Leia vektori cd keskpunkti koordinaadid. Mannekeenide vektorid

Lõpuks sain ma selle ulatusliku ja kauaoodatud teema kätte. analüütiline geomeetria. Esiteks natuke sellest kõrgema matemaatika osast... Kindlasti meenub teile nüüd kooli geomeetriakursus, kus on palju teoreeme, nende tõestusi, jooniseid jne. Mis seal salata, olulise osa õpilaste jaoks armastamatu ja sageli hämar teema. Kummalisel kombel võib analüütiline geomeetria tunduda huvitavam ja ligipääsetavam. Mida tähendab omadussõna "analüütiline"? Kohe meenuvad kaks klišeelist matemaatilist fraasi: "graafiline lahendusmeetod" ja "analüütiline lahendusmeetod". Graafiline meetod, on muidugi seotud graafikute ja jooniste konstrueerimisega. Analüütiline sama meetod hõlmab probleemide lahendamist peamiselt algebraliste operatsioonide kaudu. Sellega seoses on peaaegu kõigi analüütilise geomeetria probleemide lahendamise algoritm lihtne ja läbipaistev, sageli piisab vajalike valemite hoolikast rakendamisest - ja vastus on valmis! Ei, loomulikult ei saa me seda teha ilma joonisteta ja pealegi proovin materjali paremaks mõistmiseks neid tsiteerida.

Äsja avatud geomeetria tundide kursus ei pretendeeri teoreetilisele täielikkusele, see on keskendunud praktiliste ülesannete lahendamisele. Kaasan oma loengutesse ainult seda, mis minu seisukohast on praktilises mõttes oluline. Kui vajate mõne alajaotise osas põhjalikumat abi, soovitan järgmist üsna ligipääsetavat kirjandust:

1) Asi, millega pole naljalt tuttav mitu põlvkonda: Geomeetria kooliõpik, autorid - L.S. Atanasyan ja ettevõte. See kooli riietusruumi riidepuu on läbinud juba 20 (!) kordustrükki, mis muidugi pole piir.

2) Geomeetria 2 köites. Autorid L.S. Atanasjan, Bazylev V.T.. See on keskkooli kirjandus, vajate esimene köide. Harva ettetulevad ülesanded võivad mu silmist kaduda ja õpetusest on hindamatu abi.

Mõlemat raamatut saab Internetist tasuta alla laadida. Lisaks saad kasutada minu arhiivi koos valmislahendustega, mille leiab lehelt Laadige alla näited kõrgemast matemaatikast.

Tööriistade hulgas pakun taas välja enda arendamise - tarkvarapakett analüütilises geomeetrias, mis lihtsustab oluliselt elu ja säästab palju aega.

Eeldatakse, et lugeja tunneb põhilisi geomeetrilisi mõisteid ja kujundeid: punkt, sirge, tasapind, kolmnurk, rööpkülik, rööptahukas, kuup jne. Soovitav on meeles pidada mõnda teoreemi, vähemalt Pythagorase teoreemi, tere kordajatele)

Ja nüüd käsitleme järjestikku: vektori mõistet, toiminguid vektoritega, vektori koordinaate. Soovitan edasi lugeda kõige olulisem artikkel Vektorite punktkorrutis, ja ka Vektor ja vektorite segakorrutis. Kohalik ülesanne - selles osas segmendi jagamine - ei ole samuti üleliigne. Ülaltoodud teabe põhjal saate meisterdada tasapinna sirge võrrand Koos lihtsamaid näiteid lahendustest, mis võimaldab õppida lahendama geomeetriaülesandeid. Kasulikud on ka järgmised artiklid: Tasapinna võrrand ruumis, Ruumi sirge võrrandid, Põhiülesanded sirgel ja tasapinnal, muud analüütilise geomeetria lõigud. Loomulikult arvestatakse ka tavaülesannetega.

Vektori kontseptsioon. Tasuta vektor

Kõigepealt kordame vektori koolimääratlust. Vektor helistas suunatud segment, mille algus ja lõpp on märgitud:

Sel juhul on lõigu algus punkt, lõigu lõpp punkt. Vektorit ennast tähistatakse . Suund on oluline, kui liigutate noole segmendi teise otsa, saate vektori ja see on juba olemas täiesti erinev vektor. Vektori mõistet on mugav samastada füüsilise keha liikumisega: tuleb nõustuda, instituudi ustest sisenemine või instituudi ustest väljumine on täiesti erinevad asjad.

Tasapinna või ruumi üksikuid punkte on mugav käsitleda nn nullvektor. Sellise vektori puhul langevad lõpp ja algus kokku.

!!! Märge: Siin ja edasi võib eeldada, et vektorid asuvad samal tasapinnal või võib eeldada, et nad asuvad ruumis – esitatava materjali olemus kehtib nii tasapinna kui ruumi kohta.

Nimetused: Paljud märkasid kohe pulka, mille tähises ei olnud noolt, ja ütlesid, et üleval on ka nool! Tõsi, võite selle kirjutada noolega: , kuid see on ka võimalik kirje, mida ma edaspidi kasutan. Miks? Ilmselt tekkis see harjumus praktilistel põhjustel, minu tulistajad koolis ja ülikoolis osutusid liiga erineva suurusega ja karvasteks. Õppekirjanduses ei vaevuta nad mõnikord üldse kiilkirjaga, vaid toovad esile paksus kirjas tähed: , andes sellega mõista, et tegemist on vektoriga.

See oli stilistika ja nüüd vektorite kirjutamise viiside kohta:

1) Vektoreid saab kirjutada kahe suure ladina tähega:
ja nii edasi. Sel juhul esimene täht Tingimata tähistab vektori alguspunkti ja teine ​​täht tähistab vektori lõpp-punkti.

2) Vektorid kirjutatakse ka väikeste ladina tähtedega:
Eelkõige saab meie vektori lühiduse huvides ümber nimetada väikese ladina tähega.

Pikkus või moodul nullist erinevat vektorit nimetatakse lõigu pikkuseks. Nullvektori pikkus on null. Loogiline.

Vektori pikkust näitab moodulmärk: ,

Vektori pikkuse leidmist (või kordame seda, olenevalt kellest) õpime veidi hiljem.

See oli põhiteave vektorite kohta, mis oli tuttav kõigile koolilastele. Analüütilises geomeetrias on nn vaba vektor.

Lihtsamalt öeldes - vektorit saab joonistada mis tahes punktist:

Oleme harjunud selliseid vektoreid nimetama võrdseteks (võrdsete vektorite definitsioon antakse allpool), kuid puhtmatemaatilisest vaatenurgast on need SAMA VEKTOR või vaba vektor. Miks tasuta? Sest ülesannete lahendamise käigus saate selle või teise "kooli" vektori "kinnitada" MIS TAHES vajaliku tasapinna või ruumi punkti. See on väga lahe funktsioon! Kujutage ette suvalise pikkuse ja suunaga suunatud segmenti - seda saab "kloonida" lõpmatu arv kordi ja suvalises ruumipunktis, tegelikult on see KÕIKJAL olemas. On selline üliõpilaste ütlus: Iga õppejõud annab vektori peale. Lõppude lõpuks pole see lihtsalt vaimukas riim, kõik on peaaegu õige - sinna saab lisada ka suunatud segmendi. Kuid ärge kiirustage rõõmustama, sageli kannatavad õpilased ise =)

Niisiis, vaba vektor- See trobikond identsed suunatud segmendid. Lõigu alguses antud vektori koolimääratlus: "Suunatud segmenti nimetatakse vektoriks..." viitab spetsiifiline antud hulgast võetud suunatud lõik, mis on seotud tasapinna või ruumi kindla punktiga.

Tuleb märkida, et füüsika seisukohalt on vaba vektori mõiste üldiselt vale ja rakenduspunkt loeb. Tõepoolest, sama jõu otsene löök nina või otsaesisele, millest piisab minu lolli eeskuju väljatöötamiseks, toob kaasa erinevaid tagajärgi. Kuid, vaba vektoreid leidub ka vyshmati käigus (ära mine sinna :)).

Tegevused vektoritega. Vektorite kollineaarsus

Kooli geomeetria kursus hõlmab mitmeid toiminguid ja reegleid vektoritega: liitmine kolmnurga reegli järgi, liitmine rööpkülikureegli järgi, vektori erinevusreegel, vektori korrutamine arvuga, vektorite skalaarkorrutis jne. Alustuseks kordame kahte reeglit, mis on eriti olulised analüütilise geomeetria ülesannete lahendamisel.

Kolmnurga reegli abil vektorite lisamise reegel

Vaatleme kahte suvalist nullist erinevat vektorit ja :

Peate leidma nende vektorite summa. Kuna kõiki vektoreid peetakse vabaks, jätame vektori kõrvale lõpp vektor:

Vektorite summa on vektor. Reegli paremaks mõistmiseks on soovitatav lisada sellele füüsiline tähendus: lasta mõnel kehal liikuda mööda vektorit ja seejärel mööda vektorit . Siis vektorite summa on saadud tee vektor, mille algus on lähtepunktis ja lõpp saabumispunktis. Sarnane reegel on sõnastatud suvalise arvu vektorite summa kohta. Nagu öeldakse, võib keha liikuda väga kaldu mööda siksakit või võib-olla autopiloodil - piki saadud summavektorit.

Muide, kui vektor lükatakse edasi alanud vektor, siis saame ekvivalendi rööpküliku reegel vektorite liitmine.

Esiteks vektorite kollineaarsuse kohta. Neid kahte vektorit nimetatakse kollineaarne, kui need asuvad samal joonel või paralleelsetel joontel. Jämedalt öeldes räägime paralleelvektoritest. Kuid nende suhtes kasutatakse alati omadussõna "kollineaarne".

Kujutage ette kahte kollineaarset vektorit. Kui nende vektorite nooled on suunatud samas suunas, siis nimetatakse selliseid vektoreid kaasrežissöör. Kui nooled näitavad eri suundades, siis vektorid on vastassuunas.

Nimetused: vektorite kollineaarsus kirjutatakse tavalise paralleelsuse tähisega: , samas kui detailimine on võimalik: (vektorid on kaassuunatud) või (vektorid on vastassuunalised).

Töö nullist erinev vektor arvul on vektor, mille pikkus on võrdne , ja vektorid ja on kaassuunatud ja vastupidiselt suunatud .

Vektori arvuga korrutamise reeglit on pildi abil lihtsam mõista:

Vaatame seda üksikasjalikumalt:

1) Suund. Kui kordaja on negatiivne, siis vektor muudab suunda vastupidisele.

2) Pikkus. Kui kordaja sisaldub või , siis vektori pikkus väheneb. Seega on vektori pikkus pool vektori pikkusest. Kui kordaja moodul on suurem kui üks, siis vektori pikkus suurenebõigel ajal.

3) Pange tähele kõik vektorid on kollineaarsed, samas kui ühte vektorit väljendatakse teise kaudu, näiteks . Tõsi on ka vastupidine: kui ühte vektorit saab väljendada teise kaudu, siis on sellised vektorid tingimata kollineaarsed. Seega: kui me korrutame vektori arvuga, saame kollineaarseks(originaali suhtes) vektor.

4) Vektorid on ühiselt suunatud. Vektorid ja on ka kaasrežissöör. Iga esimese rühma vektor on teise rühma mis tahes vektori suhtes vastupidises suunas.

Millised vektorid on võrdsed?

Kaks vektorit on võrdsed, kui nad on samas suunas ja on sama pikkusega. Pange tähele, et kaassuunalisus tähendab vektorite kollineaarsust. Määratlus oleks ebatäpne (ülearune), kui ütleksime: "Kaks vektorit on võrdsed, kui nad on kollineaarsed, kaassuunalised ja on sama pikkusega."

Vaba vektori kontseptsiooni seisukohalt on võrdsed vektorid samad vektorid, nagu oli kirjeldatud eelmises lõigus.

Vektori koordinaadid tasapinnal ja ruumis

Esimene punkt on arvestada vektoreid tasapinnal. Kujutame Descartes'i ristkülikukujulist koordinaatide süsteemi ja joonistame selle koordinaatide alguspunktist vallaline vektorid ja:

Vektorid ja ortogonaalne. Ortogonaalne = risti. Soovitan terminitega aeglaselt harjuda: paralleelsuse ja perpendikulaarsuse asemel kasutame sõnu vastavalt kollineaarsus Ja ortogonaalsus.

Määramine: Vektorite ortogonaalsus kirjutatakse tavalise perpendikulaarsuse sümboliga, näiteks: .

Vaadeldavaid vektoreid nimetatakse koordinaatvektorid või orts. Need vektorid moodustuvad alus pinnal. See, mis on alus, on minu arvates paljudele intuitiivselt selge, täpsemat teavet leiate artiklist Vektorite lineaarne (mitte)sõltuvus. Vektorite alused Lihtsamalt öeldes määratlevad koordinaatide alus ja päritolu kogu süsteemi - see on omamoodi alus, millel keeb täisväärtuslik ja rikkalik geomeetriline elu.

Mõnikord nimetatakse konstrueeritud alust ortonormaalne tasandi alus: “orto” - kuna koordinaatvektorid on ortogonaalsed, tähendab omadussõna “normaliseeritud” ühikut, s.o. baasvektorite pikkused on võrdsed ühega.

Määramine: sulgudes kirjutatakse tavaliselt alus, mille sees ranges järjekorras alusvektorid on loetletud, näiteks: . Koordinaatide vektorid see on keelatudümber paigutama.

Ükskõik milline tasapinnaline vektor ainus viis väljendatud järgmiselt:
, Kus - numbrid mida nimetatakse vektori koordinaadid sellel alusel. Ja väljend ise helistas vektori laguneminealusel .

Serveeritud õhtusöök:

Alustame tähestiku esimesest tähest: . Jooniselt on selgelt näha, et vektori baasiks lammutamisel kasutatakse äsja käsitletuid:
1) vektori arvuga korrutamise reegel: ja ;
2) vektorite liitmine kolmnurga reegli järgi: .

