računskih tehnika u mnogim oblastima, te je apsolutno jasno da je kalkulator jednačina nezaobilazan alat u darovitim rukama učenika. Lojalan pristup proučavanju matematike određuje važnost pogleda iz različitih pravaca. Želite da identifikujete jednu od ključnih teorema i na taj način rešite jednačinu, u zavisnosti od čijeg odgovora će biti dalja potreba za njenom primenom. Analitika u ovoj oblasti uzima sve više maha. Krenimo od početka i izvedimo formulu. Nakon probijanja nivoa povećanja funkcije, linija duž tangente u točki pregiba sigurno će dovesti do činjenice da će rješavanje jednadžbe na mreži biti jedan od glavnih aspekata u konstruiranju tog istog grafa iz argumenta funkcije. Amaterski pristup ima pravo da se primeni ako ovo stanje nije u suprotnosti sa zaključcima učenika. Upravo podzadatak stavlja analizu matematičkih uslova kao linearnih jednačina u postojeći domen definicije objekta koji se stavlja u drugi plan. Mreža u smjeru ortogonalnosti poništava prednost jedne apsolutne vrijednosti. Modulo rješavanje jednadžbi na mreži daje isti broj rješenja ako otvorite zagrade prvo znakom plus, a zatim znakom minus. U ovom slučaju bit će dvostruko više rješenja, a rezultat će biti precizniji. Stabilan i ispravan online kalkulator jednačina je uspjeh u postizanju ciljanog cilja u zadatku koji je postavio nastavnik. Obavezna metodačini se da je moguće izabrati zbog značajnih razlika u stavovima velikih naučnika. Rezultirajuća kvadratna jednačina opisuje krivulju linija, takozvanu parabolu, a znak će odrediti njenu konveksnost u kvadratnom koordinatnom sistemu. Iz jednačine dobijamo i diskriminanta i same korijene prema Vietinoj teoremi. Prvi korak je predstavljanje izraza kao pravilan ili nepravilan razlomak i korištenje kalkulatora razlomaka. U zavisnosti od toga, formiraće se i plan za naše dalje proračune. Matematika u teorijski pristup biće od koristi u svakoj fazi. Rezultat ćemo svakako predstaviti kao kubnu jednačinu, jer ćemo u ovom izrazu sakriti njegove korijene kako bismo studentu na fakultetu pojednostavili zadatak. Bilo koja metoda je dobra ako je prikladna za površnu analizu. Dodatne aritmetičke operacije neće dovesti do grešaka u računanju. Određuje odgovor sa zadatom tačnošću. Koristeći rješenje jednačina, da se suočimo s tim - pronalaženje nezavisne varijable date funkcije nije tako lako, posebno tokom perioda proučavanja paralelnih pravih u beskonačnosti. S obzirom na izuzetak, potreba je vrlo očigledna. Razlika u polaritetu je jasna. Iz iskustva predavanja na institutima, naš nastavnik je naučio glavnu lekciju u kojoj su se onlajn jednačine proučavale u punom matematičkom smislu. Ovdje je riječ o većim naporima i posebnim vještinama u primjeni teorije. U prilog našim zaključcima, ne treba gledati kroz prizmu. Donedavno se vjerovalo da se zatvoreni skup brzo povećava u cijelom regionu kakav jeste i rješenje jednačina jednostavno treba istražiti. U prvoj fazi nismo sve uzeli u obzir moguće opcije, ali ovaj pristup je opravdaniji nego ikad. Dodatne radnje sa zagradama opravdavaju neke pomake duž ose ordinate i apscise, što se ne može promaći golim okom. U smislu ekstenzivnog proporcionalnog povećanja funkcije, postoji tačka pregiba. Još jednom ćemo dokazati kako neophodno stanje primjenjivat će se u cijelom intervalu opadanja jednog ili drugog silaznog položaja vektora. U skučenom prostoru, izabraćemo varijablu iz početnog bloka naše skripte. Sistem konstruisan kao osnova duž tri vektora odgovoran je za odsustvo glavnog momenta sile. Međutim, kalkulator jednačina je generirao i pomogao u pronalaženju svih članova konstruirane jednačine, kako iznad površine tako i duž paralelnih linija. Nacrtajmo krug oko početne tačke. Tako ćemo se početi kretati prema gore duž linija presjeka, a tangenta će opisivati ​​krug cijelom njegovom dužinom, što će rezultirati krivom koja se zove evolventa. Uzgred, hajde da ispričamo malo istorije o ovoj krivulji. Činjenica je da historijski u matematici nije postojao koncept same matematike u njenom čistom razumijevanju kakvo je danas. Ranije su svi naučnici radili jednu stvar zajednički uzrok, odnosno nauke. Kasnije, nekoliko vekova kasnije, kada naučni svet ispunjeno kolosalnom količinom informacija, čovječanstvo je još uvijek identificiralo mnoge discipline. I dalje ostaju nepromijenjeni. Pa ipak, svake godine naučnici širom sveta pokušavaju da dokažu da je nauka neograničena, i nećete rešiti jednačinu ako nemate znanje o prirodnim naukama. Možda neće biti moguće tome konačno stati na kraj. Razmišljanje o ovome je besmisleno kao i zagrijavanje zraka napolju. Nađimo interval u kojem će argument, ako je njegova vrijednost pozitivna, odrediti modul vrijednosti u naglo rastućem smjeru. Reakcija će vam pomoći da pronađete najmanje tri rješenja, ali ćete ih morati provjeriti. Počnimo s činjenicom da trebamo riješiti jednadžbu online koristeći jedinstvenu uslugu naše web stranice. Unesimo obje strane date jednadžbe, kliknemo na dugme “SOLVE” i dobićemo tačan odgovor u roku od samo nekoliko sekundi. IN posebnim