Nüüd joonistage vektor vaimselt tasandi mis tahes teisest punktist. On üsna ilmne, et tema lagunemine "järeldab teda halastamatult". Siin see on, vektori vabadus - vektor kannab kõike endaga kaasas. See omadus kehtib loomulikult iga vektori kohta. Naljakas on see, et baas(vaba) vektoreid endid ei pea joonistama alguspunktist, ühe saab joonistada näiteks all vasakule ja teise üleval paremale ja midagi ei muutu! Tõsi, te ei pea seda tegema, kuna õpetaja näitab ka originaalsust ja tõmbab teile ootamatus kohas "krediiti".

Vektorid illustreerivad täpselt vektori arvuga korrutamise reeglit, vektor on põhivektoriga kaassuunaline, vektor on suunatud baasvektorile vastupidises suunas. Nende vektorite puhul on üks koordinaatidest võrdne nulliga; saate selle täpselt kirjutada järgmiselt:


Ja baasvektorid, muide, on sellised: (tegelikult väljenduvad nad iseenda kaudu).

Ja lõpuks: , . Muide, mis on vektorlahutamine ja miks ma ei rääkinud lahutamise reeglist? Kuskil lineaaralgebras, ma ei mäleta, kus, märkisin, et lahutamine on liitmise erijuht. Seega on vektorite “de” ja “e” laiendused kergesti kirjutatavad summana: , . Järgige joonist, et näha, kui selgelt töötab nendes olukordades vana hea vektorite liitmine kolmnurga reegli järgi.

Vormi vaadeldav lagunemine mida mõnikord nimetatakse vektordekompositsiooniks ort süsteemis(st ühikvektorite süsteemis). Kuid see pole ainus viis vektori kirjutamiseks, tavaline on järgmine valik:

Või võrdusmärgiga:

Alusvektorid ise on kirjutatud järgmiselt: ja

See tähendab, et vektori koordinaadid on näidatud sulgudes. Praktilistes ülesannetes kasutatakse kõiki kolme tähistusvõimalust.

Kahtlesin, kas rääkida, aga ütlen siiski: vektori koordinaate ei saa ümber korraldada. Rangelt esikohal paneme kirja ühikvektorile vastava koordinaadi, rangelt teisel kohal paneme kirja ühikvektorile vastava koordinaadi. Tõepoolest, ja need on kaks erinevat vektorit.

Leidsime lennuki koordinaadid. Vaatame nüüd vektoreid kolmemõõtmelises ruumis, siin on peaaegu kõik sama! See lisab veel ühe koordinaadi. Kolmemõõtmelisi jooniseid on raske teha, seega piirdun ühe vektoriga, mille lihtsuse huvides jätan lähtekoha kõrvale:

Ükskõik milline 3D ruumivektor ainus viis laiendada ortonormaalsel alusel:
, kus on selle aluse vektori (arvu) koordinaadid.

Näide pildilt: . Vaatame, kuidas vektorireeglid siin töötavad. Esiteks, vektori korrutamine arvuga: (punane nool), (roheline nool) ja (vaarika nool). Teiseks on siin näide mitme, antud juhul kolme vektori liitmisest: . Summavektor algab algsest lähtepunktist (vektori algusest) ja lõpeb lõpp-punktis (vektori lõpus).

Kõik kolmemõõtmelise ruumi vektorid on loomulikult ka vabad; proovige vektor mõnest muust punktist mõttes kõrvale jätta ja saate aru, et selle lagunemine "jääb sellega".

Sarnane lame korpusega, lisaks kirjutamine laialdaselt kasutatakse sulgudega versioone: kas .

Kui laienduses puudub üks (või kaks) koordinaatvektorit, asetatakse nende asemele nullid. Näited:
vektor (täpsemalt ) – kirjutame ;
vektor (täpsemalt ) – kirjutame ;
vektor (täpsemalt ) – kirjutame .

Alusvektorid kirjutatakse järgmiselt:

Võib-olla on see kõik minimaalsed teoreetilised teadmised, mis on vajalikud analüütilise geomeetria probleemide lahendamiseks. Termineid ja definitsioone võib olla palju, seega soovitan teekannudel see teave uuesti läbi lugeda ja sellest aru saada. Ja igal lugejal on kasulik materjali paremaks omandamiseks aeg-ajalt põhitunnile viidata. Kollineaarsus, ortogonaalsus, ortonormaalne alus, vektori lagunemine – neid ja teisi mõisteid hakatakse tulevikus sageli kasutama. Märgin, et saidil olevatest materjalidest ei piisa geomeetria teoreetilise testi või kollokviumi läbimiseks, kuna krüpteerin hoolikalt kõik teoreemid (ja ilma tõenditeta) - teadusliku esitusstiili kahjuks, kuid see on pluss teie arusaamisele teema. Üksikasjaliku teoreetilise teabe saamiseks kummardage professor Atanasyani ees.

Ja liigume edasi praktilise osa juurde:

Analüütilise geomeetria lihtsamad ülesanded.
Tegevused vektoritega koordinaatides

Väga soovitatav on õppida lahendama ülesandeid, mida käsitletakse täielikult automaatselt, ja valemeid meelde jätta, te ei pea seda isegi meelega meeles pidama, nad jätavad selle ise meelde =) See on väga oluline, kuna muud analüütilise geomeetria probleemid põhinevad kõige lihtsamatel elementaarsetel näidetel ja etturite söömisele lisaaega kulutada on tüütu. . Särgi ülemisi nööpe pole vaja kinnitada, paljud asjad on sulle kooliajast tuttavad.

Materjali esitlus kulgeb paralleelselt – nii tasapinna kui ruumi osas. Sel põhjusel, et kõik valemid... näete ise.

Kuidas leida vektorit kahest punktist?

Kui on antud kaks tasandi punkti ja, siis on vektoril järgmised koordinaadid:

Kui on antud kaks punkti ruumis ja, siis on vektoril järgmised koordinaadid:

See on, vektori lõpu koordinaatidest peate lahutama vastavad koordinaadid vektori algus.

Harjutus: Samade punktide jaoks kirjuta üles valemid vektori koordinaatide leidmiseks. Valemid tunni lõpus.

Näide 1

Arvestades kaks punkti lennuk ja . Otsige vektori koordinaadid

Lahendus: vastavalt vastavale valemile:

Teise võimalusena võib kasutada järgmist kirjet:

Esteetid otsustavad selle:

Isiklikult olen salvestuse esimese versiooniga harjunud.

Vastus:

Tingimuse kohaselt ei olnud vaja joonist konstrueerida (mis on tüüpiline analüütilise geomeetria ülesannete jaoks), kuid selleks, et selgitada mannekeenide jaoks mõnda punkti, ei ole ma laisk:

Peate kindlasti aru saama erinevus punktikoordinaatide ja vektorkoordinaatide vahel:

Punktide koordinaadid– need on tavalised koordinaadid ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Ma arvan, et kõik oskavad 5.-6.klassist punkte koordinaattasandile joonistada. Igal punktil on lennukis range koht ja neid ei saa kuhugi teisaldada.

Vektori koordinaadid– see on antud juhul selle laiendamine alusel. Iga vektor on vaba, nii et soovi või vajaduse korral saame selle hõlpsalt mõnest teisest tasapinna punktist eemale nihutada (segaduse vältimiseks kujundades selle ümber näiteks klahviga ). Huvitav on see, et vektorite jaoks ei pea üldse telgi ega ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi ehitama, vaid on vaja ainult alust, antud juhul tasapinna ortonormaalset alust.

Punktide koordinaatide ja vektorite koordinaatide kirjed näivad olevat sarnased: , ja koordinaatide tähendus absoluutselt erinev, ja peaksite sellest erinevusest hästi teadlik olema. See erinevus kehtib loomulikult ka ruumi kohta.

Daamid ja härrad, täidame oma käed:

Näide 2

a) Punkte ja antakse. Leia vektorid ja .
b) Punkte antakse Ja . Leia vektorid ja .
c) Punkte ja antakse. Leia vektorid ja .
d) Punkte antakse. Otsige vektoreid .

Võib-olla sellest piisab. Need on näited teie enda otsustamiseks, proovige neid mitte unarusse jätta, see tasub end ära ;-). Jooniseid pole vaja teha. Lahendused ja vastused tunni lõpus.

Mis on oluline analüütilise geomeetria ülesannete lahendamisel? Oluline on olla ERITI ETTEVAATLIK, et vältida meisterlikku viga “kaks pluss kaks võrdub null”. Vabandan kohe, kui kuskil vea tegin =)

Kuidas leida lõigu pikkust?

Pikkus, nagu juba märgitud, on näidatud mooduli märgiga.

Kui on antud kaks tasandi punkti ja , siis saab segmendi pikkuse arvutada valemiga

Kui on antud kaks punkti ruumis ja, siis saab segmendi pikkuse arvutada valemi abil

Märge: Valemid jäävad õigeks, kui vahetada vastavad koordinaadid: ja , kuid esimene variant on standardsem

Näide 3

Lahendus: vastavalt vastavale valemile:

Vastus:

Selguse huvides teen joonise

Joonelõik – see ei ole vektor, ja loomulikult ei saa te seda kuhugi liigutada. Lisaks, kui joonistate mõõtkavas: 1 ühik. = 1 cm (kaks märkmiku lahtrit), siis saab saadud vastust kontrollida tavalise joonlauaga, mõõtes vahetult lõigu pikkust.

Jah, lahendus on lühike, kuid selles on veel paar olulist punkti, mida tahaksin selgitada:

Esiteks paneme vastusesse mõõtme: "ühikud". Seisundis pole kirjas, MIS see on, millimeetrites, sentimeetrites, meetrites või kilomeetrites. Seetõttu oleks matemaatiliselt õige lahendus üldine sõnastus: "ühikud" - lühendatult "ühikud".

Teiseks kordame koolimaterjali, mis on kasulik mitte ainult vaadeldava ülesande jaoks:

pööra tähelepanu oluline tehnika – kordaja eemaldamine juure alt. Arvutuste tulemusena saame tulemuse ja hea matemaatiline stiil hõlmab teguri eemaldamist juure alt (kui võimalik). Täpsemalt näeb protsess välja selline: . Vastuse jätmine niisama poleks muidugi viga – aga kindlasti oleks see puudujääk ja kaalukas argument õpetaja näägutamiseks.

Siin on muud levinud juhtumid:

Sageli toodab juur üsna suure arvu, näiteks . Mida sellistel juhtudel teha? Kalkulaatori abil kontrollime, kas arv jagub 4-ga: . Jah, see oli täielikult jagatud, nii: . Või äkki saab arvu jälle 4-ga jagada? . Seega: . Arvu viimane number on paaritu, seega kolmandat korda 4-ga jagamine ilmselgelt ei toimi. Proovime jagada üheksaga: . Tulemusena:
Valmis.

Järeldus: kui juure alla saame arvu, mida ei saa tervikuna välja võtta, siis proovime teguri juure alt eemaldada - kalkulaatori abil kontrollime, kas arv jagub arvuga: 4, 9, 16, 25, 36, 49 jne.

Erinevate probleemide lahendamisel puututakse sageli kokku juurtega, püüdke alati juure alt välja tuua tegurid, et vältida madalama hinde saamist ja tarbetuid probleeme oma lahenduste viimistlemisel õpetaja kommentaaride põhjal.

Kordame ka juurte ruudustamist ja muid võimeid:

Üldvormis astmetega opereerimise reeglid leiab koolialgebraõpikust, aga arvan, et toodud näidete põhjal on kõik või peaaegu kõik juba selge.

Iseseisva lahenduse ülesanne ruumisegmendiga:

Näide 4

Punkte ja antakse. Leidke lõigu pikkus.

Lahendus ja vastus on tunni lõpus.

Kuidas leida vektori pikkust?

Kui on antud tasapinnaline vektor, siis arvutatakse selle pikkus valemiga.

Kui ruumivektor on antud, arvutatakse selle pikkus valemiga .

Neid valemeid (nagu ka lõigu pikkuse valemeid) on lihtne tuletada tuntud Pythagorase teoreemi abil.

Selles artiklis hakkame arutama ühte "võlukeppi", mis võimaldab teil taandada paljud geomeetriaprobleemid lihtsaks aritmeetikaks. See "pulk" võib teie elu palju lihtsamaks muuta, eriti kui te ei tunne end ruumiliste kujundite, lõikude jms konstrueerimises kindel. Kõik see nõuab teatud kujutlusvõimet ja praktilisi oskusi. Meetod, mida me siin kaaluma hakkame, võimaldab teil peaaegu täielikult eemalduda igasugustest geomeetrilistest konstruktsioonidest ja arutlustest. Meetodit nimetatakse "koordinaatide meetod". Selles artiklis käsitleme järgmisi küsimusi:

1. Koordinaatide tasapind
2. Punktid ja vektorid tasapinnal
3. Vektori konstrueerimine kahest punktist
4. Vektori pikkus (kahe punkti vaheline kaugus).
5. Lõigu keskkoha koordinaadid
6. Vektorite punktkorrutis
7. Nurk kahe vektori vahel

Arvan, et olete juba arvanud, miks koordinaatmeetodit nii nimetatakse? See on õige, see sai selle nime, kuna see ei tööta mitte geomeetriliste objektidega, vaid nende numbriliste omadustega (koordinaatidega). Ja teisendus ise, mis võimaldab meil liikuda geomeetriast algebrasse, seisneb koordinaatide süsteemi sisseviimises. Kui esialgne kujund oli tasane, siis on koordinaadid kahemõõtmelised ja kui kujund on kolmemõõtmeline, siis on koordinaadid kolmemõõtmelised. Selles artiklis käsitleme ainult kahemõõtmelist juhtumit. Ja artikli põhieesmärk on õpetada teile, kuidas kasutada mõnda koordinaatmeetodi põhitehnikat (need osutuvad mõnikord kasulikuks ühtse riigieksami B osas planimeetria probleemide lahendamisel). Selle teema kaks järgmist osa on pühendatud probleemide C2 (stereomeetria probleem) lahendamise meetodite arutelule.

Kust oleks loogiline alustada arutelu koordinaatmeetodi üle? Ilmselt koordinaatsüsteemi mõistest. Pidage meeles, kui temaga esimest korda kohtusite. Mulle tundub, et 7. klassis, kui õppisid näiteks lineaarfunktsiooni olemasolust. Tuletan teile meelde, et ehitasite selle punkt-punktilt üles. Kas sa mäletad? Valisite suvalise arvu, asendasite selle valemiga ja arvutasite selle nii. Näiteks kui, siis, kui, siis jne. Mis sa lõpuks said? Ja saite punkte koordinaatidega: ja. Järgmiseks joonistasite "risti" (koordinaatsüsteem), valisite sellele skaala (mitu lahtrit teil ühikulise segmendina on) ja märkisite sellele saadud punktid, mille seejärel sirgjoonega ühendasite. joon on funktsiooni graafik.

Siin on mõned punktid, mida tuleks teile veidi üksikasjalikumalt selgitada:

1. Valite mugavuse huvides ühe segmendi, et kõik mahuks ilusti ja kompaktselt joonisele.

2. On aktsepteeritud, et telg läheb vasakult paremale ja telg läheb alt üles

3. Nad lõikuvad täisnurga all ja nende lõikepunkti nimetatakse alguspunktiks. Seda tähistab kiri.

4. Punkti koordinaatide kirjutamisel on näiteks vasakul sulgudes punkti koordinaat piki telge ja paremal pool piki telge. Eelkõige tähendab see lihtsalt seda, et hetkel

5. Koordinaatide telje mis tahes punkti määramiseks peate märkima selle koordinaadid (2 numbrit)

6. Iga teljel paikneva punkti puhul

7. Iga teljel paikneva punkti puhul

8. Telge nimetatakse x-teljeks

9. Telge nimetatakse y-teljeks

Nüüd astume järgmise sammu: märkige kaks punkti. Ühendame need kaks punkti segmendiga. Ja me paneme noole nii, nagu joonistaksime lõigu punktist punkti: see tähendab, et me muudame oma lõigu suunatud!

Pea meeles, kuidas nimetatakse teist suunalist segmenti? Täpselt nii, seda nimetatakse vektoriks!

Nii et kui ühendame punkti punktiga, ja algus on punkt A ja lõpp on punkt B, siis saame vektori. Sa tegid seda ehitust ka 8. klassis, mäletad?

Selgub, et vektoreid, nagu ka punkte, saab tähistada kahe numbriga: neid arve nimetatakse vektorkoordinaatideks. Küsimus: Kas teie arvates piisab, kui me teame vektori alguse ja lõpu koordinaate, et leida selle koordinaadid? Tuleb välja, et jah! Ja seda tehakse väga lihtsalt:

Seega, kuna vektoris on punkt algus ja punkt lõpp, on vektoril järgmised koordinaadid:

Näiteks kui, siis vektori koordinaadid

Nüüd teeme vastupidi, leiame vektori koordinaadid. Mida me selleks muutma peame? Jah, peate algust ja lõppu vahetama: nüüd on vektori algus punktis ja lõpp punktis. Seejärel:

Vaadake hoolikalt, mis vahe on vektorite ja? Nende ainus erinevus on koordinaatides olevad märgid. Nad on vastandid. See fakt on tavaliselt kirjutatud järgmiselt:

Mõnikord, kui pole konkreetselt öeldud, milline punkt on vektori algus ja milline lõpp, siis tähistatakse vektoreid mitte kahe suure, vaid ühe väikese tähega, näiteks: , jne.

Nüüd natuke harjutada ise ja leidke järgmiste vektorite koordinaadid:

Eksam:

Nüüd lahendage veidi keerulisem ülesanne:

Punktis algusega vektoril on ko-or-di-na-you. Leidke abs-cis-su punktid.

Kõik sama on üsna proosaline: Olgu punkti koordinaadid. Siis

Süsteemi koostasin lähtuvalt definitsioonist, mis on vektori koordinaadid. Siis on punktil koordinaadid. Oleme huvitatud abstsissist. Siis

Vastus:

Mida saab veel vektoritega teha? Jah, peaaegu kõik on sama, mis tavaliste numbritega (välja arvatud see, et te ei saa jagada, kuid saate korrutada kahel viisil, millest ühte käsitleme siin veidi hiljem)

1. Vektoreid saab üksteisele lisada
2. Vektoreid saab üksteisest lahutada
3. Vektoreid saab korrutada (või jagada) suvalise nullist erineva arvuga
4. Vektoreid saab üksteisega korrutada

Kõigil neil toimingutel on väga selge geomeetriline kujutis. Näiteks kolmnurga (või rööpküliku) reegel liitmiseks ja lahutamiseks:

Vektor venib, tõmbub kokku või muudab suunda, kui seda arvuga korrutada või jagada:

Siinkohal huvitab meid aga küsimus, mis juhtub koordinaatidega.

1. Kahe vektori liitmisel (lahutamisel) liidame (lahutame) nende koordinaadid elemendi haaval. See on:

2. Vektori arvuga korrutamisel (jagamisel) korrutatakse (jagatakse) selle arvuga kõik selle koordinaadid:

Näiteks:

· Leia summa co-or-di-nat sajandist-ra.

Leiame esmalt iga vektori koordinaadid. Neil mõlemal on sama päritolu – lähtepunkt. Nende otsad on erinevad. Siis,. Nüüd arvutame vektori koordinaadid Siis on saadud vektori koordinaatide summa võrdne.

Vastus:

Nüüd lahendage järgmine probleem ise:

· Leia vektori koordinaatide summa

Kontrollime:

Vaatleme nüüd järgmist ülesannet: meil on koordinaattasandil kaks punkti. Kuidas nende vahelist kaugust leida? Olgu esimene punkt ja teine. Tähistagem nende vahelist kaugust. Selguse huvides teeme järgmise joonise:

Mis ma teinud olen? Esiteks ühendasin punktid ja ka punktist tõmbasin teljega paralleelse sirge ja punktist tõmbasin teljega paralleelse sirge. Kas need lõikuvad mingis punktis, moodustades tähelepanuväärse kuju? Mis on temas nii erilist? Jah, sina ja mina teame täisnurksest kolmnurgast peaaegu kõike. Noh, Pythagorase teoreem kindlasti. Vajalik segment on selle kolmnurga hüpotenuus ja segmendid on jalad. Mis on punkti koordinaadid? Jah, neid on pildilt lihtne leida: Kuna lõigud on paralleelsed telgedega ja vastavalt, on nende pikkused kergesti leitavad: kui tähistame lõikude pikkused vastavalt, siis

Nüüd kasutame Pythagorase teoreemi. Me teame jalgade pikkust, leiame hüpotenuusi:

Seega on kahe punkti vaheline kaugus koordinaatide ruudu erinevuste summa juur. Või - ​​kahe punkti vaheline kaugus on neid ühendava lõigu pikkus. On hästi näha, et punktide vaheline kaugus ei sõltu suunast. Seejärel:

Siit teeme kolm järeldust:

Harjutame veidi kahe punkti vahelise kauguse arvutamist:

Näiteks kui, siis on ja vaheline kaugus võrdne

Või lähme teist teed: leiame vektori koordinaadid

Ja leidke vektori pikkus:

Nagu näete, on see sama asi!

Nüüd harjutage natuke ise:

Ülesanne: leidke näidatud punktide vaheline kaugus:

Kontrollime:

Siin on veel paar probleemi, mis kasutavad sama valemit, kuigi need kõlavad veidi erinevalt:

1. Leia silmalau pikkuse ruut.

2. Leia silmalau pikkuse ruut

Arvan, et saite nendega raskusteta hakkama? Kontrollime:

1. Ja see on tähelepanelikkuseks) Oleme vektorite koordinaadid juba varem leidnud: . Siis on vektoril koordinaadid. Selle pikkuse ruut on võrdne:

2. Leia vektori koordinaadid

Siis on selle pikkuse ruut

Pole midagi keerulist, eks? Lihtne aritmeetika, ei midagi muud.

Järgmisi probleeme ei saa üheselt liigitada, need puudutavad pigem üldist eruditsiooni ja lihtsate piltide joonistamise oskust.

1. Leidke lõikest nurga siinus, mis ühendab punkti abstsissteljega.

Ja

Kuidas me siin edasi läheme? Peame leidma siinuse nurga ja telje vahel. Kust siinust otsida? See on õige, täisnurkses kolmnurgas. Mida me siis tegema peame? Ehitage see kolmnurk!

Kuna punkti koordinaadid on ja, siis on lõik võrdne ja lõiguga. Peame leidma nurga siinuse. Tuletan teile meelde, et siinus on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe

Mis meil teha jääb? Leidke hüpotenuus. Seda saab teha kahel viisil: kasutades Pythagorase teoreemi (jalad on teada!) või kasutades kahe punkti vahelise kauguse valemit (tegelikult sama, mis esimene meetod!). Ma lähen teist teed:

Vastus:

Järgmine ülesanne tundub teile veelgi lihtsam. Ta on punkti koordinaatidel.

2. ülesanne. Alates punktist langetatakse per-pen-di-ku-lyar ab-cissi teljele. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Teeme joonise:

Perpendikulaari alus on punkt, kus see lõikub x-teljega (teljega), minu jaoks on see punkt. Joonisel on näha, et sellel on koordinaadid: . Oleme huvitatud abstsissist - see tähendab "x" komponendist. Ta on võrdne.

Vastus: .

3. ülesanne. Eelmise ülesande tingimustes leidke punktist koordinaatide telgede kauguste summa.

Ülesanne on üldiselt elementaarne, kui tead, milline on kaugus punktist telgedeni. Sa tead? Loodan, aga tuletan teile siiski meelde:

Niisiis, kas ma olen juba joonistanud oma ülaltoodud joonisel ühe sellise risti? Millisel teljel see on? Teljele. Ja mis selle pikkus siis on? Ta on võrdne. Nüüd joonistage ise teljega risti ja leidke selle pikkus. See saab olema võrdne, eks? Siis on nende summa võrdne.

Vastus: .

4. ülesanne.Ülesande 2 tingimustes leidke abstsisstelje suhtes punktiga sümmeetrilise punkti ordinaat.

Ma arvan, et teile on intuitiivselt selge, mis on sümmeetria? Paljudel objektidel on see olemas: palju hooneid, laudu, lennukeid, palju geomeetrilisi kujundeid: pall, silinder, ruut, romb jne. Jämedalt võib sümmeetriat mõista järgmiselt: kujund koosneb kahest (või enamast) identsest poolest. Seda sümmeetriat nimetatakse aksiaalseks sümmeetriaks. Mis on siis telg? Täpselt seda joont mööda saab figuuri suhteliselt võrdseteks pooleks lõigata (sellel pildil on sümmeetriatelg sirge):

Nüüd pöördume tagasi oma ülesande juurde. Teame, et otsime punkti, mis on telje suhtes sümmeetriline. Siis on see telg sümmeetriatelg. See tähendab, et peame märkima punkti nii, et telg lõikab segmendi kaheks võrdseks osaks. Proovige ise selline punkt ära märkida. Võrrelge nüüd minu lahendusega:

Kas see läks teil samamoodi? Hästi! Meid huvitab leitud punkti ordinaat. See on võrdne

Vastus:

Nüüd öelge mulle pärast mõnesekundilist mõtlemist, milline on punkti A suhtes sümmeetrilise punkti abstsiss ordinaadi suhtes? Mis on teie vastus? Õige vastus:.

Üldiselt võib reegli kirjutada järgmiselt:

Abstsisstelje suhtes punktiga sümmeetrilisel punktil on koordinaadid:

Ordinaattelje suhtes punktiga sümmeetrilisel punktil on koordinaadid:

No nüüd on täitsa hirmus ülesanne: otsib lähtepunkti suhtes sümmeetrilise punkti koordinaadid. Kõigepealt mõtle ise ja siis vaata minu joonistust!

Vastus:

Nüüd rööpküliku probleem:

Ülesanne 5: Punktid ilmuvad ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Otsige üles see punkt.

Saate selle probleemi lahendada kahel viisil: loogika ja koordinaatide meetod. Ma kasutan kõigepealt koordinaatide meetodit ja siis räägin teile, kuidas saate seda teisiti lahendada.

On täiesti selge, et punkti abstsiss on võrdne. (see asub punktist abstsissteljele tõmmatud ristil). Peame leidma ordinaat. Kasutame ära asjaolu, et meie joonis on rööpkülik, see tähendab seda. Leiame lõigu pikkuse kahe punkti vahelise kauguse valemi abil:

Langetame punkti, mis ühendab punkti teljega. Tähistan ristumispunkti tähega.

Segmendi pikkus on võrdne. (leidke probleem ise sealt, kus me seda punkti arutasime), siis leiame Pythagorase teoreemi abil segmendi pikkuse:

Lõigu pikkus langeb täpselt kokku selle ordinaadiga.

Vastus: .

Teine lahendus (ma annan lihtsalt pildi, mis seda illustreerib)

Lahenduse edenemine:

1. Käitumine

2. Leia punkti ja pikkuse koordinaadid

3. Tõesta seda.

Veel üks segmendi pikkuse probleem:

Punktid ilmuvad kolmnurga kohale. Leidke selle paralleelse keskjoone pikkus.

Kas mäletate, mis on kolmnurga keskjoon? Siis on see ülesanne teie jaoks elementaarne. Kui te ei mäleta, tuletan teile meelde: kolmnurga keskjoon on joon, mis ühendab vastaskülgede keskpunkte. See on alusega paralleelne ja võrdne poolega sellest.

Alus on segment. Selle pikkust pidime varem otsima, see on võrdne. Siis on keskmise joone pikkus poole suurem ja võrdne.

Vastus: .

Kommentaar: seda probleemi saab lahendada muul viisil, mille juurde pöördume veidi hiljem.

Seniks aga siin on teile mõned probleemid, harjutage nende kallal, need on väga lihtsad, kuid aitavad teil koordinaatide meetodit paremini kasutada!

1. Punktid on tra-pe-tsioonide tipud. Leidke selle keskjoone pikkus.

2. Punktid ja esinemised ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Otsige üles see punkt.

3. Leia pikkus lõikest, ühendades punkti ja

4. Leia koordinaattasandil värvilise kujundi taga olev ala.

5. Punkti läbib ring, mille keskpunkt on na-cha-le ko-or-di-nat. Otsige üles tema raadio.

6. Otsi-di-te ra-di-us ringist, kirjelda-san-noy umbes täisnurk-no-ka, millegi tippudel on kaas-või -di-na-sa oled nii-vastutav

Lahendused:

1. On teada, et trapetsi keskjoon on võrdne poolega selle aluste summast. Alus on võrdne ja alus. Siis

Vastus:

2. Lihtsaim viis selle probleemi lahendamiseks on märkida see (parallelogrammi reegel). Vektorite koordinaatide arvutamine pole keeruline: . Vektorite lisamisel liidetakse koordinaadid. Siis on koordinaadid. Punktil on ka need koordinaadid, kuna vektori alguspunkt on koordinaatidega punkt. Oleme huvitatud ordinaatidest. Ta on võrdne.