slučajevima Uzmimo knjigu o matematici i još jednom provjerimo naš odgovor, naime, samo pogledaj odgovor i sve će postati jasno. Izletjet će isti projekt za umjetni redundantni paralelepiped. Postoji paralelogram sa svojim paralelnim stranama, i on objašnjava mnoge principe i pristupe proučavanju prostornog odnosa uzlaznog procesa akumulacije šupljeg prostora u formulama prirodan izgled. Dvosmislene linearne jednadžbe pokazuju ovisnost željene varijable od naše zajedničke ovog trenutka vremensko rješenje i morate nekako izvesti i svesti nepravilan razlomak na netrivijalan slučaj. Označite deset tačaka na pravoj liniji i nacrtajte krivu kroz svaku tačku u datom pravcu, sa konveksnom tačkom nagore. Bez posebnih poteškoća, naš kalkulator jednačina će prikazati izraz u takvom obliku da će njegova provjera valjanosti pravila biti očigledna već na početku snimanja. Sistem specijalnih reprezentacija stabilnosti za matematičare je na prvom mestu, osim ako formulom nije drugačije predviđeno. Na ovo ćemo odgovoriti detaljnim prikazom izvještaja na temu izomorfnog stanja plastičnog sistema tijela i rješavanjem jednačina na mreži će opisati kretanje svake materijalne tačke u ovom sistemu. Na nivou dubinskog istraživanja biće potrebno detaljno razjasniti pitanje inverzija barem donjeg sloja prostora. Primjenjivat ćemo se u rastućem redoslijedu na dijelu diskontinuiteta funkcije opšta metoda odličan istraživač, inače, naš sunarodnik, a o ponašanju aviona ćemo u nastavku. Zbog jakih karakteristika analitički definirane funkcije, koristimo online kalkulator jednačina samo za njegovu namjenu u okviru izvedenih granica ovlaštenja. Rezonirajući dalje, fokusiraćemo se na homogenost same jednačine, odnosno njena desna strana je jednaka nuli. Uvjerimo se još jednom da je naša odluka iz matematike ispravna. Da bismo izbegli dobijanje trivijalnog rešenja, izvršićemo određena prilagođavanja početnih uslova za problem uslovne stabilnosti sistema. Napravimo kvadratnu jednadžbu za koju ćemo ispisati dva unosa koristeći dobro poznatu formulu i pronaći negativne korijene. Ako je jedan korijen pet jedinica veći od drugog i trećeg korijena, onda mijenjanjem glavnog argumenta na taj način iskrivljujemo početne uvjete podzadatka. Po svojoj prirodi, nešto neobično u matematici se uvijek može opisati na najbližu stotinu pozitivnog broja. Kalkulator razlomaka je nekoliko puta bolji od svojih analoga na sličnim resursima u najboljem trenutku opterećenja servera. Na površini vektora brzine koji raste duž ordinatne ose, nacrtamo sedam linija, savijenih u smjerovima suprotnim jedna od druge. Promjerljivost dodijeljenog argumenta funkcije je ispred očitavanja brojača salda oporavka. U matematici ovu pojavu možemo predstaviti kroz kubnu jednačinu sa imaginarnim koeficijentima, kao i u bipolarnoj progresiji opadajućih linija. Kritične tačke temperaturne razlike u mnogim značenjima i progresijama opisuju proces razlaganja složene frakcijske funkcije na faktore. Ako vam se kaže da riješite jednačinu, nemojte žuriti da to učinite odmah, svakako prvo procijenite cijeli akcioni plan, pa tek onda zauzmite pravi pristup. Sigurno će biti koristi. Lakoća rada je očigledna, a isto važi i za matematiku. Riješite jednačinu na mreži. Sve online jednadžbe predstavljaju određenu vrstu zapisa brojeva ili parametara i varijable koju treba odrediti. Izračunajte baš ovu varijablu, odnosno pronađite određene vrijednosti ili intervale skupa vrijednosti na kojima će se zadržati identitet. Početni i konačni uslovi direktno zavise. IN zajednička odluka Jednačine obično uključuju neke varijable i konstante, postavljanjem kojih ćemo dobiti čitave porodice rješenja za dati iskaz problema. Općenito, to opravdava napore uložene u povećanje funkcionalnosti prostorne kocke sa stranom od 100 centimetara. Teoremu ili lemu možete primijeniti u bilo kojoj fazi konstruiranja odgovora. Stranica postupno proizvodi kalkulator jednadžbi, ako je potrebno, na bilo kojem intervalu zbrajanja proizvoda. najmanju vrijednost. U polovini slučajeva takva lopta, budući da je šuplja, više ne ispunjava uslove za postavljanje međuodgovora. By najmanje na ordinatnoj osi u pravcu opadajuće vektorske reprezentacije, ova proporcija će nesumnjivo biti optimalnija od prethodnog izraza. Onog časa kada se izvrši kompletna tačkast analiza linearnih funkcija, mi ćemo, zapravo, okupiti sve naše kompleksni brojevi i bipolarni planarni prostori. Zamjenom varijable u rezultirajući izraz, rješavat ćete jednačinu korak po korak i dati najdetaljniji odgovor sa velikom preciznošću. Bilo bi dobro da učenik još jednom provjeri svoje postupke u matematici. Proporcija u omjeru frakcija bilježi integritet rezultata u svim važnim područjima aktivnosti nultog vektora. Trivijalnost se potvrđuje na kraju izvršenih radnji. Sa jednostavnim zadatkom, učenici možda neće imati poteškoća ako u najkraćem mogućem roku riješe jednadžbu online, ali ne zaboravite na sva različita pravila. Skup podskupova se siječe u području konvergentne notacije. IN različitim slučajevima