Vastus:

3. Toimime kohe kahe punkti vahelise kauguse valemi järgi:

Vastus:

4. Vaata pilti ja öelge, millise kahe kuju vahele on varjutatud ala “vajutud”? See asetseb kahe ruudu vahele. Seejärel võrdub soovitud kujundi pindala suure ruudu pindalaga, millest on lahutatud väikese ruudu pindala. Väikese ruudu külg on punkte ühendav segment ja selle pikkus on

Siis on väikese ruudu pindala

Teeme sama suure ruuduga: selle külg on punkte ühendav segment ja pikkus on

Siis on suure ruudu pindala

Leiame soovitud kujundi pindala järgmise valemi abil:

Vastus:

5. Kui ringi keskpunkt on alguspunkt ja see läbib punkti, siis on selle raadius täpselt võrdne lõigu pikkusega (tegege joonis ja saate aru, miks see on ilmne). Leiame selle segmendi pikkuse:

Vastus:

6. On teada, et ristküliku ümber piiratud ringi raadius on võrdne poolega selle diagonaalist. Leiame ükskõik millise kahe diagonaali pikkuse (ristkülikus on need ju võrdsed!)

Vastus:

No kas sa tulid kõigega toime? Ei olnud väga raske aru saada, eks? Siin on ainult üks reegel - suutma teha visuaalset pilti ja lihtsalt sellest kõik andmed “lugeda”.

Meil on jäänud väga vähe. Sõna otseses mõttes on veel kaks punkti, mida tahaksin arutada.

Proovime seda lihtsat probleemi lahendada. Olgu kaks punkti ja antakse. Leidke lõigu keskpunkti koordinaadid. Selle ülesande lahendus on järgmine: olgu punkt soovitud keskpunkt, siis on sellel koordinaadid:

See on: lõigu keskkoha koordinaadid = lõigu otste vastavate koordinaatide aritmeetiline keskmine.

See reegel on väga lihtne ega tekita õpilastele tavaliselt raskusi. Vaatame, millistes probleemides ja kuidas seda kasutatakse:

1. Otsi-di-te või-di-na-tu se-re-di-ny alates-lõigatud, ühenda-punkt ja

2. Punktid näivad olevat maailma tipud. Leia-di-te või-di-na-tu punkte per-re-se-che-niya tema dia-go-na-ley.

3. Otsi-di-te abs-cis-su ringi keskpunkt, kirjelda-san-noy ristkülikukujulise-no-ka kohta, millegi tippudel on co-or-di-na-you nii-vastutustundlikult-aga.

Lahendused:

1. Esimene probleem on lihtsalt klassikaline. Jätkame kohe segmendi keskkoha määramiseks. Sellel on koordinaadid. Ordinaat on võrdne.

Vastus:

2. On hästi näha, et see nelinurk on rööpkülik (isegi romb!). Saate seda ise tõestada, arvutades külgede pikkused ja võrreldes neid omavahel. Mida ma tean rööpkülikutest? Selle diagonaalid jagatakse lõikepunktiga pooleks! Jah! Mis on siis diagonaalide lõikepunkt? See on ükskõik millise diagonaali keskpunkt! Eelkõige valin diagonaali. Siis on punktil koordinaadid Punkti ordinaat on võrdne.

Vastus:

3. Millega ühtib ristküliku ümber piiritletud ringi keskpunkt? See langeb kokku selle diagonaalide lõikepunktiga. Mida teate ristküliku diagonaalide kohta? Need on võrdsed ja lõikepunkt jagab need pooleks. Ülesanne taandati eelmisele. Võtame näiteks diagonaali. Siis, kui on ümbermõõdu keskpunkt, siis on keskpunkt. Otsin koordinaate: Abstsiss on võrdne.

Vastus:

Nüüd harjutage veidi omaette, ma annan lihtsalt vastused igale probleemile, et saaksite end proovile panna.

1. Otsi-di-te ra-di-us ringist, kirjelda-san-noy kolmnurga-no-ka kohta, millegi tippudel on co-or-di -no misters

2. Otsi-di-te või-di-sellel ringi keskpunktil, kirjelda-san-noy kolmnurga-no-ka kohta, mille tippudel on koordinaadid

3. Missugune ra-di-u-sa peaks olema ring, mille keskpunkt on ühes punktis nii, et see puudutab ab-cissi telge?

4. Otsige üles need või-di-selles punktis, kus telje taas-se-ase-mine ja alates lõikest, ühendage-punkt ja

Vastused:

Kas kõik õnnestus? Ma väga loodan seda! Nüüd – viimane tõuge. Ole nüüd eriti ettevaatlik. Materjal, mida ma nüüd selgitan, ei ole otseselt seotud mitte ainult koordinaatmeetodi lihtsate ülesannetega osast B, vaid seda leidub ka kõikjal ülesandes C2.

Milliseid oma lubadusi ma pole veel täitnud? Kas mäletate, milliseid vektorite tehteid lubasin kasutusele võtta ja millised lõpuks kasutusele võtsin? Oled sa kindel, et ma pole midagi unustanud? Unustasin! Unustasin selgitada, mida tähendab vektorkorrutis.

Vektori korrutamiseks vektoriga on kaks võimalust. Sõltuvalt valitud meetodist saame erineva iseloomuga objekte:

Risttoode on tehtud üsna nutikalt. Kuidas seda teha ja miks seda vaja on, arutame järgmises artiklis. Ja selles keskendume skalaarkorrutisele.

Selle arvutamiseks on kaks võimalust:

Nagu arvasite, peaks tulemus olema sama! Nii et vaatame kõigepealt esimest meetodit:

Punkti toode koordinaatide kaudu

Leidke: - skalaarkorrutise üldtunnustatud tähistus

Arvutamise valem on järgmine:

See tähendab, et skalaarkorrutis = vektori koordinaatide korrutiste summa!

Näide:

Find-di-te

Lahendus:

Leiame iga vektori koordinaadid:

Arvutame skalaarkorrutise järgmise valemi abil:

Vastus:

Vaata, absoluutselt ei midagi keerulist!

Noh, proovige nüüd ise:

· Leia skalaarne pro-iz-ve-de-nie sajandite ja

Kas said hakkama? Äkki märkasite väikest saaki? Kontrollime:

Vektori koordinaadid, nagu eelmises ülesandes! Vastus:.

Lisaks koordinaadile on skalaarkorrutise arvutamiseks veel üks viis, nimelt vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse kaudu:

Tähistab nurka vektorite ja vahel.

See tähendab, et skalaarkorrutis on võrdne vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega.

Milleks meile seda teist valemit vaja, kui meil on esimene, mis on palju lihtsam, selles pole vähemalt koosinusi. Ja seda on vaja selleks, et esimesest ja teisest valemist saaksime teiega järeldada, kuidas vektorite vahelist nurka leida!

Olgu Siis jäta meelde vektori pikkuse valem!

Siis kui ma asendan need andmed skalaarkorrutise valemiga, saan:

Aga muul viisil:

Mida sina ja mina siis saime? Meil on nüüd valem, mis võimaldab meil arvutada kahe vektori vahelise nurga! Mõnikord on see lühiduse mõttes kirjutatud ka nii:

See tähendab, et vektorite vahelise nurga arvutamise algoritm on järgmine:

1. Arvutage skalaarkorrutis koordinaatide kaudu
2. Leidke vektorite pikkused ja korrutage need
3. Jagage punkti 1 tulemus punkti 2 tulemusega

Harjutame näidetega:

1. Leia silmalaugude vaheline nurk ja. Andke vastus keeles grad-du-sah.

2. Leia eelmise ülesande tingimustes koosinus vektorite vahel

Teeme nii: aitan teil esimese probleemi lahendada ja proovige teist ise teha! Nõus? Alustame siis!

1. Need vektorid on meie vanad sõbrad. Oleme nende skalaarkorrutise juba välja arvutanud ja see oli võrdne. Nende koordinaadid on: , . Seejärel leiame nende pikkused:

Seejärel otsime vektorite vahel koosinust:

Mis on nurga koosinus? See on nurk.

Vastus:

Noh, nüüd lahendage teine ​​probleem ise ja seejärel võrrelge! Ma annan väga lühikese lahenduse:

2. omab koordinaate, omab koordinaate.

Laskma olema nurk vektorite ja, siis

Vastus:

Tuleb märkida, et eksamitöö B osas esinevad ülesanded otse vektoritel ja koordinaatide meetodil on üsna haruldased. Valdav enamus C2 ülesandeid on aga kergesti lahendatavad koordinaatsüsteemi kasutuselevõtuga. Nii et võite pidada seda artiklit vundamendiks, mille põhjal teeme üsna nutikaid konstruktsioone, mida vajame keerukate probleemide lahendamiseks.

KOORDINAADID JA VEKTORID. KESKMINE TASE

Teie ja mina jätkame koordinaatide meetodi uurimist. Viimases osas tuletasime mitmed olulised valemid, mis võimaldavad teil:

1. Otsige vektori koordinaadid
2. Leidke vektori pikkus (alternatiiv: kaugus kahe punkti vahel)
3. Vektorite liitmine ja lahutamine. Korrutage need reaalarvuga
4. Leidke lõigu keskpunkt
5. Arvutage vektorite punktkorrutis
6. Leidke vektorite vaheline nurk

Loomulikult ei mahu kogu koordinaatide meetod nende 6 punkti sisse. See on aluseks sellisele teadusele nagu analüütiline geomeetria, millega saad tuttavaks ülikoolis. Ma tahan lihtsalt luua vundamendi, mis võimaldab teil probleeme ühes riigis lahendada. eksam. Oleme tegelenud B-osa ülesannetega. Nüüd on aeg liikuda täiesti uuele tasemele! See artikkel on pühendatud meetodile nende C2 probleemide lahendamiseks, mille puhul oleks mõistlik üle minna koordinaatmeetodile. Selle mõistlikkuse määrab see, mida ülesandest nõutakse ja milline arv on antud. Seega kasutaksin koordinaatide meetodit, kui küsimused on järgmised:

1. Leia kahe tasapinna vaheline nurk
2. Leidke sirge ja tasapinna vaheline nurk
3. Leidke kahe sirge vaheline nurk
4. Leia kaugus punktist tasapinnani
5. Leia kaugus punktist sirgeni
6. Otsige sirge ja tasapinna kaugust
7. Leidke kahe joone vaheline kaugus

Kui ülesandepüstituses antud kujund on pöörlemiskeha (kuul, silinder, koonus...)

Koordinaatide meetodi jaoks sobivad arvud on:

1. Ristkülikukujuline rööptahukas
2. Püramiid (kolmnurkne, nelinurkne, kuusnurkne)

Ka minu kogemusest jaoks on kohatu kasutada koordinaatmeetodit:

1. Läbilõikepindade leidmine
2. Kehade mahtude arvutamine

Siiski tuleb kohe märkida, et koordinaatmeetodi kolm "ebasoodsat" olukorda on praktikas üsna haruldased. Enamiku ülesannete puhul võib see saada teie päästjaks, eriti kui te ei ole väga hea kolmemõõtmeliste konstruktsioonide (mis võib mõnikord olla üsna keerukas) alal.

Mis on kõik ülaltoodud arvud? Need ei ole enam lamedad, nagu näiteks ruut, kolmnurk, ring, vaid mahukad! Sellest lähtuvalt peame arvestama mitte kahemõõtmelise, vaid kolmemõõtmelise koordinaatsüsteemiga. Seda on üsna lihtne ehitada: lisaks abstsiss- ja ordinaatteljele tutvustame veel üht telge, rakendustelge. Joonisel on skemaatiliselt näidatud nende suhteline asukoht:

Kõik need on üksteisega risti ja lõikuvad ühes punktis, mida me nimetame koordinaatide alguspunktiks. Nagu varemgi, tähistame abstsisstelge, ordinaattelge - ja kasutusele võetud rakendustelge - .

Kui varem iseloomustas tasapinna iga punkti kaks numbrit – abstsiss ja ordinaat, siis iga ruumipunkti kirjeldatakse juba kolme numbriga – abstsiss, ordinaat ja aplikaat. Näiteks:

Sellest lähtuvalt on punkti abstsiss võrdne, ordinaat on Ja rakendus on .

Mõnikord nimetatakse punkti abstsissit ka punkti projektsiooniks abstsissteljele, ordinaati - punkti projektsiooniks ordinaatteljele ja aplikatsiooniks - punkti projektsiooniks rakendusteljele. Seega, kui punkt on antud, siis punkt koordinaatidega:

nimetatakse punkti projektsiooniks tasapinnale

nimetatakse punkti projektsiooniks tasapinnale

Tekib loomulik küsimus: kas kõik kahemõõtmelise juhtumi jaoks tuletatud valemid kehtivad ruumis? Vastus on jah, need on õiglased ja sama välimusega. Väikese detaili jaoks. Ma arvan, et olete juba arvanud, milline see on. Kõikides valemites peame lisama veel ühe termini, mis vastutab rakendustelje eest. Nimelt.

1. Kui antakse kaks punkti: , siis:

• Vektori koordinaadid:
• Kahe punkti vaheline kaugus (või vektori pikkus)
• Lõigu keskpunktil on koordinaadid

2. Kui on antud kaks vektorit: ja, siis:

• Nende skalaarkorrutis on võrdne:
• Vektorite vahelise nurga koosinus on võrdne:

Kuid ruum pole nii lihtne. Nagu aru saate, toob ühe koordinaadi lisamine selles ruumis "elavate" kujundite spektri märkimisväärse mitmekesisuse. Ja edasiseks jutustamiseks pean tutvustama jämedalt öeldes sirgjoone "üldistamist". See "üldistus" on lennuk. Mida sa lennukist tead? Proovige vastata küsimusele, mis on lennuk? Seda on väga raske öelda. Kuid me kõik kujutame intuitiivselt ette, kuidas see välja näeb:

Jämedalt öeldes on see mingi lõputu kosmosesse kinni jäänud “leht”. "Lõpmatust" tuleks mõista nii, et tasapind ulatub kõigis suundades, see tähendab, et selle pindala on võrdne lõpmatusega. See “käed külge” seletus ei anna aga lennuki ehitusest vähimatki aimu. Ja just tema hakkab meie vastu huvi tundma.

Meenutagem üht geomeetria põhiaksioomi:

• sirgjoon läbib tasapinna kahte erinevat punkti ja ainult ühte:

Või selle analoog kosmoses:

Muidugi mäletate, kuidas tuletada sirge võrrandit kahest antud punktist; see pole sugugi keeruline: kui esimesel punktil on koordinaadid: ja teisel, siis on sirge võrrand järgmine:

Sa võtsid selle 7. klassis. Ruumis näeb sirge võrrand välja selline: andke meile kaks koordinaatidega punkti: , siis on neid läbiva sirge võrrand järgmine:

Näiteks joon läbib punkte:

Kuidas seda tuleks mõista? Seda tuleks mõista järgmiselt: punkt asub sirgel, kui selle koordinaadid vastavad järgmisele süsteemile:

Meid ei huvita väga sirge võrrand, kuid me peame tähelepanu pöörama väga olulisele sirge suunavektori mõistele. - mis tahes nullist erinev vektor, mis asub antud sirgel või sellega paralleelselt.

Näiteks mõlemad vektorid on sirge suunavektorid. Laskma on punkt, mis asub sirgel ja olgu selle suunavektor. Seejärel saab sirge võrrandi kirjutada järgmisel kujul:

Taaskord ei huvita mind sirgjoone võrrand, kuid mul on tõesti vaja meeles pidada, mis on suunavektor! Veelkord: see on MIS tahes nullist erinev vektor, mis asub sirgel või sellega paralleelselt.

Tõmba tagasi tasandi võrrand, mis põhineb kolmel antud punktil ei ole enam nii tühine ja gümnaasiumikursustel seda teemat tavaliselt ei käsitleta. Aga asjata! See tehnika on ülioluline, kui kasutame keeruliste probleemide lahendamiseks koordinaatide meetodit. Samas eeldan, et oled innukas midagi uut õppima? Pealegi saad ülikoolis oma õpetajale muljet avaldada, kui selgub, et oskad juba kasutada tehnikat, mida tavaliselt analüütilise geomeetria kursusel õpitakse. Nii et alustame.

Tasapinna võrrand ei erine liiga palju tasapinna sirgjoone võrrandist, nimelt on sellel järgmine vorm:

mõned arvud (kõik ei võrdu nulliga), vaid muutujad, näiteks: jne. Nagu näha, ei erine tasapinna võrrand kuigivõrd sirgjoone võrrandist (lineaarfunktsioon). Kuid mäletate, mida teie ja mina vaidlesime? Ütlesime, et kui meil on kolm punkti, mis ei asu samal sirgel, siis saab nende põhjal üheselt rekonstrueerida tasandi võrrandi. Aga kuidas? Püüan seda teile selgitada.

Kuna tasapinna võrrand on:

Ja punktid kuuluvad sellele tasapinnale, siis iga punkti koordinaatide asendamisel tasapinna võrrandisse peaksime saama õige identiteedi:

Seega on vaja lahendada kolm võrrandit tundmatutega! Dilemma! Siiski võite seda alati eeldada (selleks peate jagama). Seega saame kolm võrrandit kolme tundmatuga:

Kuid me ei lahenda sellist süsteemi, vaid kirjutame välja sellest tuleneva salapärase väljendi:

Kolme etteantud punkti läbiva tasapinna võrrand

\[\left| (\begin(massiivi)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(massiivi)) \right| = 0\]

Lõpeta! Mis see on? Väga ebatavaline moodul! Objektil, mida näete enda ees, pole aga mooduliga midagi pistmist. Seda objekti nimetatakse kolmandat järku determinandiks. Nüüdsest, kui tegelete tasapinnal koordinaatide meetodiga, kohtate neid samu determinante väga sageli. Mis on kolmandat järku determinant? Kummalisel kombel on see vaid number. Jääb üle mõista, millist konkreetset arvu me determinandiga võrdleme.

Kirjutame esmalt kolmandat järku determinandi üldisemal kujul:

Kus on mõned numbrid. Veelgi enam, esimese indeksi all peame silmas rea numbrit ja indeksi all veeru numbrit. Näiteks tähendab see, et see number on teise rea ja kolmanda veeru ristumiskohas. Esitame järgmise küsimuse: kuidas me sellist determinanti täpselt arvutame? See tähendab, millist konkreetset numbrit me sellega võrdleme? Kolmandat järku determinandi jaoks on heuristiline (visuaalne) kolmnurga reegel, see näeb välja järgmine:

1. Põhidiagonaali elementide korrutis (ülemisest vasakpoolsest nurgast paremasse alanurka) esimese kolmnurga moodustavate elementide korrutis põhidiagonaaliga "risti" teise kolmnurga moodustavate elementide korrutis "risti" kolmnurgaga. põhidiagonaal
2. Sekundaarse diagonaali elementide korrutis (paremast ülanurgast vasakusse alumisse) esimese kolmnurga moodustavate elementide korrutis "risti" sekundaarse diagonaaliga, teise kolmnurga moodustavate elementide korrutis "risti" kolmnurgaga. sekundaarne diagonaal
3. Siis on determinant võrdne etapil ja saadud väärtuste vahega

Kui kirjutame kõik selle numbritega üles, saame järgmise avaldise:

Siiski ei pea te sellisel kujul arvutamismeetodit meeles pidama, piisab, kui hoida oma peas kolmnurgad ja mõte sellest, mis milleks kokku annab ja millest siis lahutatakse).

Illustreerime kolmnurga meetodit näitega:

1. Arvutage determinant:

Mõelgem välja, mida lisame ja mida lahutame:

Plussiga kaasnevad tingimused:

See on peamine diagonaal: elementide korrutis on võrdne

Esimene kolmnurk, "põhidiagonaaliga risti: elementide korrutis on võrdne

Teine kolmnurk, "põhidiagonaaliga risti: elementide korrutis on võrdne

Liitke kolm numbrit:

Tingimused, millel on miinus

See on külgdiagonaal: elementide korrutis on võrdne

Esimene kolmnurk, mis on risti sekundaarse diagonaaliga: elementide korrutis on võrdne

Teine kolmnurk, "risti sekundaarse diagonaaliga: elementide korrutis on võrdne

Liitke kolm numbrit:

Jääb üle vaid lahutada plusssõnade summa miinusliikmete summast:

Seega

Nagu näete, pole kolmandat järku determinantide arvutamisel midagi keerulist ega üleloomulikku. Oluline on lihtsalt meeles pidada kolmnurki ja mitte teha aritmeetilisi vigu. Nüüd proovige see ise arvutada:

Kontrollime:

1. Esimene kolmnurk, mis on risti põhidiagonaaliga:
2. Teine kolmnurk, mis on risti põhidiagonaaliga:
3. Tingimuste summa plussiga:
4. Esimene kolmnurk, mis on risti sekundaarse diagonaaliga:
5. Teine kolmnurk, mis on risti külgdiagonaaliga:
6. Tingimuste summa miinusega:
7. Plussiga terminite summa miinus miinusega terminite summa:

Siin on veel paar määrajat, arvutage ise nende väärtused ja võrrelge neid vastustega:

Vastused:

Noh, kas kõik langes kokku? Suurepärane, siis võite edasi minna! Kui on raskusi, siis minu nõuanne on järgmine: Internetis on palju programme determinandi võrgus arvutamiseks. Kõik, mida vajate, on välja mõelda oma determinant, see ise arvutada ja seejärel võrrelda seda programmi arvutatuga. Ja nii edasi, kuni tulemused hakkavad kokku langema. Olen kindel, et selle hetke saabumine ei võta kaua aega!

Nüüd pöördume tagasi determinandi juurde, mille kirjutasin välja, kui rääkisin kolme antud punkti läbiva tasandi võrrandist:

Kõik, mida vajate, on selle väärtus otse arvutada (kasutades kolmnurga meetodit) ja seada tulemuseks null. Loomulikult, kuna need on muutujad, saate neist sõltuva avaldise. Just see avaldis on võrrand tasapinnaga, mis läbib kolme antud punkti, mis ei asu samal sirgel!

Illustreerime seda lihtsa näitega:

1. Koostage punkte läbiva tasandi võrrand

Koostame nende kolme punkti determinandi:

Lihtsustame:

Nüüd arvutame selle otse kolmnurga reegli abil:

\[(\left| (\begin(massiivi)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(massiivi)) \ parem| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Seega on punkte läbiva tasandi võrrand:

Proovige nüüd üks probleem ise lahendada ja siis arutame seda:

2. Leidke punkte läbiva tasandi võrrand

Noh, arutame nüüd lahendust:

Loome determinandi:

Ja arvutage selle väärtus:

Siis on tasapinna võrrandil järgmine kuju:

Või vähendades võrra, saame:

Nüüd kaks enesekontrolli ülesannet:

1. Koostage kolme punkti läbiva tasandi võrrand:

Vastused:

Kas kõik langes kokku? Jällegi, kui on teatud raskusi, siis minu nõuanne on järgmine: võtke peast kolm punkti (suure tõenäosusega ei asu need samal sirgel), ehitage nende põhjal tasapind. Ja siis kontrollite ennast võrgus. Näiteks saidil:

Kuid determinantide abil konstrueerime mitte ainult tasandi võrrandi. Pidage meeles, ma ütlesin teile, et vektorite jaoks pole määratletud ainult punktkorrutis. Samuti on olemas vektorprodukt, samuti segaprodukt. Ja kui kahe vektori skalaarkorrutis on arv, siis on kahe vektori vektorkorrutis vektor ja see vektor on risti antud vektoritega:

Veelgi enam, selle moodul on võrdne vektoritele ehitatud rööpküliku pindalaga ja. Seda vektorit vajame punkti ja sirge kauguse arvutamiseks. Kuidas saab arvutada vektorite vektorkorrutist ja kui on antud nende koordinaadid? Kolmandat järku määraja tuleb meile taas appi. Enne vektorkorrutise arvutamise algoritmi juurde asumist pean aga tegema väikese kõrvalekaldumise.

See kõrvalekalle puudutab baasvektoreid.

Need on skemaatiliselt näidatud joonisel:

Miks sa arvad, et neid nimetatakse põhilisteks? Fakt on see, et:

Või pildil:

Selle valemi kehtivus on ilmne, sest:

Vektorkunstiteos

Nüüd võin alustada risttoote tutvustamist:

Kahe vektori vektorkorrutis on vektor, mis arvutatakse järgmise reegli järgi:

Toome nüüd mõned näited ristkorrutise arvutamise kohta:

Näide 1: leidke vektorite ristkorrutis:

Lahendus: ma koostan determinandi:

Ja ma arvutan selle välja:

Nüüd, kui kirjutan baasvektorite kaudu, pöördun tagasi tavapärase vektorite tähistuse juurde:

Seega:

Nüüd proovige seda.

Valmis? Kontrollime:

Ja traditsiooniliselt kaks kontrolli ülesanded:

1. Leidke järgmiste vektorite vektorkorrutis:
2. Leidke järgmiste vektorite vektorkorrutis:

Vastused:

Kolme vektori segakorrutis

Viimane konstruktsioon, mida ma vajan, on kolme vektori segakorrutis. See, nagu skalaar, on arv. Selle arvutamiseks on kaks võimalust. - determinandi kaudu, - segatoote kaudu.

Nimelt olgu meile antud kolm vektorit:

Seejärel saab kolme vektori segakorrutise, mida tähistatakse, arvutada järgmiselt:

1. - see tähendab, et segakorrutis on vektori skalaarkorrutis ja kahe teise vektori vektorkorrutis

Näiteks kolme vektori segakorrutis on:

Proovige see vektorkorrutise abil ise välja arvutada ja veenduge, et tulemused ühtivad!

Ja jälle kaks näidet sõltumatute lahenduste kohta:

Vastused:

Koordinaadisüsteemi valimine

Noh, nüüd on meil kõik vajalikud teadmised keeruliste stereomeetrilise geomeetria probleemide lahendamiseks. Enne otse näidete ja nende lahendamise algoritmide juurde asumist usun aga, et on kasulik peatuda järgmisel küsimusel: kuidas täpselt vali konkreetse joonise jaoks koordinaatsüsteem. Lõppude lõpuks on koordinaatsüsteemi suhtelise asukoha ja ruumis oleva figuuri valik see, mis lõpuks määrab selle, kui tülikaks arvutused kujunevad.

Lubage mul teile meelde tuletada, et selles jaotises käsitleme järgmisi arve:

1. Ristkülikukujuline rööptahukas
2. Sirge prisma (kolmnurkne, kuusnurkne...)
3. Püramiid (kolmnurkne, nelinurkne)
4. Tetraeeder (sama mis kolmnurkne püramiid)

Ristkülikukujulise rööptahuka või kuubi jaoks soovitan teile järgmist konstruktsiooni:

See tähendab, et panen figuuri "nurka". Kuubik ja rööptahukas on väga head kujundid. Nende jaoks saate alati hõlpsasti leida selle tippude koordinaadid. Näiteks kui (nagu on näidatud joonisel)

siis on tippude koordinaadid järgmised:

Muidugi ei pea te seda meeles pidama, kuid on soovitatav meeles pidada, kuidas kuubi või ristkülikukujulist rööptahukat kõige paremini paigutada.

Sirge prisma

Prisma on kahjulikum näitaja. Seda saab ruumis paigutada erineval viisil. Mulle tundub aga kõige vastuvõetavam järgmine variant:

Kolmnurkne prisma:

See tähendab, et asetame kolmnurga ühe külgedest täielikult teljele ja üks tippudest langeb kokku koordinaatide alguspunktiga.

Kuusnurkne prisma:

See tähendab, et üks tippudest langeb kokku lähtepunktiga ja üks külgedest asub teljel.

Nelinurkne ja kuusnurkne püramiid:

Olukord sarnaneb kuubikuga: joondame aluse kaks külge koordinaatide telgedega ja ühe tipu joondame koordinaatide alguspunktiga. Ainus väike raskus on punkti koordinaatide arvutamine.