proizvod nije pogrešno faktorizovan. Pomoći će vam da riješite jednačinu na mreži u našem prvom dijelu, posvećenom osnovama matematičke tehnike za važne sekcije za studente na univerzitetima i tehničkim fakultetima. Na odgovore nećemo morati čekati nekoliko dana, jer je proces najbolje interakcije vektorske analize sa sekvencijalnim pronalaženjem rješenja patentiran početkom prošlog stoljeća. Ispostavilo se da napori da se uspostavi odnos sa timom iz okruženja nisu bili uzaludni; Nekoliko generacija kasnije, naučnici širom svijeta su uvjerili ljude da je matematika kraljica nauka. Bilo da se radi o lijevom ili desnom odgovoru, svejedno, iscrpni pojmovi moraju biti napisani u tri reda, jer ćemo u našem slučaju svakako govoriti samo o vektorskoj analizi svojstava matrice. Nelinearne i linearne jednadžbe, uz bikvadratne jednadžbe, zauzimaju posebno mjesto u našoj knjizi o najbolje prakse izračunavanje putanje kretanja u prostoru svih materijalnih tačaka zatvorenog sistema. Pomozite nam da oživimo vašu ideju linearna analiza skalarni proizvod tri uzastopna vektora. Na kraju svake naredbe, zadatak je olakšan implementacijom optimiziranih numeričkih izuzetaka preko preklapanja brojevnog prostora koji se izvode. Drugačiji sud neće suprotstaviti pronađeni odgovor u proizvoljnom obliku trougla u krugu. Ugao između dva vektora sadrži potreban postotak margine i rješavanje jednadžbi na mreži često otkriva određeni zajednički korijen jednačine za razliku od početnih uslova. Izuzetak igra ulogu katalizatora u cijelom neizbježnom procesu pronalaženja pozitivnog rješenja na polju definiranja funkcije. Ako nije rečeno da ne možete koristiti računar, onda je online kalkulator jednadžbi baš pravi za vaše teške probleme. Vi samo trebate unijeti svoje uslovne podatke u ispravnom formatu i naš server će u najkraćem mogućem roku dati potpuni rezultat. Eksponencijalna funkcija raste mnogo brže od linearne. O tome svjedoče Talmudi pametne bibliotečke literature. Izvršiće proračun u opštem smislu kao što bi radila data kvadratna jednačina sa tri kompleksna koeficijenta. Parabola u gornjem dijelu poluravnine karakterizira pravolinijsko paralelno kretanje duž osi tačke. Ovdje je vrijedno spomenuti potencijalnu razliku u radnom prostoru tijela. U zamjenu za suboptimalan rezultat, naš kalkulator razlomaka s pravom zauzima prvo mjesto u matematičkoj ocjeni pregleda funkcionalnih programa na strani servera. Lakoću korišćenja ove usluge će ceniti milioni korisnika interneta. Ako ne znate kako da ga koristite, rado ćemo vam pomoći. Također bismo posebno istakli i istakli kubnu jednačinu iz niza osnovnoškolskih zadataka, kada je potrebno brzo pronaći njene korijene i konstruirati graf funkcije na ravni. Viši stepeni reprodukcija je jedan od složenih matematičkih problema na institutu i za njegovo proučavanje se izdvaja dovoljan broj sati. Kao i sve linearne jednadžbe, ni naše nisu izuzetak prema mnogim objektivnim pravilima, gledajte iz različitih gledišta, a bit će jednostavno i dovoljno postaviti početne uslove. Interval porasta se poklapa sa intervalom konveksnosti funkcije. Rješavanje jednadžbi na mreži. Proučavanje teorije je bazirano na onlajn jednadžbi iz brojnih sekcija o proučavanju glavne discipline. U slučaju ovakvog pristupa u neizvjesnim problemima, vrlo je jednostavno predstaviti rješenje jednadžbi u unaprijed određenom obliku i ne samo izvesti zaključke, već i predvidjeti ishod takvog pozitivnog rješenja. Naučite predmetna oblast usluga će nam najviše pomoći najbolje tradicije matematike, baš onako kako je to uobičajeno na Istoku. U najboljim trenucima vremenskog intervala, slični zadaci su pomnoženi zajedničkim faktorom deset. Obilje množenja višestrukih varijabli u kalkulatoru jednačina počelo je da se množi kvalitetom, a ne kvantitativnim varijablama kao što su masa ili tjelesna težina. Kako bismo izbjegli slučajeve neravnoteže materijalnog sistema, izvođenje trodimenzionalnog transformatora na trivijalnoj konvergenciji nedegeneriranih matematičkih matrica nam je sasvim očigledno. Dovršite zadatak i riješite jednačinu u datim koordinatama, jer je zaključak unaprijed nepoznat, kao i sve varijable uključene u postprostor vrijeme. Za kratko vrijeme pomaknite zajednički faktor iz zagrada i unaprijed podijelite obje strane najvećim zajedničkim faktorom. Ispod rezultirajućeg pokrivenog podskupa brojeva izvucite na detaljan način trideset tri tačke za redom u kratak period. Do te mjere da na najbolji mogući način Rješavanje jednadžbe putem interneta moguće je za svakog učenika. Gledajući unaprijed, recimo jednu važnu, ali ključnu stvar, bez koje će biti teško živjeti u budućnosti. U prošlom veku, veliki naučnik je uočio niz obrazaca u teoriji matematike. U praksi, rezultat nije bio sasvim očekivani utisak o događajima. Međutim, u principu, upravo ovo rješenje jednačina na mreži pomaže u poboljšanju razumijevanja i percepcije holističkog pristupa proučavanju i praktičnoj konsolidaciji teorijskog materijala koji studenti obrađuju. Mnogo je lakše to učiniti tokom studiranja.