Kuusnurkse püramiidi puhul – sama, mis kuusnurkse prisma puhul. Peamine ülesanne on jällegi tipu koordinaatide leidmine.

Tetraeeder (kolmnurkne püramiid)

Olukord on väga sarnane sellele, mille andsin kolmnurkse prisma jaoks: üks tipp langeb kokku lähtepunktiga, üks külg asub koordinaatteljel.

Noh, nüüd oleme teiega lõpuks lähedal probleemide lahendamisele. Sellest, mida ma artikli alguses ütlesin, võite teha järgmise järelduse: enamik C2 probleeme on jagatud kahte kategooriasse: nurgaprobleemid ja kaugusprobleemid. Kõigepealt vaatleme nurga leidmise probleeme. Need jagunevad omakorda järgmistesse kategooriatesse (keerukuse kasvades):

Probleemid nurkade leidmisel

1. Kahe sirge vahelise nurga leidmine
2. Kahe tasandi vahelise nurga leidmine

Vaatame neid probleeme järjestikku: alustame kahe sirge vahelise nurga leidmisega. Noh, pidage meeles, kas teie ja mina pole varem sarnaseid näiteid lahendanud? Kas mäletate, meil oli juba midagi sarnast... Otsisime kahe vektori vahelist nurka. Tuletan teile meelde, kui on antud kaks vektorit: ja, siis nendevaheline nurk leitakse seosest:

Nüüd on meie eesmärk leida kahe sirge vaheline nurk. Vaatame "tasapinnalist pilti":

Mitu nurka saime kahe sirge lõikumisel? Vaid paar asja. Tõsi, ainult kaks neist ei ole võrdsed, samas kui teised on nende suhtes vertikaalsed (ja seega kattuvad nendega). Millise nurga all peaksime arvestama kahe sirge vahelist nurka: või? Siin kehtib reegel: kahe sirge vaheline nurk ei ole alati suurem kui kraadi. See tähendab, et kahe nurga alt valime alati väikseima kraadiga nurga. See tähendab, et sellel pildil on kahe sirge vaheline nurk võrdne. Et mitte iga kord vaeva näha kahest nurgast väikseima leidmisega, soovitasid kavalad matemaatikud kasutada moodulit. Seega määratakse kahe sirge vaheline nurk valemiga:

Teil kui tähelepanelikul lugejal oleks pidanud tekkima küsimus: kust me täpselt saame need samad arvud, mida vajame nurga koosinuse arvutamiseks? Vastus: võtame need joonte suunavektoritest! Seega on kahe sirge vahelise nurga leidmise algoritm järgmine:

1. Rakendame valemit 1.

Või täpsemalt:

1. Otsime esimese sirge suunavektori koordinaate
2. Otsime teise sirge suuna vektori koordinaate
3. Arvutame nende skalaarkorrutise mooduli
4. Otsime esimese vektori pikkust
5. Otsime teise vektori pikkust
6. Korrutage punkti 4 tulemused punkti 5 tulemustega
7. Jagame punkti 3 tulemuse punkti 6 tulemusega. Saame sirgetevahelise nurga koosinuse
8. Kui see tulemus võimaldab meil nurka täpselt arvutada, otsime seda
9. Muidu kirjutame läbi kaarekoosinuse

Noh, nüüd on aeg liikuda probleemide juurde: ma demonstreerin üksikasjalikult kahe esimese lahenduse lahendust, ühe teise lahenduse esitan lühidalt ja kahele viimasele ülesandele annan ainult vastused; peate nende jaoks kõik arvutused ise tegema.

Ülesanded:

1. Paremal tet-ra-ed-re leidke nurk tet-ra-ed-ra kõrguse ja keskmise külje vahel.

2. Parempoolses kuuenurgas pi-ra-mi-de on sada os-no-va-niyat võrdsed ja külgservad on võrdsed, leidke sirgete vaheline nurk ja.

3. Parempoolse neljasöe pi-ra-mi-dy kõigi servade pikkused on üksteisega võrdsed. Leidke sirgjoonte vaheline nurk ja kui lõikest - olete antud pi-ra-mi-dyga, on punkt se-re-di- selle bo-co- teise ribi peal

4. Kuubi serval on punkt nii, et Leia sirgete vaheline nurk ja

5. Punkt - kuubi servadel Leia sirgete vaheline nurk ja.

Pole juhus, et seadsin ülesanded sellisesse järjekorda. Kui te pole veel koordinaatide meetodil navigeerima hakanud, analüüsin ma ise kõige "probleemsemad" kujundid ja jätan teie enda hooleks kõige lihtsama kuubiku! Järk-järgult peate õppima kõigi figuuridega töötama, suurendan ülesannete keerukust teemalt teemale.

Alustame probleemide lahendamist:

1. Joonistage tetraeeder, asetage see koordinaatsüsteemi, nagu ma varem soovitasin. Kuna tetraeeder on korrapärane, on kõik selle tahud (kaasa arvatud põhi) korrapärased kolmnurgad. Kuna meile ei ole antud külje pikkust, siis võin seda võrdseks võtta. Arvan, et saate aru, et nurk ei sõltu tegelikult sellest, kui palju meie tetraeeder on "venitatud"?. Samuti joonistan tetraeedris kõrguse ja mediaani. Tee peal joonistan selle aluse (see tuleb ka meile kasuks).

Pean leidma nurga ja vahel. Mida me teame? Me teame ainult punkti koordinaate. See tähendab, et peame leidma punktide koordinaadid. Nüüd mõtleme: punkt on kolmnurga kõrguste (või poolitajate või mediaanide) lõikepunkt. Ja punkt on tõstatatud punkt. Punkt on segmendi keskpunkt. Siis peame lõpuks leidma: punktide koordinaadid: .

Alustame kõige lihtsamast: punkti koordinaatidest. Vaata joonist: On selge, et punkti rakendus on võrdne nulliga (punkt asub tasapinnal). Selle ordinaat on võrdne (kuna see on mediaan). Selle abstsissi on raskem leida. Seda on aga lihtne teha Pythagorase teoreemi alusel: Vaatleme kolmnurka. Selle hüpotenuus on võrdne ja üks jalg on võrdne Siis:

Lõpuks on meil: .

Nüüd leiame punkti koordinaadid. On selge, et selle rakendus on jälle võrdne nulliga ja selle ordinaat on sama, mis punktil, see tähendab. Leiame selle abstsissi. Seda tehakse üsna triviaalselt, kui seda mäletate võrdkülgse kolmnurga kõrgused lõikepunkti järgi jagatakse proportsionaalselt, lugedes ülevalt. Kuna: , siis punkti nõutav abstsiss, mis on võrdne lõigu pikkusega, on võrdne: . Seega on punkti koordinaadid:

Leiame punkti koordinaadid. On selge, et selle abstsiss ja ordinaat langevad kokku punkti abstsissi ja ordinaatiga. Ja rakendus on võrdne segmendi pikkusega. - see on kolmnurga üks jalgadest. Kolmnurga hüpotenuus on segment - jalg. Seda otsitakse põhjustel, mille olen rasvases kirjas esile tõstnud:

Punkt on segmendi keskpunkt. Seejärel peame meeles pidama lõigu keskpunkti koordinaatide valemit:

See on kõik, nüüd saame otsida suunavektorite koordinaate:

Noh, kõik on valmis: asendame kõik andmed valemiga:

Seega

Vastus:

Te ei tohiks hirmutada selliste "hirmutavate" vastuste pärast: C2 ülesannete puhul on see tavaline praktika. Pigem oleksin üllatunud selle osa "ilusa" vastuse üle. Samuti, nagu märkasite, ei kasutanud ma praktiliselt midagi muud peale Pythagorase teoreemi ja võrdkülgse kolmnurga kõrguste omaduse. See tähendab, et stereomeetrilise probleemi lahendamiseks kasutasin stereomeetriat minimaalselt. Selle kasu on osaliselt "kustutatud" üsna tülikate arvutustega. Kuid need on üsna algoritmilised!

2. Kujutame korrapärase kuusnurkse püramiidi koos koordinaatsüsteemi ja selle alusega:

Peame leidma nurga joonte ja vahel. Seega taandub meie ülesanne punktide koordinaatide leidmisele: . Viimase kolme koordinaadid leiame väikese joonise abil ja tipu koordinaadi leiame punkti koordinaadi kaudu. Tööd on palju, kuid me peame alustama!

a) Koordinaat: on selge, et selle rakendus ja ordinaat on võrdsed nulliga. Leiame abstsissi. Selleks kaaluge täisnurkset kolmnurka. Kahjuks tunneme selles ainult hüpotenuusi, mis on võrdne. Püüame leida jala (sest on selge, et jala kahekordne pikkus annab meile punkti abstsissi). Kuidas me saame seda otsida? Meenutagem, milline kujund on meil püramiidi põhjas? See on tavaline kuusnurk. Mida see tähendab? See tähendab, et kõik küljed ja nurgad on võrdsed. Peame leidma ühe sellise nurga. Ideid? Ideid on palju, kuid valem on olemas:

Tavalise n-nurga nurkade summa on .

Seega on korrapärase kuusnurga nurkade summa võrdne kraadidega. Siis on kõik nurgad võrdsed:

Vaatame uuesti pilti. On selge, et segment on nurga poolitaja. Siis on nurk võrdne kraadidega. Seejärel:

Kust siis.

Seega on koordinaadid

b) Nüüd saame hõlpsalt leida punkti koordinaadi: .

c) Leidke punkti koordinaadid. Kuna selle abstsiss langeb kokku segmendi pikkusega, on see võrdne. Samuti pole ordinaadi leidmine väga keeruline: kui ühendame punktid ja nimetame sirge lõikepunktiks näiteks . (tee ise lihtne ehitus). Siis Seega on punkti B ordinaat võrdne lõikude pikkuste summaga. Vaatame uuesti kolmnurka. Siis

Siis alates Siis punktil on koordinaadid

d) Nüüd leiame punkti koordinaadid. Mõelge ristkülikule ja tõestage, et punkti koordinaadid on järgmised:

e) Jääb üle leida tipu koordinaadid. On selge, et selle abstsiss ja ordinaat langevad kokku punkti abstsissi ja ordinaatiga. Leiame rakenduse. Sellest ajast. Mõelge täisnurksele kolmnurgale. Vastavalt probleemi tingimustele külgserv. See on minu kolmnurga hüpotenuus. Siis on püramiidi kõrgus jalg.

Siis on punktil koordinaadid:

Noh, see on kõik, mul on kõigi mind huvitavate punktide koordinaadid. Otsin sirgete suunavektorite koordinaate:

Otsime nende vektorite vahelist nurka:

Vastus:

Jällegi, selle ülesande lahendamisel ei kasutanud ma muid keerukaid tehnikaid peale tavalise n-nurga nurkade summa valemi, samuti täisnurkse kolmnurga koosinuse ja siinuse definitsiooni.

3. Kuna meile pole jällegi antud püramiidi servade pikkusi, siis võtan need võrdseks ühega. Seega, kuna KÕIK servad, mitte ainult külgmised, on üksteisega võrdsed, siis on püramiidi ja minu põhjas ruut ja külgmised tahud on korrapärased kolmnurgad. Joonistame sellise püramiidi ja selle aluse tasapinnale, märkides kõik ülesande tekstis toodud andmed:

Otsime nurka ja vahel. Punktide koordinaatide otsimisel teen väga lühikesed arvutused. Peate need "dešifreerima":

b) - segmendi keskosa. Selle koordinaadid:

c) Leian kolmnurga lõigu pikkuse Pythagorase teoreemi abil. Ma leian selle Pythagorase teoreemi abil kolmnurgas.

Koordinaadid:

d) - segmendi keskosa. Selle koordinaadid on

e) Vektori koordinaadid

f) Vektori koordinaadid

g) nurga otsimine:

Kuubik on kõige lihtsam kuju. Olen kindel, et saad selle ise välja. Vastused ülesannetele 4 ja 5 on järgmised:

Nurga leidmine sirge ja tasapinna vahel

Noh, lihtsate mõistatuste aeg on möödas! Nüüd on näited veelgi keerulisemad. Sirge ja tasapinna vahelise nurga leidmiseks toimime järgmiselt.

1. Kolme punkti abil koostame tasandi võrrandi
   ,
   kasutades kolmandat järku determinanti.
2. Kahe punkti abil otsime sirgjoone suunavektori koordinaate:
3. Sirge ja tasapinna vahelise nurga arvutamiseks kasutame valemit:

Nagu näete, on see valem väga sarnane sellele, mida kasutasime kahe sirge vahelise nurga leidmiseks. Paremal pool on struktuur lihtsalt sama ja vasakult otsime nüüd siinust, mitte koosinust nagu varem. Noh, üks vastik tegevus lisandus - lennuki võrrandi otsimine.

Ärgem viivitagem lahendusnäited:

1. Pea-aga-va-ni-em otseprisma-me oleme võrdne-vaestega kolmnurk. Leidke nurk sirge ja tasapinna vahel

2. Leidke ristkülikukujulises par-ral-le-le-pi-pe-de läänest nurk sirge ja tasandi vahel

3. Parempoolses kuuenurgalises prismas on kõik servad võrdsed. Leidke nurk sirge ja tasapinna vahel.

4. Parempoolses kolmnurkses pi-ra-mi-de-s koos tuntud ribide os-no-va-ni-em Leidke nurk, ob-ra-zo-van -põhjaga tasane ja sirge, mis läbib halli. ribid ja

5. Parempoolse nelinurkse pi-ra-mi-dy tipuga pi-ra-mi-dy kõigi servade pikkused on omavahel võrdsed. Leidke nurk sirge ja tasapinna vahel, kui punkt asub pi-ra-mi-dy serva küljel.

Jällegi lahendan kaks esimest ülesannet üksikasjalikult, kolmanda lühidalt ja kaks viimast jätan teie enda lahendada. Pealegi olete juba pidanud tegelema kolmnurksete ja nelinurksete püramiididega, kuid mitte veel prismadega.

Lahendused:

1. Kujutagem prismat ja ka selle alust. Kombineerime selle koordinaatsüsteemiga ja märgime üles kõik ülesande avalduses toodud andmed:

Vabandan mõningase proportsioonide mittejärgimise pärast, kuid probleemi lahendamiseks pole see tegelikult nii oluline. Lennuk on lihtsalt minu prisma "tagasein". Piisab, kui lihtsalt arvata, et sellise tasandi võrrandil on vorm:

Seda saab aga otse näidata:

Valime sellel tasapinnal suvalised kolm punkti: näiteks .