=

Predavanje: „Metode rješenja eksponencijalne jednačine».

1 . Eksponencijalne jednadžbe.

Jednačine koje sadrže nepoznanice u eksponentima nazivaju se eksponencijalne jednadžbe. Najjednostavnija od njih je jednačina ax = b, gdje je a > 0, a ≠ 1.

1) Na b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Za b > 0, koristeći monotonost funkcije i teoremu o korijenu, jednačina ima jedinstveni korijen. Da bismo ga pronašli, b mora biti predstavljeno u obliku b = as, ax = bs ó x = c ili x = logab.

Eksponencijalne jednadžbe algebarskim transformacijama dovode do standardnih jednadžbi, koje se rješavaju sljedećim metodama:

1) način svođenja na jednu osnovu;

2) metod ocjenjivanja;

3) grafički metod;

4) način uvođenja novih varijabli;

5) metod faktorizacije;

6) eksponencijalne – jednačine stepena;

7) demonstrativna sa parametrom.

2 . Metoda redukcije na jednu bazu.

Metoda se zasniva na sljedećem svojstvu stupnjeva: ako su dva stepena jednaka i njihove baze su jednake, onda su im eksponenti jednaki, tj. mora se pokušati svesti jednačina na oblik

Primjeri. Riješite jednačinu:

1 . 3x = 81;

Hajde da zamislimo desna strana jednačine u obliku 81 = 34 i napišite jednačinu ekvivalentnu originalnom 3 x = 34; x = 4. Odgovor: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">i prijeđimo na jednadžbu za eksponente 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Odgovor: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Imajte na umu da brojevi 0,2, 0,04, √5 i 25 predstavljaju potencije od 5. Iskoristimo ovo i transformirajmo originalnu jednačinu na sljedeći način:

, odakle je 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, iz čega nalazimo rješenje x = -1. Odgovor: -1.

5. 3x = 5. Po definiciji logaritma, x = log35. Odgovor: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Prepišimo jednačinu u obliku 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, tj.png" width="181" height="49 src="> Dakle x – 4 =0, x = 4. Odgovor: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Koristeći svojstva stepena, zapisujemo jednačinu u obliku 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, zatim 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, tj. x+1 = 2, x =1. Odgovor: 1.

Problemska banka br. 1.

Riješite jednačinu:

Test br. 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) bez korijena
	1) 7;1 2) bez korijena 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test br. 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) nema korijena 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metoda evaluacije.

Teorema o korijenu: ako se funkcija f(x) povećava (smanjuje) na intervalu I, broj a je bilo koja vrijednost koju uzima f na ovom intervalu, tada jednačina f(x) = a ima jedan korijen na intervalu I.

Prilikom rješavanja jednadžbi metodom procjene koristi se ova teorema i svojstva monotonosti funkcije.

Primjeri. Riješite jednačine: 1. 4x = 5 – x.

Rješenje. Prepišimo jednačinu kao 4x +x = 5.

1. ako je x = 1, tada je 41+1 = 5, 5 = 5 tačno, što znači da je 1 korijen jednačine.

Funkcija f(x) = 4x – raste na R, a g(x) = x – raste na R => h(x)= f(x)+g(x) raste na R, kao zbir rastućih funkcija, tada je x = 1 jedini korijen jednačine 4x = 5 – x. Odgovor: 1.

2.

Rješenje. Prepišimo jednačinu u formu .

1. ako je x = -1, onda , 3 = 3 je tačno, što znači da je x = -1 korijen jednačine.

2. dokazati da je on jedini.

3. Funkcija f(x) = - opada na R, a g(x) = - x – opada na R=> h(x) = f(x)+g(x) – opada na R, kao zbir opadajuće funkcije. To znači, prema teoremi o korijenu, x = -1 je jedini korijen jednačine. Odgovor: -1.

Problemska banka br. 2. Riješite jednačinu

a) 4x + 1 =6 – x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Način uvođenja novih varijabli.

Metoda je opisana u paragrafu 2.1. Uvođenje nove varijable (supstitucija) obično se vrši nakon transformacije (pojednostavljenja) članova jednačine. Pogledajmo primjere.

Primjeri. R Riješite jednačinu: 1. .

Hajde da prepišemo jednačinu drugačije: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> tj.png" width="210" height = "45">

Rješenje. Zapišimo jednačinu drugačije:

Označimo https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nije prikladno.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - iracionalna jednadžba. Napominjemo da

Rješenje jednadžbe je x = 2,5 ≤ 4, što znači da je 2,5 korijen jednačine. Odgovor: 2.5.

Rješenje. Prepišimo jednačinu u obliku i obje strane podijelimo sa 56x+6 ≠ 0. Dobijamo jednačinu

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

Korijeni kvadratne jednadžbe su t1 = 1 i t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Rješenje . Prepišimo jednačinu u formu

i primijetiti da je to homogena jednačina drugog stepena.

Podijelimo jednačinu sa 42x, dobijamo

Zamijenimo https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Odgovor: 0; 0.5.

Problemska banka br. 3. Riješite jednačinu

b)

G)

Test br. 3 sa izborom odgovora. Minimalni nivo.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) nema korijena 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) nema korijena 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test br. 4 sa izborom odgovora. Opšti nivo.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) nema korijena

5. Metoda faktorizacije.

1. Riješite jednačinu: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Rješenje..png" width="169" height="69"> , odakle

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Rješenje. Stavimo 6x iz zagrada na lijevu stranu jednačine, a 2x na desnu. Dobijamo jednačinu 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Pošto je 2x >0 za sve x, možemo podijeliti obje strane ove jednadžbe sa 2x bez straha od gubitka rješenja. Dobijamo 3x = 1— x = 0.

3.

Rješenje. Rešimo jednačinu metodom faktorizacije.

Odaberimo kvadrat binoma

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 je korijen jednadžbe.

Jednadžba x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test br. 6 Opšti nivo.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Eksponencijalno – jednadžbe snaga.

Uz eksponencijalne jednačine su takozvane jednadžbe eksponencijalne snage, tj. jednačine oblika (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Ako je poznato da je f(x)>0 i f(x) ≠ 1, onda se jednačina, kao i eksponencijalna, rješava izjednačavanjem eksponenata g(x) = f(x).

Ako uvjet ne isključuje mogućnost f(x)=0 i f(x)=1, tada moramo uzeti u obzir ove slučajeve prilikom rješavanja eksponencijalne jednadžbe.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Rješenje. x2 +2x-8 – ima smisla za bilo koji x, jer je polinom, što znači da je jednačina ekvivalentna ukupnosti

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Eksponencijalne jednadžbe s parametrima.

1. Za koje vrijednosti parametra p ima jednačina 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) jedina odluka?

Rješenje. Uvedemo zamjenu 2x = t, t > 0, tada će jednačina (1) poprimiti oblik t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Diskriminanta jednačine (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Jednačina (1) ima jedinstveno rješenje ako jednačina (2) ima jedan pozitivan korijen. To je moguće u sljedećim slučajevima.

1. Ako je D = 0, odnosno p = 1, tada će jednačina (2) dobiti oblik t2 – 2t + 1 = 0, dakle t = 1, dakle, jednačina (1) ima jedinstveno rješenje x = 0.

2. Ako je p1, onda je 9(p – 1)2 > 0, tada jednačina (2) ima dva različita korijena t1 = p, t2 = 4p – 3. Uslove problema zadovoljava skup sistema

Zamjenom t1 i t2 u sisteme imamo

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Rješenje. Neka tada će jednačina (3) dobiti oblik t2 – 6t – a = 0. (4)

Nađimo vrijednosti parametra a za koje barem jedan korijen jednadžbe (4) zadovoljava uvjet t > 0.

Uvedimo funkciju f(t) = t2 – 6t – a. Mogući su sljedeći slučajevi.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Slučaj 2. Jednačina (4) ima jedinstveno pozitivno rješenje ako

D = 0, ako je a = – 9, tada će jednačina (4) dobiti oblik (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Slučaj 3. Jednačina (4) ima dva korijena, ali jedan od njih ne zadovoljava nejednakost t > 0. To je moguće ako

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Dakle, za a 0, jednačina (4) ima jedan pozitivan korijen . Tada jednačina (3) ima jedinstveno rješenje

Kada a< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

ako a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
ako je a = – 9, onda je x = – 1;

ako je a  0, onda

Uporedimo metode za rješavanje jednačina (1) i (3). Imajte na umu da je pri rješavanju jednadžbe (1) svedeno na kvadratnu jednačinu, čiji je diskriminanta savršen kvadrat; Dakle, korijeni jednadžbe (2) su odmah izračunati korištenjem formule za korijene kvadratne jednadžbe, a zatim su izvedeni zaključci u vezi s tim korijenima. Jednadžba (3) je svedena na kvadratnu jednačinu (4), čiji diskriminanta nije savršen kvadrat, stoga je pri rješavanju jednadžbe (3) preporučljivo koristiti teoreme o lokaciji korijena kvadratnog trinoma i grafički model. Imajte na umu da se jednadžba (4) može riješiti korištenjem Vietine teoreme.

Hajde da rešimo složenije jednačine.

Problem 3: Riješite jednačinu

Rješenje. ODZ: x1, x2.

Hajde da predstavimo zamenu. Neka je 2x = t, t > 0, tada će kao rezultat transformacija jednadžba dobiti oblik t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Nađimo vrijednosti a za koje je barem jedan korijen od jednačina (*) zadovoljava uslov t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Odgovor: ako je a > – 13, a  11, a  5, onda ako je a – 13,

a = 11, a = 5, tada nema korijena.

Bibliografija.

1. Guzejev temelji obrazovne tehnologije.

2. Guzejevska tehnologija: od recepcije do filozofije.

M. “Direktor škole” br. 4, 1996

3. Guzejev i organizacioni oblici obuke.

4. Guzeev i praksa integralne obrazovne tehnologije.

M. “Narodno obrazovanje”, 2001

5. Guzeev iz oblika lekcije - seminar.

Matematika u školi br. 2, 1987. str. 9 – 11.

6. Seleuko obrazovne tehnologije.

M. “Narodno obrazovanje”, 1998

7. Episheva školarci da studiraju matematiku.

M. "Prosvjeta", 1990

8. Ivanova priprema nastavu - radionice.

Matematika u školi br. 6, 1990. str. 37 – 40.

9. Smirnovov model nastave matematike.

Matematika u školi br. 1, 1997. str. 32 – 36.

10. Tarasenko načini organizovanja praktičnog rada.

Matematika u školi br. 1, 1993. str. 27 – 28.

11. O jednoj od vrsta individualnog rada.

Matematika u školi br. 2, 1994, str. 63 – 64.

12. Khazankin Kreativne vještineškolska djeca.

Matematika u školi br. 2, 1989. str. 10.

13. Scanavi. Izdavač, 1997

14. i drugi Algebra i počeci analize. Didaktički materijali za

15. Krivonogov zadaci iz matematike.

M. “Prvi septembar”, 2002

16. Čerkasov. Priručnik za srednjoškolce i

upis na univerzitete. “A S T - press škola”, 2002

17. Zhevnyak za one koji ulaze na univerzitete.

Minsk i Ruska Federacija “Pregled”, 1996

18. Pismeni D. Priprema za ispit iz matematike. M. Rolf, 1999

19. itd. Učenje rješavanja jednačina i nejednačina.

M. "Intelekt - Centar", 2003

20. itd. Edukativni materijali i materijali za obuku za pripremu za EGE.