Koostame tasandi võrrandi:

Harjutus teile: arvutage see determinant ise. Kas õnnestus? Siis näeb tasapinna võrrand välja järgmine:

Või lihtsalt

Seega

Näite lahendamiseks pean leidma sirge suuna vektori koordinaadid. Kuna punkt langeb kokku koordinaatide alguspunktiga, siis kattuvad vektori koordinaadid lihtsalt punkti koordinaatidega, selleks leiame esmalt punkti koordinaadid.

Selleks kaaluge kolmnurka. Joonistame tipust kõrguse (tuntud ka kui mediaan ja poolitaja). Kuna punkti ordinaat on võrdne. Selle punkti abstsissi leidmiseks peame arvutama segmendi pikkuse. Pythagorase teoreemi kohaselt on meil:

Siis on punktil koordinaadid:

Punkt on "tõstetud" punkt:

Siis on vektori koordinaadid:

Vastus:

Nagu näete, pole selliste probleemide lahendamisel midagi põhimõtteliselt rasket. Tegelikult lihtsustab protsessi veidi rohkem sellise kujundi nagu prisma "sirgesus". Liigume nüüd järgmise näite juurde:

2. Joonistage rööptahukas, tõmmake sellesse tasapind ja sirgjoon ning eraldi ka selle alumine alus:

Esiteks leiame tasapinna võrrandi: selles asuva kolme punkti koordinaadid:

(esimesed kaks koordinaati saadakse ilmselgelt ja viimase koordinaadi leiate lihtsalt punktist pildilt). Seejärel koostame tasandi võrrandi:

Arvutame:

Otsime juhtvektori koordinaate: on selge, et selle koordinaadid langevad kokku punkti koordinaatidega, kas pole? Kuidas leida koordinaate? Need on punkti koordinaadid, mis on piki rakendustelge ühe võrra tõstetud! . Seejärel otsime soovitud nurka:

Vastus:

3. Joonistage korrapärane kuusnurkne püramiid ning seejärel tõmmake sellesse tasapind ja sirgjoon.

Siin on isegi problemaatiline tasapinna joonistamine, rääkimata selle probleemi lahendamisest, kuid koordinaatmeetodil pole vahet! Selle mitmekülgsus on selle peamine eelis!

Tasapind läbib kolme punkti: . Otsime nende koordinaate:

1) . Uurige ise kahe viimase punkti koordinaadid. Selleks peate lahendama kuusnurkse püramiidi probleemi!

2) Koostame tasandi võrrandi:

Otsime vektori koordinaate: . (Vaata kolmnurkse püramiidi probleemi uuesti!)

3) nurga otsimine:

Vastus:

Nagu näha, pole neis ülesannetes midagi üleloomulikult rasket. Sa pead lihtsalt olema juurtega väga ettevaatlik. Annan vastused ainult kahele viimasele probleemile:

Nagu näete, on ülesannete lahendamise tehnika igal pool sama: peamine ülesanne on leida tippude koordinaadid ja asendada need teatud valemitega. Nurkade arvutamisel peame siiski arvestama veel ühe probleemide klassiga, nimelt:

Nurkade arvutamine kahe tasandi vahel

Lahendusalgoritm on järgmine:

1. Kolme punkti abil otsime esimese tasandi võrrandit:
2. Ülejäänud kolme punkti abil otsime teise tasandi võrrandit:
3. Rakendame valemit:

Nagu näha, on valem väga sarnane kahele eelnevale, mille abil otsisime sirge ning sirge ja tasandi vahelisi nurki. Nii et teil pole seda raske meeles pidada. Liigume edasi ülesannete analüüsi juurde:

1. Parempoolse kolmnurkse prisma aluse külg on võrdne ja külgpinna dia-go-nal on võrdne. Leia nurk tasapinna ja prisma telje tasandi vahel.

2. Parempoolses nelja nurgas pi-ra-mi-de, mille kõik servad on võrdsed, leidke tasandi ja tasapinnalise luu vahelise nurga siinus, mis läbib punkti per-pen-di-ku- vale-aga otsekohene.

3. Tavalises nelja nurgaga prismas on aluse küljed võrdsed ja külgservad võrdsed. Äärel on punkt alates-me-che-on nii et. Leia tasapindade vaheline nurk ja

4. Parempoolses nelinurkses prismas on aluse küljed võrdsed ja külgservad võrdsed. Punkti serval on punkt nii, et Leia tasapindade vaheline nurk ja.

5. Leia kuubis tasapindade ja vahelise nurga kaas-sinus

Probleemi lahendused:

1. Joonistan korrapärase (aluses võrdkülgse kolmnurga) kolmnurkse prisma ja märgin sellele tasapinnad, mis esinevad ülesande püstituses:

Peame leidma kahe tasandi võrrandid: Aluse võrrand on triviaalne: vastava determinandi saab koostada kolme punkti abil, aga mina koostan võrrandi kohe:

Nüüd leiame võrrandi Punktil on koordinaadid Punkt – kuna see on kolmnurga mediaan ja kõrgus merepinnast, on see kolmnurga Pythagorase teoreemi abil hõlpsasti leitav. Siis on punktil koordinaadid: Leiame punkti rakendus. Selleks vaatleme täisnurkset kolmnurka

Siis saame järgmised koordinaadid: Koostame tasandi võrrandi.

Arvutame tasapindade vahelise nurga:

Vastus:

2. Joonise tegemine:

Kõige keerulisem on aru saada, milline salapärane tasapind see on, mis läbib punkti risti. Peaasi, mis see on? Peaasi on tähelepanelikkus! Tegelikult on joon risti. Sirge on ka risti. Siis on neid kahte sirget läbiv tasapind joonega risti ja, muide, läbib punkti. See tasapind läbib ka püramiidi tippu. Siis soovitud lennuk - Ja lennuk on meile juba antud. Otsime punktide koordinaate.

Punkti kaudu leiame punkti koordinaadi. Väikese pildi põhjal on lihtne järeldada, et punkti koordinaadid saavad olema järgmised: Mida jääb nüüd püramiidi tipu koordinaatide leidmiseks leida? Samuti peate arvutama selle kõrguse. Seda tehakse sama Pythagorase teoreemi abil: esmalt tõestage see (triviaalselt väikestest kolmnurkadest, mis moodustavad aluses ruudu). Kuna tingimusel on meil:

Nüüd on kõik valmis: tipu koordinaadid:

Koostame tasandi võrrandi:

Olete juba determinantide arvutamise ekspert. Ilma raskusteta saate:

Või teisiti (kui me korrutame mõlemad pooled kahe juurega)

Nüüd leiame tasapinna võrrandi:

(Sa ei ole unustanud, kuidas me saame tasapinna võrrandi, eks? Kui te ei saa aru, kust see miinus tuli, siis minge tagasi tasapinna võrrandi definitsiooni juurde! See lihtsalt selgus alati enne seda minu lennuk kuulus koordinaatide alguspunkti!)

Arvutame determinandi:

(Võite märgata, et tasandi võrrand langeb kokku punkte läbiva sirge võrrandiga ja! Mõelge, miks!)

Nüüd arvutame nurga:

Peame leidma siinuse:

Vastus:

3. Keeruline küsimus: mis on teie arvates ristkülikukujuline prisma? See on lihtsalt rööptahukas, mida te hästi teate! Teeme kohe joonise! Te ei pea isegi alust eraldi kujutama, sellest on siin vähe kasu:

Tasand, nagu me varem märkisime, on kirjutatud võrrandi kujul:

Nüüd loome lennuki

Loome kohe tasapinna võrrandi:

Otsin nurka:

Nüüd vastused kahele viimasele probleemile:

Noh, nüüd on aeg teha väike paus, sest sina ja mina oleme suurepärased ja oleme teinud suurepärast tööd!

Koordinaadid ja vektorid. Edasijõudnute tase

Selles artiklis käsitleme teiega veel ühte ülesannete klassi, mida saab lahendada koordinaatmeetodi abil: kauguse arvutamise ülesanded. Nimelt käsitleme järgmisi juhtumeid:

1. Lõikuvate sirgete vahelise kauguse arvutamine.

Olen need ülesanded järjestanud järjest raskemaks muutumise järjekorras. Selgub, et seda on kõige lihtsam leida kaugus punktist tasapinnani, ja kõige raskem on leida ristumisjoonte vaheline kaugus. Kuigi loomulikult pole miski võimatu! Ärgem viivitagem ja jätkakem kohe esimese probleemide klassiga:

Punkti ja tasapinna vahelise kauguse arvutamine

Mida me vajame selle probleemi lahendamiseks?

1. Punkti koordinaadid

Nii et niipea, kui saame kõik vajalikud andmed, rakendame valemit:

Peaksite juba teadma, kuidas konstrueerime tasandi võrrandi eelmiste ülesannete põhjal, mida viimases osas käsitlesin. Asume otse ülesannete juurde. Skeem on järgmine: 1, 2 - aitan teil otsustada ja üksikasjalikult, 3, 4 - ainult vastus, lahendate ise ja võrdlete. Alustame!

Ülesanded:

1. Antud kuubik. Kuubi serva pikkus on võrdne. Leidke se-re-di-na kaugus lõikest tasapinnani

2. Arvestades õige nelja söe pi-ra-mi-jah, on külje külg võrdne alusega. Leia kaugus punktist tasapinnani, kus - se-re-di-servadel.

3. Parempoolses kolmnurkses pi-ra-mi-de koos os-no-va-ni-emiga on külgserv võrdne ja os-no-vania saja-ro- on võrdne. Leidke kaugus tipust tasapinnani.

4. Parempoolses kuusnurkses prismas on kõik servad võrdsed. Leia kaugus punktist tasapinnani.

Lahendused:

1. Joonistage üksikute servadega kuup, konstrueerige lõik ja tasapind, tähistage lõigu keskosa tähega

.

Kõigepealt alustame lihtsast: leidke punkti koordinaadid. Sellest ajast peale (pidage meeles lõigu keskkoha koordinaate!)

Nüüd koostame tasandi võrrandi kolme punkti abil

\[\left| (\begin(massiivi)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(massiivi)) \right| = 0\]

Nüüd saan hakata kaugust leidma:

2. Alustame uuesti joonisega, millele märgime kõik andmed!

Püramiidi puhul oleks kasulik selle alus eraldi joonistada.

Isegi see, et ma joonistan nagu käpaga kana, ei takista meil seda probleemi kerge vaevaga lahendamast!

Nüüd on lihtne leida punkti koordinaate

Kuna punkti koordinaadid, siis

2. Kuna punkti a koordinaadid on lõigu keskpunkt, siis

Probleemideta leiame tasapinnal veel kahe punkti koordinaadid Loome tasapinna võrrandi ja lihtsustame seda:

\[\left| (\left| (\begin(massiiv)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(massiivi)) \right|) \right| = 0\]

Kuna punktil on koordinaadid: , arvutame kauguse:

Vastus (väga harv!):

Noh, kas sa said aru? Mulle tundub, et siin on kõik täpselt sama tehniline kui näidetes, mida vaatlesime eelmises osas. Seega olen kindel, et kui olete selle materjali omandanud, ei ole teil raske ülejäänud kahte probleemi lahendada. Ma annan teile lihtsalt vastused:

Sirge ja tasapinna kauguse arvutamine

Tegelikult pole siin midagi uut. Kuidas saab sirgjoont ja tasapinda üksteise suhtes asetada? Neil on ainult üks võimalus: ristuda või sirgjoon on tasapinnaga paralleelne. Kui suur on teie arvates kaugus sirgest tasapinnani, millega see sirge lõikub? Mulle tundub, et siin on selge, et selline vahemaa on võrdne nulliga. Pole huvitav juhtum.

Teine juhtum on keerulisem: siin on vahemaa juba nullist erinev. Kuna joon on aga tasapinnaga paralleelne, on sirge iga punkt sellest tasapinnast võrdsel kaugusel:

Seega:

See tähendab, et minu ülesanne on taandatud eelmisele: otsime sirge mis tahes punkti koordinaate, otsime tasandi võrrandit ja arvutame kauguse punktist tasapinnani. Tegelikult on sellised ülesanded ühtsel riigieksamil äärmiselt haruldased. Mul õnnestus leida ainult üks probleem ja selles olid andmed sellised, et koordinaatide meetod ei olnud selle jaoks eriti rakendatav!

Liigume nüüd teise, palju olulisema probleemide klassi juurde:

Punkti kauguse arvutamine sirgest

Mida me vajame?

1. Punkti koordinaadid, millest kaugust otsime:

2. Suvalise joonel asuva punkti koordinaadid

3. Sirge suunavektori koordinaadid

Millist valemit me kasutame?

Mida selle murdosa nimetaja tähendab, peaks teile selge olema: see on sirge suunava vektori pikkus. See on väga keeruline lugeja! Avaldis tähendab vektorite vektorkorrutise moodulit (pikkust) ja Kuidas arvutada vektorkorrutist, uurisime töö eelmises osas. Värskendage oma teadmisi, meil läheb neid nüüd väga vaja!

Seega on probleemide lahendamise algoritm järgmine:

1. Otsime selle punkti koordinaate, millest kaugust otsime:

2. Otsime joone mis tahes punkti koordinaate, milleni kaugust otsime:

3. Konstrueeri vektor

4. Koostage sirge suunav vektor

5. Arvutage vektorkorrutis

6. Otsime saadud vektori pikkust:

7. Arvutage kaugus:

Meil on palju tööd teha ja näited saavad olema üsna keerulised! Nii et nüüd koondage kogu oma tähelepanu!

1. Antud täisnurkne kolmnurkne pi-ra-mi-da tipuga. Pi-ra-mi-dy alusel saja-ro- on võrdne, teie olete võrdsed. Leia kaugus hallist servast sirgjooneni, kus punktid ja on hallid servad ning veterinaarmeditsiinist.

2. Ribide ja sirge nurga-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da pikkused on vastavalt võrdsed ja leidke kaugus tipust sirgjooneni.