M. "Inteligencija - Centar", 2003. i 2004.

21 i druge opcije CMM. Centar za testiranje Ministarstva odbrane Ruske Federacije, 2002, 2003.

22. Goldbergove jednadžbe. "Kvant" br. 3, 1971

23. Volovich M. Kako uspješno predavati matematiku.

Matematika, 1997 br. 3.

24 Okunev za lekciju, djeco! M. Obrazovanje, 1988

25. Yakimanskaya - orijentirano učenje u školi.

26. Liimets rad u nastavi. M. Znanje, 1975

Državni univerzitet u Belgorodu

ODELJENJE algebra, teorija brojeva i geometrija

Radna tema: Eksponencijalne jednadžbe i nejednačine.

Diplomski rad student Fizičko-matematičkog fakulteta

naučni savjetnik:

______________________________

Recenzent: _______________________________

________________________

Belgorod. 2006

Uvod			3
Predmet I.	Analiza literature na temu istraživanja.
Predmet II.	Funkcije i njihova svojstva koja se koriste u rješavanju eksponencijalnih jednadžbi i nejednačina.
	I.1.	Funkcija snage i njena svojstva.
	I.2.	Eksponencijalna funkcija i njena svojstva.
Predmet III.	Rješavanje jednadžbi eksponencijalne snage, algoritam i primjeri.
Predmet IV.	Rješavanje eksponencijalnih nejednačina, plan rješenja i primjeri.
Predmet V.	Iskustvo u vođenju nastave sa školarcima na temu: “Rješavanje eksponencijalnih jednačina i nejednačina.”
V. 1.	Edukativni materijal.
V. 2.	Problemi za samostalno rješavanje.
Zaključak.	Zaključci i ponude.
Bibliografija.
Prijave

Uvod.

“...radost viđenja i razumijevanja...”

A. Einstein.

U ovom radu pokušao sam da prenesem svoje iskustvo kao nastavnik matematike, da bar donekle prenesem svoj stav prema njenom podučavanju – ljudskom poduhvatu u kojem su matematička nauka, pedagogija, didaktika, psihologija, pa čak i filozofija iznenađujuće isprepletene.

Imao sam priliku da radim sa decom i maturantima, sa decom koja su stajala na stubovima intelektualni razvoj: oni koji su bili prijavljeni kod psihijatra i koji su se stvarno zanimali za matematiku

Imao sam priliku da riješim mnoge metodološke probleme. Pokušaću da pričam o onima koje sam uspeo da rešim. Ali još više neuspjelih, pa čak i u onima za koje se čini da su riješeni postavljaju se nova pitanja.

Ali još važnije od samog iskustva su učiteljeva razmišljanja i sumnje: zašto je baš ovako, ovo iskustvo?

I ljeto je sada drugačije, a razvoj obrazovanja je postao zanimljiviji. “Pod Jupiterima” danas nije potraga za mitskim optimalnim sistemom podučavanja “svakog i svega”, već za samo dijete. Ali onda - nužno - učitelj.

U školskom predmetu algebre i početku analize, 10. - 11. razred, pri polaganju Jedinstvenog državnog ispita za srednjoškolski predmet i na prijemnim ispitima na fakultetima, susreću se jednadžbe i nejednačine koje sadrže nepoznatu u osnovi i eksponentima - ovi su eksponencijalne jednačine i nejednačine.

U školi im se posvećuje malo pažnje; praktično nema zadataka na ovu temu u udžbenicima. Međutim, savladavanje metodologije za njihovo rješavanje, čini mi se, vrlo je korisno: povećava mentalne i kreativne sposobnosti učenika, a pred nama se otvaraju potpuno novi horizonti. Prilikom rješavanja problema učenici stiču prve vještine istraživački rad, obogaćuje se njihova matematička kultura, njihove sposobnosti da logičko razmišljanje. Školarci razvijaju takve kvalitete ličnosti kao što su odlučnost, postavljanje ciljeva i nezavisnost, što će im biti od koristi u kasnijem životu. A tu je i ponavljanje, proširenje i duboka asimilacija obrazovnog materijala.

Počeo sam da radim na ovoj temi za svoju tezu pisanjem svog kursa. U toku kojeg sam duboko proučavao i analizirao matematičku literaturu o ovoj temi, identifikovao sam najviše odgovarajuća metoda rješavanje eksponencijalnih snaga i nejednačina.

Ona leži u činjenici da pored opšteprihvaćenog pristupa prilikom rešavanja eksponencijalnih jednačina (baza se uzima veća od 0) i kod rešavanja istih nejednačina (baza se uzima veća od 1 ili veća od 0, ali manja od 1) , razmatraju se i slučajevi kada su baze negativne, jednake 0 i 1.

Analiza studentskih pismenih ispitnih radova pokazuje da je nedostatak pokrića pitanja o negativnu vrijednost Argument eksponencijalne funkcije u školskim udžbenicima im uzrokuje brojne poteškoće i dovodi do grešaka. A problemi imaju i u fazi sistematizacije dobijenih rezultata, gdje se, zbog prelaska na jednačinu - posljedica ili nejednakosti - posljedica, mogu pojaviti strani korijeni. Kako bismo eliminisali greške, koristimo test koristeći originalnu jednadžbu ili nejednakost i algoritam za rješavanje eksponencijalnih jednadžbi, odnosno plan za rješavanje eksponencijalnih nejednačina.

Da bi studenti uspješno položili završne i prijemne ispite, smatram da je potrebno više pažnje posvetiti rješavanju eksponencijalnih jednačina i nejednačina na nastavi, odnosno dodatno na izbornim predmetima i klupskim.

Dakle predmet , moj teza definira se na sljedeći način: "Eksponencijalne jednadžbe i nejednakosti".

Ciljevi ovog rada su:

1. Analizirajte literaturu o ovoj temi.

2. Dajte potpuna analiza rješavanje eksponencijalnih snaga i nejednačina.

3. Navedite dovoljan broj primjera raznih vrsta na ovu temu.

4. Provjerite na razrednoj, izbornoj i klupskoj nastavi kako će se doživjeti predložene metode rješavanja eksponencijalnih jednačina i nejednačina. Dajte odgovarajuće preporuke za proučavanje ove teme.

Predmet Naše istraživanje je da razvijemo metodologiju za rješavanje eksponencijalnih jednačina i nejednačina.

Svrha i predmet studije zahtijevali su rješavanje sljedećih problema:

1. Proučite literaturu na temu: “Eksponencijalne jednadžbe i nejednakosti”.

2. Ovladati tehnikama za rješavanje eksponencijalnih jednačina i nejednačina.

3. Odaberite materijal za obuku i razvijte sistem vježbi različitim nivoima na temu: “Rješavanje eksponencijalnih jednačina i nejednačina.”

Tokom istraživanja teze, više od 20 radova posvećenih upotrebi razne metode rješavanje eksponencijalnih snaga i nejednačina. Odavde dobijamo.

Plan teze:

Uvod.

Poglavlje I. Analiza literature na temu istraživanja.

Poglavlje II. Funkcije i njihova svojstva koja se koriste u rješavanju eksponencijalnih jednadžbi i nejednačina.

II.1. Funkcija snage i njena svojstva.

II.2. Eksponencijalna funkcija i njena svojstva.

Poglavlje III. Rješavanje jednadžbi eksponencijalne snage, algoritam i primjeri.

Poglavlje IV. Rješavanje eksponencijalnih nejednačina, plan rješenja i primjeri.

Poglavlje V. Iskustvo izvođenja nastave sa školarcima na ovu temu.

1. Materijal za obuku.

2.Zadaci za samostalno rješavanje.

Zaključak. Zaključci i ponude.

Spisak korišćene literature.

Poglavlje I analizira literaturu

U fazi pripreme za završni test srednjoškolci treba da usavrše svoje znanje o temi „Eksponencijalne jednačine“. Iskustvo proteklih godina pokazuje da ovakvi zadaci kod školaraca izazivaju određene poteškoće. Dakle, srednjoškolci, bez obzira na stepen pripremljenosti, trebaju temeljito savladati teoriju, zapamtiti formule i razumjeti princip rješavanja ovakvih jednačina. Nakon što su naučili da se nose s ovom vrstom problema, maturanti mogu računati na visoke ocjene prilikom polaganja Jedinstvenog državnog ispita iz matematike.

Pripremite se za ispitno testiranje sa Shkolkovom!

Prilikom pregleda materijala koji su obradili, mnogi učenici se suočavaju s problemom pronalaženja formula potrebnih za rješavanje jednačina. Školski udžbenik nije uvijek pri ruci, a odabir potrebnih informacija o nekoj temi na internetu traje dugo.

Obrazovni portal Shkolkovo poziva studente da koriste našu bazu znanja. U potpunosti implementiramo nova metoda priprema za završni test. Učenjem na našoj web stranici moći ćete prepoznati nedostatke u znanju i obratiti pažnju na one zadatke koji izazivaju najveće poteškoće.

Nastavnici Školkova prikupili su, sistematizovali i predstavili sve što je potrebno za uspeh polaganje Jedinstvenog državnog ispita materijala u najjednostavnijem i najpristupačnijem obliku.

Osnovne definicije i formule predstavljene su u odeljku „Teorijska pozadina“.

Kako biste bolje razumjeli gradivo, preporučujemo da vježbate ispunjavanje zadataka. Pažljivo pregledajte primjere eksponencijalnih jednačina s rješenjima predstavljenim na ovoj stranici da biste razumjeli algoritam proračuna. Nakon toga, nastavite sa izvršavanjem zadataka u odjeljku “Direktoriji”. Možete početi s najjednostavnijim zadacima ili prijeći direktno na rješavanje složenih eksponencijalnih jednadžbi s nekoliko nepoznanica ili . Baza vježbi na našoj web stranici se stalno dopunjuje i ažurira.

One primjere sa indikatorima koji su vam izazvali poteškoće možete dodati u „Favorite“. Na ovaj način možete ih brzo pronaći i razgovarati o rješenju sa svojim učiteljem.

Da biste uspješno položili Jedinstveni državni ispit, učite na portalu Shkolkovo svaki dan!

1º. Eksponencijalne jednadžbe nazivaju se jednadžbe koje sadrže varijablu u eksponentu.

Rješavanje eksponencijalnih jednadžbi bazira se na svojstvu potencija: dva stepena s istom bazom su jednaka ako i samo ako su im eksponenti jednaki.

2º. Osnovne metode za rješavanje eksponencijalnih jednačina:

1) najjednostavnija jednačina ima rješenje;

2) jednačina oblika logaritamskog prema bazi a svesti u formu;

3) jednačina oblika je ekvivalentna jednačini;

4) jednačina oblika je ekvivalentan jednačini.

5) jednačina oblika se redukuje zamjenom u jednačinu, a zatim se rješava skup jednostavnih eksponencijalnih jednačina;

6) jednačina sa recipročnim vrednostima zamjenom se svode na jednačinu, a zatim rješavaju skup jednačina;

7) jednačine homogene u odnosu na a g(x) I b g(x) s obzirom na to tip zamjenom se svode na jednačinu, a zatim se rješava skup jednačina.

Klasifikacija eksponencijalnih jednadžbi.

1. Jednačine se rješavaju odlaskom na jednu bazu.

Primjer 18. Riješite jednačinu .

Rješenje: Iskoristimo činjenicu da su sve baze potencija potenci broja 5: .

2. Jednačine se rješavaju prelaskom na jedan eksponent.

Ove jednadžbe se rješavaju transformacijom izvorne jednadžbe u oblik , koji se svede na najjednostavniji način koristeći svojstvo proporcije.

Primjer 19. Riješite jednačinu:

3. Jednačine se rješavaju vađenjem zajedničkog faktora iz zagrada.

Ako se svaki eksponent u jednadžbi razlikuje od drugog za određeni broj, tada se jednadžbe rješavaju tako što se iz zagrada stavlja eksponent s najmanjim eksponentom.

Primjer 20. Riješite jednačinu.

Rješenje: Uzmimo stepen s najmanjim eksponentom iz zagrada na lijevoj strani jednačine:

Primjer 21. Riješite jednačinu

Rješenje: Grupirajmo odvojeno na lijevoj strani jednačine članove koji sadrže stepene sa osnovom 4, na desnoj strani - sa osnovom 3, a zatim iz zagrada stavimo stepene sa najmanjim eksponentom:

4. Jednačine koje se svode na kvadratne (ili kubične) jednadžbe.

Sljedeće se jednadžbe svode na kvadratnu jednačinu za novu varijablu y:

a) vrsta zamjene, u ovom slučaju;

b) vrstu zamjene , i .

Primjer 22. Riješite jednačinu .

Rješenje: Napravimo promjenu varijable i riješimo kvadratnu jednačinu:

.

Odgovor: 0; 1.

5. Jednačine koje su homogene s obzirom na eksponencijalne funkcije.

Jednačina oblika je homogena jednačina drugog stepena u odnosu na nepoznate sjekira I b x. Takve jednadžbe se redukuju tako što se obje strane prvo podijele sa, a zatim se zamijene u kvadratne jednadžbe.

Primjer 23. Riješite jednačinu.

Rješenje: Podijelite obje strane jednačine sa:

Stavljajući , dobijamo kvadratnu jednadžbu s korijenima .

Sada se problem svodi na rješavanje skupa jednačina . Iz prve jednadžbe nalazimo da . Druga jednadžba nema korijen, jer za bilo koju vrijednost x.

Odgovor: -1/2.

6. Racionalne jednadžbe s obzirom na eksponencijalne funkcije.

Primjer 24. Riješite jednačinu.

Rješenje: Podijelite brojilac i imenilac razlomka sa 3 x i umjesto dvije dobijamo jednu eksponencijalnu funkciju:

7. Jednačine oblika .

Takve jednačine sa skupom prihvatljive vrijednosti(ODZ), određene uslovom, uzimanjem logaritma obe strane jednačine se svode na ekvivalentne jednačine, koje su zauzvrat ekvivalentne skupu od dve jednačine ili.

Primjer 25. Riješite jednačinu: .

.

Didaktički materijal.

Riješite jednačine:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Pronađite proizvod korijena jednadžbe .

27. Nađite zbir korijena jednačine .

Pronađite značenje izraza:

28. , gdje x 0- korijen jednačine;

29. , gdje x 0– cijeli korijen jednačine .

Riješite jednačinu:

31. ; 32. .

odgovori: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0.5; 50; 6.0; 7. -2; 8.2; 9. 1, 3; 10. 8; 11.5; 12.1; 13. ¼; 14.2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17.0; 18.1; 19.0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23.4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27.3; 28.11; 29.54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

Tema br. 8.

Eksponencijalne nejednakosti.

1º. Poziva se nejednakost koja sadrži varijablu u eksponentu eksponencijalna nejednakost.

2º. Rješenje eksponencijalnih nejednakosti oblika zasniva se na sljedećim tvrdnjama:

ako , tada je nejednakost ekvivalentna ;

ako , tada je nejednakost ekvivalentna .

Prilikom rješavanja eksponencijalnih nejednačina koristite iste tehnike kao i kod rješavanja eksponencijalnih jednačina.

Primjer 26. Riješite nejednačinu (način prelaska u jednu bazu).

Rešenje: Od , tada se data nejednakost može napisati kao: . Budući da je , tada je ova nejednakost ekvivalentna nejednakosti .

Rješavajući posljednju nejednakost, dobivamo .

Primjer 27. Riješite nejednačinu: ( vađenjem zajedničkog faktora iz zagrada).

Rješenje: Izvadimo iz zagrada na lijevoj strani nejednakosti , na desnoj strani nejednakosti i podijelimo obje strane nejednakosti sa (-2), mijenjajući predznak nejednakosti u suprotan:

Budući da , onda kada se pređe na nejednakost indikatora, predznak nejednakosti se opet mijenja u suprotan. Primamo. Dakle, skup svih rješenja ove nejednakosti je interval.

Primjer 28. Riješite nejednakost ( uvođenjem nove varijable).

Rješenje: Neka . Tada će ova nejednakost poprimiti oblik: ili , čije je rješenje interval .

Odavde. Budući da se funkcija povećava, onda .

Didaktički materijal.

Navedite skup rješenja nejednakosti:

1. ; 2. ; 3. ;

6. Na kojim vrijednostima x Leže li tačke na grafu funkcije ispod prave linije?

7. Na kojim vrijednostima x Leže li tačke na grafu funkcije barem tako nisko kao prava linija?

Riješite nejednačinu:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Navedite najveće cjelobrojno rješenje nejednakosti .

14. Pronađite proizvod najvećeg cijelog broja i najmanjeg cjelobrojnog rješenja nejednačine .

Riješite nejednačinu:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Pronađite domenu funkcije:

27. ; 28. .

29. Pronađite skup vrijednosti argumenata za koje su vrijednosti svake od funkcija veće od 3:

I .

odgovori: 11.3; 12.3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. )