3. Parempoolses kuusnurkses prismas on kõik servad võrdsed, leidke kaugus punktist sirgjooneni

Lahendused:

1. Teeme korraliku joonise, millele märgime kõik andmed:

Meil on palju tööd teha! Esiteks tahaksin sõnadega kirjeldada, mida me otsime ja millises järjekorras:

1. Punktide koordinaadid ja

2. Punktide koordinaadid

3. Punktide koordinaadid ja

4. Vektorite koordinaadid ja

5. Nende ristprodukt

6. Vektori pikkus

7. Vektorkorrutise pikkus

8. Kaugus alates kuni

Noh, meil on palju tööd ees! Lähme selle juurde, varrukad üles kääritud!

1. Püramiidi kõrguse koordinaatide leidmiseks peame teadma punkti koordinaate. Selle rakendus on null ja ordinaat on võrdne selle abstsissga on võrdne lõigu pikkusega. Kuna on punkti kõrgus võrdkülgne kolmnurk, jagatakse see suhtega, lugedes tipust, siit. Lõpuks saime koordinaadid:

Punktide koordinaadid

2. - segmendi keskosa

3. - segmendi keskosa

Lõigu keskpunkt

4.Koordinaadid

Vektori koordinaadid

5. Arvutage vektorkorrutis:

6. Vektori pikkus: lihtsaim viis asendamiseks on see, et segment on kolmnurga keskjoon, mis tähendab, et see on võrdne poole alusega. Niisiis.

7. Arvutage vektorkorrutise pikkus:

8. Lõpuks leiame kauguse:

Uh, see on kõik! Ma ütlen teile ausalt: selle probleemi lahendamine traditsiooniliste meetoditega (ehituse kaudu) oleks palju kiirem. Kuid siin taandasin kõik valmis algoritmile! Arvan, et lahendusalgoritm on teile selge? Seetõttu palun teil ülejäänud kaks probleemi ise lahendada. Võrdleme vastuseid?

Kordan veel kord: neid probleeme on lihtsam (kiirem) lahendada konstruktsioonide kaudu, mitte kasutada koordinaatmeetodit. Näitasin seda lahendusmeetodit ainult selleks, et näidata teile universaalset meetodit, mis võimaldab teil "mitte midagi ehitada".

Lõpuks kaaluge viimast probleemide klassi:

Lõikuvate sirgete vahelise kauguse arvutamine

Siin on ülesannete lahendamise algoritm sarnane eelmisele. Mis meil on:

3. Mis tahes vektor, mis ühendab esimese ja teise rea punkte:

Kuidas leiame joonte vahelise kauguse?

Valem on järgmine:

Lugeja on segakorrutise moodul (tutvustasime seda eelmises osas) ja nimetaja on nagu eelmises valemis (sirgete suunavektorite vektorkorrutise moodul, vahemaa, mille vahel me otsivad).

Tuletan teile seda meelde

Siis distantsi valemi saab ümber kirjutada kujul:

See on determinant jagatud determinandiga! Kuigi ausalt öeldes pole mul siin nalja tegemiseks aega! See valem on tegelikult väga tülikas ja viib üsna keerukate arvutusteni. Kui ma oleksin teie, kasutaksin seda ainult viimase abinõuna!

Proovime ülaltoodud meetodi abil mõnda probleemi lahendada:

1. Täisnurkses kolmnurkprismas, mille kõik servad on võrdsed, leidke sirgete vaheline kaugus ja.

2. Arvestades täisnurkse kolmnurkse prisma, on kõik aluse servad võrdsed keha ribi läbiva lõiguga ja se-re-di-well ribid on ruut. Leidke sirgete vaheline kaugus ja

Mina otsustan esimese ja selle põhjal otsustate sina teise!

1. Joonistan prisma ja märgin sirgeid ja

Punkti C koordinaadid: siis

Punktide koordinaadid

Vektori koordinaadid

Punktide koordinaadid

Vektori koordinaadid

Vektori koordinaadid

\[\left((B,\overright nool (A(A_1)) \overright nool (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(massiivi)(*(20)(l))(\begin(massiivi)(*(20)(c))0&1&0\end(massiivi))\\(\begin(massiivi)(*(20) (c))0&0&1\end(massiiv))\\(\begin(massiivi)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(massiivi))\end(massiivi)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Arvutame vektorkorrutise vektorite ja vahel

\[\üleparemnool (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(massiivi)(l)\begin(massiivi)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(massiivi)\\\begin(massiivi )(*(20)(c))0&0&1\end(massiivi)\\\begin(massiivi)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(massiivi)\end(massiivi) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Nüüd arvutame selle pikkuse:

Vastus:

Nüüd proovige teist ülesannet hoolikalt täita. Vastus sellele on:.

Koordinaadid ja vektorid. Lühikirjeldus ja põhivalemid

Vektor on suunatud segment. - vektori algus, - vektori lõpp.
Vektorit tähistatakse või.

Absoluutne väärtus vektor – vektorit esindava segmendi pikkus. Tähistatakse kui.

Vektori koordinaadid:

,
kus on vektori \displaystyle a otsad.

Vektorite summa: .

Vektorite korrutis:

Vektorite punktkorrutis:

Vektorite skalaarkorrutis võrdub nende absoluutväärtuste ja nendevahelise nurga koosinusega:

Ülejäänud 2/3 ARTIKLID ON SAADAVAL AINULT YOUCLEVER TUDENGIDELE!

Hakka YouCleveri õpilaseks,

Valmistuda ühtseks riigieksamiks või matemaatika ühtseks riigieksamiks hinnaga “tass kohvi kuus”,

Samuti saate piiramatu juurdepääsu õpikule "YouClever", ettevalmistusprogrammile "100gia" (lahendajaraamat), piiramatule prooviversioonile ühtsele riigieksamile ja ühtsele riigieksamile, 6000 probleemile lahenduste analüüsiga ning teistele YouCleveri ja 100gia teenustele.

Alljärgnev artikkel käsitleb lõigu keskkoha koordinaatide leidmise küsimusi, kui selle äärmiste punktide koordinaadid on lähteandmetena saadaval. Kuid enne kui hakkame seda teemat uurima, tutvustame mitmeid määratlusi.

Definitsioon 1

Joonelõik– kahte suvalist punkti ühendav sirgjoon, mida nimetatakse segmendi otsteks. Olgu need näiteks punktid A ja B ning vastavalt lõik A B.

Kui lõiku A B jätkata mõlemas suunas punktidest A ja B, saame sirge A B. Seejärel on lõik A B osa saadud sirgest, mis on piiratud punktidega A ja B. Lõik A B ühendab punkte A ja B, mis on selle otsad, ning nende vahel asuvate punktide kogumit. Kui võtta näiteks suvaline punkt K, mis asub punktide A ja B vahel, võib öelda, et punkt K asub lõigul A B.

2. definitsioon

Sektsiooni pikkus– segmendi otste vaheline kaugus antud skaalal (ühikpikkusega segment). Tähistame lõigu A B pikkust järgmiselt: A B .

3. definitsioon

Lõigu keskpunkt– punkt, mis asub segmendil ja on selle otstest võrdsel kaugusel. Kui lõigu A B keskpunkt on tähistatud punktiga C, on võrdsus tõene: A C = C B

Algandmed: koordinaatjoon O x ja sellel olevad mittekattuvad punktid: A ja B. Need punktid vastavad reaalarvudele x A ja x B . Punkt C on lõigu A B keskpunkt: on vaja määrata koordinaat x C .

Kuna punkt C on lõigu A B keskpunkt, on võrdsus tõene: | A C | = | C B | . Punktide vahelise kauguse määrab nende koordinaatide erinevuse moodul, s.t.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Siis on võimalikud kaks võrdsust: x C - x A = x B - x C ja x C - x A = - (x B - x C)

Esimesest võrratusest tuletame punkti C koordinaatide valemi: x C = x A + x B 2 (pool lõigu otste koordinaatide summat).

Teisest võrdsusest saame: x A = x B, mis on võimatu, sest lähteandmetes - mitte langevad punktid. Seega valem lõigu A B keskkoha koordinaatide määramiseks otstega A (x A) ja B(xB):

Saadud valem on aluseks segmendi keskkoha koordinaatide määramisel tasapinnal või ruumis.

Algandmed: ristkülikukujuline koordinaatsüsteem O x y tasapinnal, kaks suvalist mittekattuvat punkti antud koordinaatidega A x A, y A ja B x B, y B. Punkt C on lõigu A B keskpunkt. Punkti C jaoks on vaja määrata x C ja y C koordinaadid.

Võtame analüüsiks juhu, kui punktid A ja B ei lange kokku ega asu samal koordinaatsirgel või ühe teljega risti. A x, A y; B x, B y ja C x, C y - punktide A, B ja C projektsioonid koordinaattelgedel (sirged O x ja O y).

Konstruktsiooni järgi on sirged A A x, B B x, C C x paralleelsed; jooned on samuti üksteisega paralleelsed. Koos sellega tulenevad Thalese teoreemi kohaselt võrratusest A C = C B võrratused: A x C x = C x B x ja A y C y = C y B y ning need omakorda näitavad, et punkt C x on lõigu A x B x keskpaik ja C y on lõigu A y B y keskpunkt. Ja siis saame varem saadud valemi põhjal:

x C = x A + x B 2 ja y C = y A + y B 2

Samu valemeid saab kasutada juhul, kui punktid A ja B asuvad samal koordinaatjoonel või sirgel, mis on risti ühe teljega. Me ei analüüsi seda juhtumit üksikasjalikult, vaid käsitleme seda ainult graafiliselt:

Kõike eelnevat kokku võttes, lõigu A B keskkoha koordinaadid tasapinnal koos otste koordinaatidega A (x A , y A) Ja B(xB, yB) on määratletud kui:

(x A + x B 2, y A + y B 2)

Algandmed: koordinaatide süsteem O x y z ja kaks suvalist punkti antud koordinaatidega A (x A, y A, z A) ja B (x B, y B, z B). On vaja määrata punkti C koordinaadid, mis on lõigu A B keskpunkt.

A x , A y , A z ; B x , B y , B z ja C x , C y , C z - kõikide etteantud punktide projektsioonid koordinaatsüsteemi telgedel.

Thalese teoreemi järgi on tõesed järgmised võrrandid: A x C x = C x B x, A y C y = C y B y, A z C z = C z B z

Seetõttu on punktid C x , C y , C z vastavalt lõikude A x B x , A y B y , A z B z keskpunktid. Siis Segmendi keskpunkti koordinaatide määramiseks ruumis on õiged järgmised valemid:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Saadud valemid on rakendatavad ka juhtudel, kui punktid A ja B asuvad ühel koordinaatsirgetest; sirgjoonel, mis on risti ühe teljega; ühel koordinaattasandil või tasapinnal, mis on risti ühe koordinaattasandiga.

Lõigu keskkoha koordinaatide määramine selle otste raadiusvektorite koordinaatide kaudu

Lõigu keskkoha koordinaatide leidmise valemi saab tuletada ka vektorite algebralise tõlgenduse järgi.

Algandmed: ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem O x y, punktid etteantud koordinaatidega A (x A, y A) ja B (x B, x B). Punkt C on lõigu A B keskpunkt.

Vektoritel tehtavate toimingute geomeetrilise definitsiooni kohaselt on tõene järgmine võrdsus: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Punkt C on antud juhul vektorite O A → ja O B → alusel konstrueeritud rööpküliku diagonaalide lõikepunkt, s.o. diagonaalide keskkoha punkt.Punkti raadiusvektori koordinaadid on võrdsed punkti koordinaatidega, siis on võrdsused tõesed: O A → = (x A, y A), O B → = (x B , y B). Teeme koordinaatides vektoritega mõned toimingud ja saame:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2, y A + y B 2

Seetõttu on punktil C koordinaadid:

x A + x B 2, y A + y B 2

Analoogia põhjal määratakse valem ruumis segmendi keskpunkti koordinaatide leidmiseks:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Näited probleemide lahendamisest lõigu keskpunkti koordinaatide leidmisel

Probleemide hulgas, mis hõlmavad ülaltoodud valemite kasutamist, on need, milles otsene küsimus on lõigu keskpunkti koordinaatide arvutamine, ja need, mis hõlmavad antud tingimuste toomist sellele küsimusele: termin "mediaan" kasutatakse sageli, eesmärgiks on leida lõigu otstest ühe koordinaadid, samuti on levinud sümmeetriaülesanded, mille lahendamine üldiselt ei tohiks samuti pärast selle teemaga tutvumist raskusi tekitada. Vaatame tüüpilisi näiteid.

Näide 1

Algandmed: tasapinnal - punktid etteantud koordinaatidega A (- 7, 3) ja B (2, 4). On vaja leida lõigu A B keskpunkti koordinaadid.

Lahendus

Tähistame lõigu A B keskpunkti punktiga C. Selle koordinaadid määratakse poolena lõigu otste koordinaatide summast, st. punktid A ja B.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Vastus: lõigu A B keskkoha koordinaadid - 5 2, 7 2.

Näide 2

Algandmed: kolmnurga A B C koordinaadid on teada: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). On vaja leida mediaani A M pikkus.

Lahendus

1. Vastavalt ülesande tingimustele on A M mediaan, mis tähendab, et M on lõigu B C keskpunkt. Kõigepealt leiame lõigu B C keskkoha koordinaadid, st. M punkti:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Kuna me teame nüüd mediaani mõlema otsa (punktid A ja M) koordinaadid, saame kasutada valemit punktidevahelise kauguse määramiseks ja mediaani A M pikkuse arvutamiseks:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Vastus: 58

Näide 3

Algandmed: kolmemõõtmelise ruumi ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on antud rööptahukas A B C D A 1 B 1 C 1 D 1. Punkti C 1 koordinaadid on antud (1, 1, 0) ja määratletud on ka punkt M, mis on diagonaali B D 1 keskpunkt ja millel on koordinaadid M (4, 2, - 4). On vaja arvutada punkti A koordinaadid.

Lahendus

Rööptahuka diagonaalid lõikuvad ühes punktis, mis on kõigi diagonaalide keskpunkt. Selle väite põhjal võime meeles pidada, et ülesande tingimustest tuntud punkt M on lõigu A C 1 keskpunkt. Ruumis lõigu keskkoha koordinaatide leidmise valemi alusel leiame punkti A koordinaadid: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 a M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

Vastus: punkti A koordinaadid (7, 3, - 8).

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter